Иррациональные уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Что такое иррациональные уравнения

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень. А вот как это выглядит:  ;  .

Сначала разберемся что такое рациональные уравнения, а потом поймем что же из себя представляет решение иррациональных уравнений.

Итак, что такое рациональныеуравнения, а что – иррациональные:

  как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

  – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);

  а это – рациональное;

  тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение;

  даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути   – это  ;

  – тоже рациональное, т.к.  ;

  – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  , как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает. Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так? Так избавься от них, вот и все дела! Если еще не догадался как, то я подскажу – просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение, но проверяй все корни, позже поймешь почему.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать («Рациональные уравнения»).

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства:

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Вроде все объяснил, давай решать, математика слов не любит.

Решение иррациональных уравнений

Вот такое вот уравнение  , корень из икса видишь? Значит, какое уравнение? Верно, оно иррациональное! Что дальше? Избавляемся от корней, поскольку корень второй степени, то обе части уравнения возводим в квадрат и упрощаем:

 

 

 

Вот и все, почти все, что осталось сделать? Правильно, решая иррациональное уравнение, обязательно надо проводить проверку полученных корней! Подставим   в исходное уравнение, именно в исходное уравнение, потому, что нам нужно найти его корни, а возведя в квадрат, мы могли получить посторонние корни (об этом позже).   тут все верно.

Давай еще одно  .

О том, что это иррациональное уравнение, думаю, ты и сам знаешь. Как и раньше возводим в квадрат обе части:

 , упрощаем,  .

Проверка, подставим   в исходное уравнение:

 

– вот это да, ничего тебя тут не смущает? Под квадратным корнем у нас отрицательное число! Как же так вышло? А это говорит о том, что это посторонний корень для исходного уравнения, да, это корень уравнения  , но оно-то не исходное, его мы получили после преобразований! В ответе пишем «нет решения».

Чтобы разобраться в ситуации мы сделаем что? Будем еще решать, вот уравнение  . После возведения обеих частей в квадрат имеем:

 , упрощаем и решаем квадратное уравнение по теореме Виета

 

 

У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки: подставляем  ,  ,

  – подходит;

подставим  , получим  ,

но ведь  ! Что же получается,   – посторонний корень.

Думаю, интрига затянулась, настало время объяснить, почему получаются какие-то посторонние корни. Опять объяснять буду на примере:

 , но если мы возведем в квадрат обе части,  ,  . Ну как тебе? То же самое получается и в нашем примере с иррациональным уравнением, в результате преобразования мы можем найти все корни, но могут примешаться и посторонние, которые и надо отфильтровать проверкой, проверив, будет ли соблюдаться равенство исходного уравнения при их подстановке. А если взять не квадрат, а третью степень:  ,  , какой же отсюда вывод? Ну, вообще это в свойствах корней почитаешь («Корень степени n > 1 и его свойства»), а так я напомню только основные принципы.

Если показатель степени четный, т.е. мы берем корень квадратный или корень   степени и т.д., то если подкоренное выражение отрицательно, то корень не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то корень тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня существует и положительно.

Примеры:  - не существует,  ,  .

Если показатель степени нечетный ( ), то корни определены при любом значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно. Примеры:  ,  ,  .

Но не все так просто как хотелось бы, и опять пример  .

В этом примере есть два подкоренных выражения и число  . Чтобы избавиться от корня нужно обе части возвести в квадрат, но прежде чем это сделать перенесем   в правую часть.   «Зачем?» - спросишь ты. Дело в том, что если возводить в квадрат в таком виде то упрощать придется дольше, не веришь – попробуй сам, я, пожалуй, избавлю себя от расписывания этого. Теперь возводим в квадрат обе части и упрощаем.

 

 

 

Понял в чем сложность? Да, этот метод решения (математики называют его «метод уединения радикала»; радикал, а попросту выражение с корнем надо уединить в одной стороне уравнения) предусматривает возможность того, что уединять и возводить в степень придется не один раз. Такие замысловатые махинации по уединению одного из выражений с корнем в одной стороне и возведении всего выражения в степень нужно делать пока от корней не избавимся вовсе, чтоб получилось нормальное такое, рациональное уравнение (без корней в смысле).

Но с другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений. На этапе, когда мы получили   вместо того, чтобы тупо возводить все очередной раз в квадрат можно прикинуть, что квадратный корень берется только из неотрицательных чисел, значит, икс в данном случае будет больше либо равен нолю.

А что из этого следует? А то, что икс не может быть равен  , т.к. и икс и корень из икс неотрицательны. В то время, как равенство говорит, будто неотрицательное умноженное на отрицательное равно неотрицательному, но все ведь знают, что минус на плюс дает минус. Значит что? Значит это равенство возможно лишь в случае, когда икс равен нолю. Я бы назвал решение методом уединения радикала решением «в лоб», а изложенный сейчас способ более рациональным с точки зрения лишней писанины и подсчетов. Если ты понял то, что я сейчас объяснял, то тебе, возможно, стоит ознакомиться с этой темой в изложении для «среднего уровня» .

Вернемся к нашему несчастному примеру, продолжим его решать «в лоб» если этот способ тебе понравился больше, чем тот, что я излагал выше. Опять возводим в квадрат обе части.

 

 

 

 

Дальше, как ты уже запомнил нужно подставить корни   и   в исходное уравнение для проверки, скажу лишь, что   тут будет побочным корнем, а ты давай, давай, подставляй, проверь на всякий случай. А ответ, соответственно будет  . Решать тебе, применять до последнего метод уединения радикала или на определенной стадии решить, что выражение можно не упрощать больше и решение очевидно и сейчас.

Давай еще сделаем выжимку из сказанного выше, решение иррациональных уравнений включает в себя три шага:

  1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  2. Решить получившееся рациональное уравнение;
  3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Вот, собственно, и все, а чтоб слова которые ты тут прочел не остались просто словами и ты на собственном опыте понял, что здесь к чему, вот порешай

Примеры:

  1.  ;
  2.  
  3.  

Решения:

1.  

 

  но   не проходит проверку

Ответ 

2.     

Ответ 

3.  
 
 
 , но   не проходит проверку.
Так же можно на второй строке решения понять, что равенство не имеет смысла, т.к.  , только в случае, когда  , но   в данном случае не подходит.

Ответ