Метод интервалов. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Этот метод тебе просто необходимо понять и знать его как свои пять пальцев! Хотя бы потому, что он применяется для решения рациональных неравенств и потому, что, зная этот метод как следует, решать эти неравенства на удивление просто. Чуть позже раскрою тебе пару секретов, как сэкономить время на решении этих неравенств. Ну что, заинтриговал? Тогда поехали!

Суть метода в разложении неравенства на множители (повтори тему «Разложение на множители») и определении ОДЗ и знака сомножителей, сейчас все поясню. Возьмем самый простенький пример:  .

Области допустимых значений (ОДЗ) здесь писать не надо, поскольку деления на переменную нет, и радикалов (корней) здесь не наблюдается. На множители здесь все и так разложено за нас. Но не расслабляйся, это все, чтоб напомнить азы и понять суть!

Допустим, ты не знаешь метода интервалов, как бы ты стал решать это неравенство? Подойди логически и опирайся на то, что уже знаешь. Во-первых, левая часть будет больше нуля если оба выражения в скобках либо больше нуля, либо меньше нуля, т.к. «плюс» на «плюс» дает «плюс» и «минус» на «минус» дает «плюс», так? А если знаки у выражений в скобках разные, то в итоге левая часть будет меньше нуля. А что же нам нужно, чтоб узнать те значения  , при которых выражения в скобках будут отрицательными или положительными?

Нам нужно решить уравнение, оно точно такое же как неравенство, только вместо знака   будет знак  , корни этого уравнения и позволят определить те пограничные значения, при отступлении   от которых множители   и   будут больше или меньше нуля.

 

 

А теперь сами интервалы. Что такое интервал? Это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя какими-то числами – концами интервала. Эти промежуткив голове представить не так просто, поэтому интервалы принято рисовать, сейчас научу.

Рисуем ось  , на ней располагается весь числовой ряд от   и до  . На ось наносятся точки, те самые так называемые нули функции, значения, при которых выражение равняется нулю. Эти точки «выкалываются» что означает, что они не относятся к числу тех значений, при которых неравенство верно. В данном случае, они выкалываются т.к. знак в неравенстве   а не, то есть строго больше а не больше или равно.

отображение точек метод интервалов

Хочу сказать, что ноль отмечать не обязательно, он без кружочков тут, а так, для понимания и ориентации по оси. Ладно, ось нарисовали, точки (точнее кружочки) поставили, дальше что, как мне это поможет в решении? – спросишь ты. Теперь просто возьми значение для икса из интервалов по порядку и подставь их в свое неравенство и смотри, какой знак будет в результате умножения.

Короче, просто берем   например, подставляем его сюда  , получится  , а  , значит на всем промежутке (на всем интервале) от   до  , из которого мы брали  , неравенство будет справедливо. Иными словами если икс от   до  , то неравенство верно.

То же самое делаем и с интервалом от   до  , берем   или  , например, подставляем в  , определяем знак, знак будет «минус». И так же делаем с последим, третьим интервалом от   до  , где знак получится «плюс». Такая куча текста вышла, а наглядности мало, правда?

Взгляни еще раз на неравенство  .

Теперь все на ту же ось наносим еще и знаки, которые получатся в результате. Ломаной линией, в моем примере,обозначаем положительные и отрицательные участки оси.

метод интервалов рис.2

Смотри на неравенство – на рисунок, опять на неравенство – и снова на рисунок, что-нибудь понятно? Постарайся теперь сказать на каких промежутках икса, неравенство будет верно. Правильно, от   до   неравенство будет справедливо и от   до  , а на промежутке от   до   неравенство   нуля и нас этот промежуток мало интересует, ведь у нас в неравенстве знак   стоит.

Ну, раз ты с этим разобрался, то дело за малым – записать ответ! В ответ пишем те промежутки, при которых левая часть больше нуля,  , что читается, как икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одного и от двух до плюс бесконечности. Стоит пояснить, что круглые скобки означают, что значения, которыми ограничен интервал не являются решениями неравенства, то есть они не включены в ответ, а лишь говорят о том, что до  , например, но   не есть решение.

Теперь пример, в котором тебе придется не только интервал рисовать:

 

Как думаешь, что надо сделать, прежде, чем точки на ось наносить? Ага, на множители разложить:

 

Рисуем интервалы и расставляем знаки, заметь точки у нас выколотые, потому, что знак строго меньше нуля:

метод интервалов рис.3

Пришло время раскрыть тебе один секрет, который я обещал еще в начале этой темы! А что если я скажу тебе, что можно не подставлять значения из каждого интервала для определения знака, а можно определить знак в одном из интервалов, а в остальных просто чередовать знаки!

Таким образом, мы сэкономили немного времени на проставлении знаков – думаю, это выигранное время на ЕГЭ не помешает!

Пишем ответ:

 .

Теперь рассмотрим пример дробно-рационального неравенства – неравенство, обе части которого являются рациональными выражениями (см. «Рациональные уравнения»).

 

Что можешь сказать про это неравенство? А ты взгляни на него как на дробно-рациональное уравнение, что делаем в первую очередь? Сразу видим, что корней нет, значит точно рациональное, но тут же дробь, да еще и с неизвестным в знаменателе!

Верно, ОДЗ надо!

ОДЗ

 

Так, дальше поехали, здесь все множители кроме одного имеют переменную первой степени, но есть множитель  , где икс имеет вторую степень. Обычно знак у нас менялся после перехода через одну из точек, в которой левая часть неравенства принимает нулевое значение, для чего мы определяли чему должен быть равен икс в каждом множителе. А тут  , так оно же всегда положительно, т.к. любое число в квадрате > нуля и положительное слагаемое  .

Как думаешь, повлияет на значение неравенства  ? Правильно – не повлияет! Смело можем поделить на   обе части неравенства и тем самым убрать этот множитель, чтоб глаза не мозолил.

Имеем:

 ,

пришло время интервалы рисовать, для этого нужно определить те пограничные значения, при отступлении   от которых множители   и   будут больше и меньше нуля. Но обрати внимание, что здесь знак  , значит точку, в которой левая часть неравенства принимает нулевое значение, выкалывать не будем, она ведь входит в число решений, такая точка у нас одна, это точка, где икс равен одному. А точку где знаменатель отрицателен закрасим? – Конечно, нет!

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому интервал будет выглядеть так:

метод интервалов рис.4

По этой схеме ты уже без труда сможешь написать ответ, скажу только, что теперь у тебя в распоряжении есть новый тип скобки – квадратный! Вот такая скобка [ говорит, что значение входит в интервал решений, т.е. является частью ответа, эта скобка соответствует закрашенной (не выколотой) точке на оси.

Вот,   – у тебя такой же ответ получился?

Чем дальше в лес, тем больше дров! Лови еще примерчик!

 

Раскладываем на множители и переносим все в одну сторону, нам ведь справа только ноль надо оставить, чтоб с ним сравнивать:

 

Обращаю твое внимание, что в последнем преобразовании, дабы получить в числителе   как и в знаменателе, умножаю обе части неравенства на  . Помни, что при умножении обеих частей неравенства на  , знак неравенства меняется на противоположный!!!

Пишем ОДЗ:

 , иначе знаменатель обратится в ноль, а на ноль, как ты помнишь, делить нельзя!

Согласись, в получившемся неравенства так и подмывает сократить   в числителе и знаменателе! Этого делать нельзя, можно потерять часть решений или ОДЗ!

Теперь попробуй сам нанести точки на ось. Замечу лишь, что при нанесении точек надо обратить внимание на то, что точка со значением  , которая исходя из знака  , казалось бы, должна быть нанесена на ось как закрашенная, закрашенной не будет, она будет выколота! Почему спросишь ты? А ты ОДЗ вспомни, не собираешься же ты на ноль делить так?

Запомни, ОДЗ превыше всего! Если все неравенство и знаки равенства говорят одно, а ОДЗ – другое, доверяй ОДЗ, великой и могучей! Ну что, ты построил интервалы, я уверен, что ты воспользовался моей подсказкой по поводу чередования и у тебя получилось вот так (см. рисунок ниже) А теперь зачеркни, и не повторяй эту ошибку больше! Какую ошибку? – спросишь ты.

неправильное решение методом интервалов

Дело в том, что в данном неравенстве множитель   повторялся дважды (помнишь, как ты его еще сократить порывался?). Так вот, если какой-то множитель повторяется в неравенстве четное количество раз, то при переходе через точку на оси, которая обращает этот множитель в ноль (в данном случае точка  ), знак меняться не будет, если нечетное, то знак меняется!

Верным будет следующая ось с интервалами и знаками:

правильное решение методом интервалов

И, обрати внимание, что знак нас интересует не тот, который был в начале (когда мы только увидели неравенство, знак был  ), после преобразований, знак сменился на  , значит, нас интересуют промежутки со знаком  .

Ответ:  

Скажу так же, что бывают ситуации, когда есть корни неравенства, которые не входят в какой-либо промежуток, в ответ они записываются в фигурных скобках, вот так, например:  . Подробнее о таких ситуациях можешь прочитать в статье «Метод интервалов» средний уровень.

Давай подведем итоги того, как решать неравенства методом интервала:

  1. Переносим все в левую часть, справа оставляем только ноль;
  2. Находим ОДЗ;
  3. Наносим на ось все корни неравенства;
  4. Берем произвольный   из одного из промежутков и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
  5. В ответ пишем интервалы, соблюдая выколотые и не выколотые точки (смотри ОДЗ), ставя необходимые виды скобок между ними.

Ну и наконец, наша любимая рубрика, «сделай сам»!

Примеры:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  .
     

Ответы:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  .