Основные понятия и аксиомы планиметрии. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

1. Основные понятия планиметрии

Точка, луч, прямая, отрезок.

Угол, вершина угла.

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны. Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.

Дополнительные лучи и смежные углы.

Вертикальные углы, развернутый угол

Полуплоскость, треугольник, многоугольник.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина – число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерениеуглов. Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

Градус. Иллюстрация.

В развернутом угле   градусов.

Для краткости пишут:  . При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол. Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.

2. Два основных факта об углах

 I. Смежные углы в сумме составляют  .

Смежные углы.

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

Вертикальные углы

Почему? А смотри:

Вертикальные углы. Обоснование равенства.   и   – смежные
 .  и   – тоже смежные
 

Что теперь? Ну, конечно, отсюда следует, что  . (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).

3. Прямой угол.

Прямой угол Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым углом.

Чему равна величина прямого угла?

Ну конечно,  ! Ведь  .

4. Острый и тупой угол.

острый угол Углы, меньшие  , называются острыми углами.
тупой угол Углы от   до   называются тупыми углами.
Прямой угол Еще раз: угол в  - прямойугол.

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах?

Аксиомы – это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно соотношения довольно длинным математическим языком. Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла. Тогда – добро пожаловать в следующие уровни теории по этой теме – там есть довольно подробное обсуждение аксиом. А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида – просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!