Коротко о главном

Правильные многогранники. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Многогранник называется правильным, если:

  1. он выпуклый
  2. все его грани являются правильными многоугольниками
  3. в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер

Cуществует всего пять правильных многогранников:

Тетраэдр

Тетраэдр состоит из 4 равносторонних треугольников.

Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).

Площадь поверхности тетраэдра:

 

Объемтетраэдра:

 

Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:

 

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:

 

Куб (Гексаэдр)

Куб состоит из шести квадратов.

Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности куба:

 

Объем куба:

 

Радиус описанной вокруг куба сферы:

 

Радиус вписанной в куб сферы:

 

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности октаэдра:

 

Объем октаэдра:

 

Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:

 

Радиус вписанной в октаэдр сферы:

 

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности икосаэдра:

 

Объем икосаэдра:

 

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

 

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

 

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности додекаэдра:

 

Объем додекаэдра:

 

Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:

 

Радиус вписанной в додекаэдр сферы:

 

Пример задачи 12 на тему "правильные многогранники"

Задача:

В кубе   с ребром   найдите  

Решение:

 , где   - диагональ куба,  - сторона куба.

  - это и есть диагональ куба.

Тогда  .