Рациональные уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Определение рационального уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные», а по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня. Что же получается? А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной. А вот отсюда поподробнее!

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные:

  как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

  – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);

  а это – рациональное;

  тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение;

  даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  ;

  – тоже рациональное, т.к.  ;

  – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  , как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает. Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают. Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры:

 

Умеешь такие решать? – конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное, тема-то 5-ого или 6-ого класса. Ну, рассмотрим первый из примеров на всякий случай и по порядочку. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

 ;

Какой наименьший общий знаменатель будет? Правильно  ! Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемое на  , а второго на  , этого делать не запрещено, если и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же значение, то дробь от этого не изменится, т.к. ее можно будет сократить на то же число. А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

   ,

А теперь делим обе части на  :

 

Тут все просто? Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  , ну можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит (ты можешь пересчитать, а вообще должно сойтись).

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение  . Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение - рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение. Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  . Важный момент!!! В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель  . А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель! Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

 .

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

 .

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

 

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было? Выносим за скобку общий множитель:  

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  . Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим  , получается   –нет претензий? С ним все нормально. А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

Но ведь это же будет ноль! На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело??? Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ»! Области Допустимых Значений. Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (  и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс, хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило. Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ:   и     и  . Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ. Значит, какой ответ будет у решенного уравнения? В ответ стоит написать только один корень,  .

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ. Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да, ВСЕГДАпо окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Для правильного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства:

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? А ты докажи!

Вот тебе три примерчика на закрепление:

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:

  1.  
  2.  
  3.