Рациональные уравнения. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

  (чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения).

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: Произведение = " " или Дробь = " ", например:

 .

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: " " на " " и наоборот). Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

 

Пример:

 

 

 

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Например:

 

Перегруппируем:  

Раскроем скобки в каждой группе:  

Сделаем замену:  

Тогда:  .

Решив квадратное уравнение, получим:  

Обратная замена:

 

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

  1.   ;
  2.  ;
  3.  .

Решения

1.  

 

 

Ответ:  

2.  
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители. Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»). Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

 .
Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  . Подбором устанавливаем, что это числа   и  . Тогда:
 

 
Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :
 

 
При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет: если  , получим деление на  . Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

Ответ:  .

3.  
Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:
 
Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю. Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:
 
Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:
 

 

 

 

Ответ:  .