Арифметическая прогрессия. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: \(\displaystyle 1,\text{ }5,\text{ }-3,\text{ }15,\text{ }-7,\text{ }-84,\text{ }0,\text{ }\ldots \)

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером \(\displaystyle n\) называется \(\displaystyle n\)-ым членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, \(\displaystyle a\)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: \(\displaystyle {{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{10}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{n}}\).

Очень удобно, если \(\displaystyle n\)-ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

\(\displaystyle {{a}_{n}}=3n-5\)

задает последовательность: \(\displaystyle -2;\text{ }1;\text{ }4;\text{ }7;\text{ }10;\text{ }\ldots \)

А формула \(\displaystyle {{a}_{n}}=\frac{1}{n+2}\) – такую последовательность: \(\displaystyle \frac{1}{3};\text{ }\frac{1}{4};\text{ }\frac{1}{5};\text{ }\frac{1}{6}…\)

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа, называемого разностью арифметической прогрессии.

Например, арифметической прогрессией является последовательность \(\displaystyle 1,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }7,\text{ }\ldots \) (первый член здесь равен \(\displaystyle 1\), а разность \(\displaystyle 2\)). Или \(\displaystyle 5,\ \ 2,\ \ -1\ \ -4…\) (\(\displaystyle {{a}_{1}}=5\), разность \(\displaystyle d=-3\)).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать \(\displaystyle n\)-ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

\(\displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d\)

Чтобы найти по такой формуле, например, \(\displaystyle 10\)-ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть \(\displaystyle {{a}_{1}}=3;\text{  }d=-2\). Тогда:

\(\displaystyle {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=1\);

\(\displaystyle {{a}_{3}}={{a}_{2}}+d=-1\);

… (дальше посчитай сам)

\(\displaystyle {{a}_{10}}={{a}_{9}}+d=?\)

Слишком долго считать, поэтому давай попробуем придумать формулу поудобнее. Итак,

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{a}_{2}}={{a}_{1}}+d;\\{{a}_{3}}={{a}_{2}}+d={{a}_{1}}+d+d={{a}_{1}}+2d;\\{{a}_{4}}={{a}_{3}}+d={{a}_{1}}+2d+d={{a}_{1}}+3d.\end{array}\)

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к \(\displaystyle {{a}_{1}}\) прибавляем \(\displaystyle d\), умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус \(\displaystyle 1\):

\(\displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\)

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

\(\displaystyle {{a}_{10}}={{a}_{1}}+d\cdot \left( 10-1 \right)=3+\left( -2 \right)\cdot 9=-15\).

Реши сам:

В арифметической прогрессии \(\displaystyle -5,\ \ -2,\ \ 1,\ \ 4\ \ …\) найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен \(\displaystyle -5\). А чему равна разность? А вот чему:

\(\displaystyle d={{a}_{2}}-{{a}_{1}}=-2-\left( -5 \right)=3\)

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

\(\displaystyle {{a}_{n}}=-5+3\left( n-1 \right)\)

Тогда сотый член равен:

\(\displaystyle {{a}_{100}}=-5+3\cdot 99=292\).

Больше задач — после регистрации.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Чему равна сумма всех натуральных чисел от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 100\)?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна \(\displaystyle 101\), сумма второго и предпоследнего – тоже \(\displaystyle 101\), сумма третьего и 3-го с конца – тоже \(\displaystyle 101\), и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть \(\displaystyle 50\). Итак,

\(\displaystyle 1+2+3+…+100=\left( 1+100 \right)+\left( 2+99 \right)+…+\left( 50+51 \right)=\)

\(\displaystyle =101\cdot 50=5050.\)

Общая формула для суммы первых \(\displaystyle n\) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

\(\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\)

В некоторых задачах нам неизвестен \(\displaystyle n\)-й член, но известна разность прогрессии. Тогда нужно подставить сюда формулу n-го члена \(\displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\). Что получилось?

\(\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\)

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных \(\displaystyle 4\).

Решение:

Первое такое число – это \(\displaystyle 12\). Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа \(\displaystyle 4\). Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(\displaystyle {{a}_{1}}=12\) и разностью \(\displaystyle d=4\).

Формула \(\displaystyle n\)-го члена для этой прогрессии:

\(\displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)=12+4\left( n-1 \right)=8+4n\)

Еще больше задач на арифметическую прогрессию.

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: \(\displaystyle {{a}_{n}}<100\text{  }\Rightarrow \text{  }8+4n<100\text{  }\Rightarrow \text{  }n<23\text{  }\Rightarrow \text{  }n=22\).

Последний член прогрессии будет равен \(\displaystyle {{a}_{n}}=96\). Тогда сумма:

\(\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{22\left( 12+96 \right)}{2}=1188\).

Ответ: \(\displaystyle 1188\).

Теперь реши сам:

  1. Ежедневно спортсмен пробегает на \(\displaystyle 100\) м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за \(\displaystyle 2\) недели, если в первый день он пробежал \(\displaystyle 2\) км \(\displaystyle 400\) м?
  2. Велосипедист проезжает каждый день на \(\displaystyle 2\) км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал \(\displaystyle 16\) км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть \(\displaystyle 250\) км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
  3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за \(\displaystyle 20000\) рублей, через шесть лет был продан за \(\displaystyle 12750\) рублей.

Ответы:

  1. Здесь самое главное – распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, \(\displaystyle {{a}_{1}}=2400\), \(\displaystyle d=100\), \(\displaystyle n=14\) (\(\displaystyle 2\) недели = \(\displaystyle 14\) дней). Определить нужно сумму первых \(\displaystyle n\) членов этой прогрессии:
    \(\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 2400+1\cdot \left( 14-1 \right)}{2}\cdot 14=\text{67382 м}=67,382\text{ км}\).
    Ответ: \(\displaystyle 67,382.\)
  2. Здесь дано: \(\displaystyle {{S}_{n}}=250;\text{ }{{a}_{1}}=16;\text{ }d=2\), надо найти \(\displaystyle n\).
    Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
    \(\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\).
    Подставляем значения:
    \(\displaystyle 250=\frac{2\cdot 16+2\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{n}^{2}}+15n-250=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}n=-25\\n=10.\end{array} \right.\)
    Корень \(\displaystyle n=-25\), очевидно, не подходит, значит, ответ \(\displaystyle -n=10\).
    Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы \(\displaystyle n\)-го члена:
    \(\displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }{{a}_{10}}=16+2\cdot 9=34\) (км).
    Ответ: \(\displaystyle 10;\text{ }34.\)
  3. Дано: \(\displaystyle {{a}_{1}}=20000;\text{ }{{a}_{3}}=15842\). Найти: \(\displaystyle d\).
    Проще не бывает:
    \(\displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }12750=20000+2d\text{  }\Rightarrow \text{  }d=-1450\) (руб).
    Ответ: \(\displaystyle -1450.\)

Больше задач на арифметическую прогрессию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий