Арифметическая прогрессия. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: $latex \displaystyle 1,\text{ }5,\text{ }-3,\text{ }15,\text{ }-7,\text{ }-84,\text{ }0,\text{ }\ldots $

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером $latex \displaystyle n$ называется $latex \displaystyle n$-ым членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, $latex \displaystyle a$), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: $latex \displaystyle {{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{10}},\text{ }…,\text{ }{{a}_{n}}$.

Очень удобно, если $latex \displaystyle n$-ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

$latex \displaystyle {{a}_{n}}=3n-5$

задает последовательность: $latex \displaystyle -2;\text{ }1;\text{ }4;\text{ }7;\text{ }10;\text{ }\ldots $

А формула $latex \displaystyle {{a}_{n}}=\frac{1}{n+2}$ – такую последовательность: $latex \displaystyle \frac{1}{3};\text{ }\frac{1}{4};\text{ }\frac{1}{5};\text{ }\frac{1}{6}…$

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа, называемого разностью арифметической прогрессии.

Например, арифметической прогрессией является последовательность $latex \displaystyle 1,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }7,\text{ }\ldots $ (первый член здесь равен $latex \displaystyle 1$, а разность $latex \displaystyle 2$). Или $latex \displaystyle 5,\ \ 2,\ \ -1\ \ -4…$ ($latex \displaystyle {{a}_{1}}=5$, разность $latex \displaystyle d=-3$).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать $latex \displaystyle n$-ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

$latex \displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d$

Чтобы найти по такой формуле, например, $latex \displaystyle 10$-ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть $latex \displaystyle {{a}_{1}}=3;\text{  }d=-2$. Тогда:

$latex \displaystyle {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=1$;

$latex \displaystyle {{a}_{3}}={{a}_{2}}+d=-1$;

… (дальше посчитай сам)

$latex \displaystyle {{a}_{10}}={{a}_{9}}+d=?$

Слишком долго считать, поэтому давай попробуем придумать формулу поудобнее. Итак,

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{a}_{2}}={{a}_{1}}+d;\\{{a}_{3}}={{a}_{2}}+d={{a}_{1}}+d+d={{a}_{1}}+2d;\\{{a}_{4}}={{a}_{3}}+d={{a}_{1}}+2d+d={{a}_{1}}+3d.\end{array}$

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к $latex \displaystyle {{a}_{1}}$ прибавляем $latex \displaystyle d$, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус $latex \displaystyle 1$:

$latex \displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)$

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

$latex \displaystyle {{a}_{10}}={{a}_{1}}+d\cdot \left( 10-1 \right)=3+\left( -2 \right)\cdot 9=-15$.

Реши сам:

В арифметической прогрессии $latex \displaystyle -5,\ \ -2,\ \ 1,\ \ 4\ \ …$ найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен $latex \displaystyle -5$. А чему равна разность? А вот чему:

$latex \displaystyle d={{a}_{2}}-{{a}_{1}}=-2-\left( -5 \right)=3$

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

$latex \displaystyle {{a}_{n}}=-5+3\left( n-1 \right)$

Тогда сотый член равен:

$latex \displaystyle {{a}_{100}}=-5+3\cdot 99=292$.

Больше задач — после регистрации.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Чему равна сумма всех натуральных чисел от $latex \displaystyle 1$ до $latex \displaystyle 100$?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна $latex \displaystyle 101$, сумма второго и предпоследнего – тоже $latex \displaystyle 101$, сумма третьего и 3-го с конца – тоже $latex \displaystyle 101$, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть $latex \displaystyle 50$. Итак,

$latex \displaystyle 1+2+3+…+100=\left( 1+100 \right)+\left( 2+99 \right)+…+\left( 50+51 \right)=$

$latex \displaystyle =101\cdot 50=5050.$

Общая формула для суммы первых $latex \displaystyle n$ членов любой арифметической прогрессии будет такой:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}$

В некоторых задачах нам неизвестен $latex \displaystyle n$-й член, но известна разность прогрессии. Тогда нужно подставить сюда формулу n-го члена $latex \displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)$. Что получилось?

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n$

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных $latex \displaystyle 4$.

Решение:

Первое такое число – это $latex \displaystyle 12$. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа $latex \displaystyle 4$. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом $latex \displaystyle {{a}_{1}}=12$ и разностью $latex \displaystyle d=4$.

Формула $latex \displaystyle n$-го члена для этой прогрессии:

$latex \displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)=12+4\left( n-1 \right)=8+4n$

Еще больше задач на арифметическую прогрессию.

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: $latex \displaystyle {{a}_{n}}<100\text{  }\Rightarrow \text{  }8+4n<100\text{  }\Rightarrow \text{  }n<23\text{  }\Rightarrow \text{  }n=22$.

Последний член прогрессии будет равен $latex \displaystyle {{a}_{n}}=96$. Тогда сумма:

$latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{22\left( 12+96 \right)}{2}=1188$.

Ответ: $latex \displaystyle 1188$.

Теперь реши сам:

  1. Ежедневно спортсмен пробегает на $latex \displaystyle 100$ м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за $latex \displaystyle 2$ недели, если в первый день он пробежал $latex \displaystyle 2$ км $latex \displaystyle 400$ м?
  2. Велосипедист проезжает каждый день на $latex \displaystyle 2$ км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал $latex \displaystyle 16$ км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть $latex \displaystyle 250$ км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
  3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $latex \displaystyle 20000$ рублей, через шесть лет был продан за $latex \displaystyle 12750$ рублей.

Ответы:

  1. Здесь самое главное – распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, $latex \displaystyle {{a}_{1}}=2400$, $latex \displaystyle d=100$, $latex \displaystyle n=14$ ($latex \displaystyle 2$ недели = $latex \displaystyle 14$ дней). Определить нужно сумму первых $latex \displaystyle n$ членов этой прогрессии:
    $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 2400+1\cdot \left( 14-1 \right)}{2}\cdot 14=\text{67382 м}=67,382\text{ км}$.
    Ответ: $latex \displaystyle 67,382.$
  2. Здесь дано: $latex \displaystyle {{S}_{n}}=250;\text{ }{{a}_{1}}=16;\text{ }d=2$, надо найти $latex \displaystyle n$.
    Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
    $latex \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n$.
    Подставляем значения:
    $latex \displaystyle 250=\frac{2\cdot 16+2\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{n}^{2}}+15n-250=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}n=-25\\n=10.\end{array} \right.$
    Корень $latex \displaystyle n=-25$, очевидно, не подходит, значит, ответ $latex \displaystyle -n=10$.
    Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы $latex \displaystyle n$-го члена:
    $latex \displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }{{a}_{10}}=16+2\cdot 9=34$ (км).
    Ответ: $latex \displaystyle 10;\text{ }34.$
  3. Дано: $latex \displaystyle {{a}_{1}}=20000;\text{ }{{a}_{3}}=15842$. Найти: $latex \displaystyle d$.
    Проще не бывает:
    $latex \displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }12750=20000+2d\text{  }\Rightarrow \text{  }d=-1450$ (руб).
    Ответ: $latex \displaystyle -1450.$

Больше задач на арифметическую прогрессию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий