Биссектриса. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Биссектриса треугольника и ее свойства

Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже. А что такое середина угла? Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно – только не точкой, а…. линией.

Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:

Биссектриса угла Биссектриса – это линия, делящая угол пополам.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ГИА и ЕГЭ!

Первое знание, которое поможет в этом – биссектриса равнобедренного треугольника.

биссектриса треугольника Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет? Не страшно. Сейчас разберемся.

Итак, основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно — это сторона \(\displaystyle AC\).

Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова \(\displaystyle AC\)) пополам.

Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.

Ну, а высота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Итак, разобрались? Ну почти. Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга. При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком». Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.

Итак, в чем они похожи? Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной. По-моему просто, нет?

А чем они отличаются?

  • Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
  • Медиана делит противоположную сторону пополам.
  • Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Теперь все. Понять – легко. А раз понял, можешь запомнить.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

Теперь следующий вопрос. Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана \(\displaystyle BL\) разбивает \(\displaystyle \triangle ABC\) на два абсолютно равных треугольника. Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать. Страшное слово? Ничего подобного — все просто! Смотри: у  \(\displaystyle \triangle ABL\) и \(\displaystyle \triangle CBL\) равны стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\), сторона \(\displaystyle BL\) у них вообще общая и \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\). (\(\displaystyle BL\) – биссектриса!) И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними. Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \(\displaystyle \triangle ABL=\triangle CBL\), а значит \(\displaystyle AL\) = \(\displaystyle CL\) и \(\displaystyle \angle 3=\angle 4\).

\(\displaystyle AL\) = \(\displaystyle CL\)  – это уже хорошо – значит, \(\displaystyle BL\) оказалась медианой.

А вот что такое \(\displaystyle \angle 3=\angle 4\)?

Посмотрим на картинку — \(\displaystyle \angle 3+\angle 4\text{ }=\text{ }180{}^\circ \). А у нас получилось, что \(\displaystyle \angle 3=\angle 4\). Значит, \(\displaystyle 2\cdot \angle 3=180{}^\circ \) и \(\displaystyle 2\cdot \angle 4=180{}^\circ \) тоже! Наконец, ура! \(\displaystyle \angle 3=90{}^\circ \) и \(\displaystyle \angle 4=90{}^\circ \).

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым?  Посмотри на картинку – два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит это основание пополам и перпендикулярна ему.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

Готов дальше?

Теперь сложнее: мы посчитаем угол между биссектрисами в любом треугольнике! Не бойся, все не так уж хитро. Смотри на рисунок:

Угол между биссектрисами B \(\displaystyle \triangle ABC\) проведем две биссектрисы \(\displaystyle AO\)  и \(\displaystyle OC\) . Они пересеклись – а куда деваться-то? Какой же угол получился у точки \(\displaystyle O\)?

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180{}^\circ \)?

Применим этот потрясающий факт.

С одной стороны, из \(\displaystyle \triangle ABC\):

\(\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ \), то есть \(\displaystyle \angle B=180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( \angle A+\angle C \right)\).

Теперь посмотрим на \(\displaystyle \triangle AOC\) :

\(\displaystyle \angle 2+\angle 6+\angle 3=180{}^\circ \)

Но биссектрисы, биссектрисы же!

\(\displaystyle \angle 2=\frac{\angle A}{2};\ \ \angle 3=\frac{\angle C}{2}\)

Значит \(\displaystyle \left( \triangle AOC \right)\)

\(\displaystyle \frac{\angle A}{2}+\angle 6+\frac{\angle C}{2}=180{}^\circ \), то есть

\(\angle 6=180{}^\circ -\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle C}{2};\)

\(\angle 6=180{}^\circ -\frac{\angle A+\angle C}{2}\)

Вспомним про \(\displaystyle \triangle ABC\) : \(\angle A+\angle C=180{}^\circ -\angle B\)

Значит, \(\angle 6=180{}^\circ -\frac{180{}^\circ -\angle B}{2}=90+\frac{\angle B}{2}\)

Теперь через буквы

\(\angle AOC=90{}^\circ +\frac{\angle B}{2}\)

Не удивительно ли? Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три??!! Пересекутся ли они все в одной точке?

три биссектрисы пересекаются

Или будет так?

3 биссектрисы не пересекаются

Как ты думаешь? Вот математики думали-думали и доказали:

Три биссектрисы треугольника (любого!) пересекаются в одной точке – и эта точка – центр вписанной окружности.

Три биссектрисы треугольника и окружность

Правда, здорово?

Хочешь знать, почему же так получается?

Переходи на следующий уровень – ты готов к покорению новых вершин знаний о биссектрисе!

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *