Дроби, рациональные числа. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Простые дроби

Что такое дроби? Вспоминаются примеры из начальной школы. Представьте себе пирог вкусный такой, и \(4\) голодных ребенка. Как бы им так сделать, чтоб пирога досталось всем? Верно, надо его поделить, поделить \(1\) пирог на \(4\) человека. Смотри рисунок.

Что такое рациональные числа

На рисунке ты видишь пирог, разрезанный на  4 дольки. Так вот, как раз дробь — это и есть доля от целого. В данном случае от целого куска в сторонке отделенная одна доля, одна из четырех, одна четвертая. Это простая дробь. Простые дроби принято записывать одним из следующих способов: \(\frac{1}{4}\), \({1}/{4}\;.\) Ты не поверишь, все эти записи означают одно и то же  – одна четвертая. А что останется если забрать эту \(1/4?\) Было \(4\) из \(4\), или \(4/4\), забрали \(1/4\). Верно, останется \(3\) дольки, \(3\) из \(4\). Запишем, как полагается, \(3/4\). Можно даже вот так: \(4/4-1/4=3/4\)

То, что находится выше черты – это числитель (ну или слева от черты в такой записи как тут), то, что ниже – знаменатель.

Примеры простых дробей: \(1/5,\text{ }2/4,\text{ }3/10,\text{ }17/3.\)

В этом ряду  все дроби правильные, в них числитель меньше знаменателя. Кроме одной. Да-да, ты не ошибся, бывает и такое, что числитель больше знаменателя, как в этой дроби, например: \(17/3\). Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной.

Вне зависимости от того правильная дробь или неправильная, она будет простой. Давай остановимся на неправильной дроби \(17/3\). Что же это она неправильная? Вспоминай пример с пирогом, там была \(1/4\) – одна часть из четырех, а тут что получается? \(17\) частей из \(3\)? Бред какой-то! У нас в знаменателе число, которое означает, что весь пирог состоит из стольки частей! Берем \(4\) части и поучаем целый ровненький пирог. Но числитель говорит, что на данный момент у нас есть лишь одна из этих частей. А \(17/3\)? Что же, у нас есть \(17\) частей, а для целого пирога в данном случае надо \(3\) части. Ну так давай соберем из кусочков целые пироги и отдельно их поставим. Как узнать сколько пирогов мы можем получить из \(17\) частей? Верно, надо на \(3\) как раз и поделить.  Если попробовать составить \(6\) пирогов, т.е. \(3\cdot 6=18\),  надо \(18\) частей. Не хватает. А \(3\cdot 5=15\), о, хватило! Получается \(5\) целых пирогов собрали, положили в сторону. Осталось \(\displaystyle 17-3\cdot 5=2,2\), \(2\) куска. А для целого пирога надо \(3\) части. В итоге у нас \(5\) целых и \(2/3\) (две третьих) пирога. Много места занимает такое обозначение. А что если убрать лишние слова и оставить только \(5\frac{2}{3}\) (пять целых и две третьих). То, что у нас получилось (\(5\frac{2}{3}\)),  называют смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби. То, что между \(5\) пирогами и \(2/3\) пирога нет никакого знака не говорит о том, что там знак умножения, как если бы мы писали \(2x\)!!! Запомни, между целой и дробной частями можно поставить знак плюс, вот так: \(5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3}\).

Так же можно проделать и обратное действие, т.е. преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь. Ты же знаешь, как это сделать? Конечно, нужно умножить знаменатель дроби (в случае с , \(\displaystyle 5\frac{2}{3}\) знаменатель равен \(3\)), умножить знаменатель…, верно, на \(\displaystyle 5\) и прибавить нецелую часть, а именно – \(2\) . В результате получим исходное \(17/3\).

Преобразуй следующие неправильные дроби:
  1. \(\frac{20}{10}\)
  2. \(\frac{19}{5}\)
  3. \(\frac{3}{2}\)
Ответы:
  1. \(\frac{20}{10}=2\)
  2. \(\frac{19}{5}=3\frac{4}{5}\)
  3. \(\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\)

Десятичные дроби

Существует еще один вид дробей, уверен ты его знаешь. Бери калькулятор и дели \(11\) на \(2\), например. Что пишет, \(5,5\)? Что за штука такая! Читается это как пять целых и пять десятых, равносильно \(\displaystyle 5\frac{5}{10}\). Иными словами \(11/2=5,5=5\frac{5}{10}\), все это одно  и то же. Дроби типа \(5,5;\text{ }42,02;\text{ }0,122\) – все это десятичные дроби – это те же самые обыкновенные дроби, но в так называемой десятичной записи. Десятичная запись используется для дробей со знаменателями \(10\), \(100\), \(1000\) и т. д. В десятичных дробях так же есть целая и дробная части. Для ясности возьмем вот такую дробь \(12,856\):

  • до запятой – целая часть (\(12\));
  • первый знак после запятой – десятые доли (\(8/10\));
  • второй – сотые доли (\(5/100\))
  • третий – (\(6/1000\)).

И так далее. В зависимости от того на каком месте после запятой находится последний знак читается число. Читается так: \(1,2\) – одна целая, две десятых; \(42,02\)- сорок две целых, две сотых; \(0,122\) — ноль целых сто двадцать две тысячных.

Сокращение дробей

Вот тебе дробь \(4/6\) – при виде этой у тебя не возникает никаких мыслей? Ладно, давай так, и \(4\) и \(6\) делятся на… Да, делятся на \(2\). А что, если я скажу тебе, что ты можешь разделить \(4\) на \(2\) и разделить \(6\) на \(2\), и получившееся записать в таком виде как было до деления, а именно: \(\displaystyle \frac{4:2}{6:2}=\frac{2}{3}\), а проще говоря, \(4/6=2/3\). Это еще не все, ты так же можешь умножить на \(3\), например, и \(2\) и \(3\), а результат записать так \(\displaystyle \frac{2\cdot 3}{3\cdot 3}=\frac{6}{9}\). По сути \(\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{6}{9}\). Все это вытекает из основного свойства дроби:  если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби.

Попробуй сократить дроби сам:
  1. \(4/8\)
  2. \(12/9\)
  3. \(10/100\)
Ответы:
  1. \(4/8=1/2\)
  2. \(12/9=4/3\)
  3. \(1/10\)

Приведение дробей к общему знаменателю

Представляешь, любые две дроби можно привести к общему знаменателю! Ну, если тебя это не поразило, ты, наверное, не понял о чем я. Вот смотри. Есть две дроби \(1/3\) и \(3/5\). Тебе надо изменить эти дроби так, чтоб значение дробей не поменялось, но в знаменателе у обеих стало  одно и то же число. Подскажу лишь, что для этого нужно воспользоваться основным свойством дроби. Ладно, так и быть, покажу сам:  \(1/3=5/15\); \(3/5=9/15\). Как ты видишь в знаменателе у обеих дробей \(15\), и при этом, если сократить дроби, первую на \(5\), а вторую на \(3\), то получатся те же \(1/3\) и \(3/5\)! Сказать как это делается? Так и быть, тебе сегодня везет, читай ниже. Для приведения дробей к общему знаменателю надо:

  • найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
  • разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
  • умножить числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Наименьшим общим знаменателем (наименьшее общее кратное) этих двух дробей является \(15\),  то есть наименьшее число, которое делится и на \(3\) и на \(5\) (их знаменатели). В данном случае я просто перемножил их знаменатели – умножил \(3\) на \(5\), получив тем самым \(15\). Чтоб понять этот момент лучше, советую обратиться к теме Целые числа, там ты найдешь, что такое наименьшее общее кратное (НОК) и с чем его едят. Далее, по основному свойству дроби мне нужно было умножить числитель на то же число, на которое я домножал знаменатель, чтоб получить \(15\). В первом случае это число \(5\), во втором \(3\). И, наконец, найдя для обеих дробей множители, умножение на которые приведет к нужному результату, я умножаю и числитель и знаменатель дробей на соответствующие множители.

\(\displaystyle \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{5}{15}\); \(\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{9}{15}\)

Для преобразования неправильной дроби в смешанную дробь нужно:

  • поделить числитель дроби на ее знаменатель;
  • остаток от деления записать в числитель знаменатель оставить прежним;
  • результат от деления записать в качестве целой части.
Потренируйся:
  1. \(11/2\)
  2. \(12/3\)          
  3. \(\displaystyle 213/15\)
Ответы:
  1. \(11/2=5\frac{1}{2}\)
  2. \(12/3=4\)
  3. \(213/15=14\frac{3}{15}\)

Все дроби перебрали, а что с ними теперь делать-то? —  спросишь ты. А тут, как и везде в математике, складывай, вычитай, умножай, дели – в общем, заняться есть чем!

Больше задач — после регистрации.

Сложение дробей

Самый простой вариант, когда дроби, которые надо сложить, имеют одинаковый знаменатель. Ты же еще не забыл, что это такое, правда? Например, \(2/5+1/5\). Вспомнив пример с кусочками пирога, думаю, ты без проблем догадаешься, что если складывать равные дольки одного пирога, то знаменатель меняться не будет, а складываются лишь числители. Сложение будет выглядеть следующим образом: \(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}\). Не сложно догадаться и как складывать  смешанные дроби.

Отдельно складываются целые и дробные части:

\(2\frac{2}{3}+4\frac{1}{3}=6\frac{2+1}{3}=6\frac{3}{3}=7\).

А что, если знаменатели у дробей разные, а? \(2/3+1/2\), например. И тут ты сразу вспоминаешь, что мы проходили приведение дробей к общему знаменателю, и, наконец, становится понятно, зачем это было учить! В данном примере общим знаменателем будет число \(6\), как наименьшее общее кратное чисел \(2\) и \(3\). \(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}\). Поскольку ты теперь умеешь приводить неправильную дробь к смешанной дроби, то открою тебе секрет, что это является не просто хорошим тоном, но и обязательным действием при упрощении выражений, после получения ответа избавиться от неправильных дробей.

С  десятичными  дробями все еще проще. Сложение делается, как и с обычными числами, только не забывай про запятую. Вот тебе пример: \(\displaystyle 15,2+2,91\). Я предлагаю решать так: удобнее всего вычитать в столбик, расположив одну дробь под другой, но при этом запятая должна стоять строго под запятой вне зависимости от количества знаков до и после нее.

Untitled3

Как ты видишь, у второй дроби после запятой было на один знак больше. Для достижения одинакового количества знаков, я добавил еще один ноль в конце первой дроби. Невероятно, но после последнего знака после запятой ты можешь добавить сколько угодно нулей, и это не изменит смысла дроби!

Вычитание дробей

Вычитание дробей практически ни чем не отличается от сложения, ну разве что знаком. А так, вычитается знаменатель из знаменателя, при сохранении общего числителя неизменным, а в случае если знаменатели разные,  дроби приводятся к общему знаменателю. Но куда же без специфики, тут она тоже присутствует —  если ты вычитаешь одну смешанную дробь из другой, то в случае, если дробная часть уменьшаемой дроби меньше, чем у той, которую ты вычитаешь, то нужно уменьшить целую часть дроби на один и перенести в дробную часть, и вычитать из целой части целую, а из дробной дробную   – что-нибудь понятно хоть чуточку? – Ладно, смотри пример, сейчас разберешься!

\(4\frac{1}{3}-2\frac{2}{3}=3\frac{4}{3}-2\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}\) – как ты видишь, в дробной части, тут из \(1/3\) вычитается \(2/3\), но, очевидно, что, не привлекая «кусочки» от целого пирога, вычитание совершить нельзя. Для этого один пирог режут на куски и добавляют их к  дробной части. Получается, что уже из \(4/3\) вычитают \(2/3\), а тут уж нет проблем.

А с десятичными дробями все то же самое, что и было при сложении.

Вот тебе пример:

2

Есть вопросы по нему? Думаю, все логично и понятно, если нет, то еще раз посмотри, как делали сложение.

Умножение дробей

Умножать дробь на число — элементарно!  \(4\cdot \frac{2}{3}\ \) — вот пример, это произведение четырех и \(2/3\), не путай с \(4\frac{2}{3}\) — это четыре целых, две третьих!!! Ну, так вот, \(4\cdot \frac{2}{3}\ =\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\). Просто умножаешь число на числитель, а знаменатель не трогаешь!

Умножение смешанной дроби на число: \(4\cdot 2\frac{2}{5}\) . Умножаешь и целую,  и дробную части на \(4\). Вот как это выглядит: \(4\cdot 3\frac{2}{5}=12\frac{8}{5}=13\frac{3}{5}\).

Все сложнее при умножении дроби на дробь. Давай прямо по пунктикам:

  • Если дробь смешанная, привести ее к виду обыкновенной неправильной дроби;
  • Перемножить числители дробей, перемножить знаменатели дробей;
  • Записать результат умножения числителей в числитель, а знаменателей, в знаменатель.

Заметь, что для умножения дробей с разными знаменателями не нужно приводить их к общему знаменателю!

Вот как все делается: \(3\frac{2}{5}\cdot 2\frac{1}{3}=\frac{17}{5}\cdot \frac{7}{3}=\frac{119}{15}=7\frac{14}{15}\).

Умножение десятичных дробей на число или на десятичную дробь делается просто в столбик, и без запятых. Главное не забыть что? Правильно, после умножения поставить запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у двух множителей до умножения.  Например: \(17,3\cdot 5,1=88,23\). В множителях было в сумме два знака справа от запятой, можно просто перемножить \(173\) и \(51\), а потом к результату дописать запятую, отсчитав два знака справа.

Деление дробей

Деление. А что деление? Деление это действие обратное умножению. Сейчас поясню, существует такое понятие, как «обратная дробь», или дробь обратная данной, иными словами, это попросту перевернутая дробь! Деление дроби на дробь по сути это умножение на дробь обратную.

Смотри: \(\frac{1}{7}:\frac{3}{5}=\frac{1}{7}\cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{21}\) Как ты видишь, дробь \(3/5\) просто переворачивается, а знак деления меняется на умножение!

А деление дроби на число или наоборот особо не отличается от деления на дробь, ведь любое число можно представить виде дроби – как, спросишь ты? А ты знаешь, сколько будет \(7/1\), например? По сути это \(7\) пирогов разделить на одного человека. Сколько пирогов получит он? Семь! Таким образом, любое число можно представить в виде дроби, в которой это число разделено на \(\displaystyle 1\). Значит, \(7:\frac{3}{5}=\frac{7}{1}\cdot \frac{5}{3}=\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}\). Деление десятичных дробей производится ровно, так же как и умножение, с тем же главным правилом, не забывать после деления поставить в частном запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у делимого и делителя до самого деления!

Больше задач — после регистрации.

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь

Бывают ситуации, когда приходится преобразовывать десятичную дробь в обычную. Делается это очень просто. Давай возьмем дробь \(1,4\), например, запишем ее сначала как простую дробь, у нас будет ноль целых и четырнадцать десятых, так и напишем: \(14/10\). Но дробь неправильная, ее можно сократить, а так же превратить в смешанную дробь: \(\displaystyle \frac{14}{10}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\).

Рациональные числа

Рациональные числа — это целые и дробные числа (простые дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

С простыми дробями понятно, а конечными десятичными называют дроби, у которых после запятой какое-то определенное число знаков, даже если их много.

А вот бесконечные периодические дроби – это дроби с периодически повторяющимися знаками после запятой. Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби. Любое рациональное число можно представить как дробь, с числителем принадлежащим целым числам \(\left( \ldots -2,-1,\text{ }0,\text{ }1\ldots  \right)\), а знаменателем – натуральным \((1, 2, 3…)\). Так при делении одного на три десятичная дробь получится бесконечной, но знаки после запятой будут повторяться, \(1/3=0,333333\)… или как это еще записывают \(0,(3)\), читается это как «ноль целых и три в периоде». А бывает и так \(85/63=1,(349206)\). Так вот, периодические десятичные дроби тоже относятся к рациональным числам. Но не относятся к ним бесконечные непериодические десятичные дроби. Это дроби, типа числа \(\pi \) \((3,1415926535…)\), которые имеют бесконечное число знаков после запятой. Такие дроби называются иррациональными. Так же к ним относятся корни, например: \(\sqrt{3}=1,732\).

Подведем итог. Далее следует эдакая шпаргалка для тебя, которая поможет тебе различать рациональные и иррациональные числа.

Итак, иррациональными являются:

  • непериодические десятичные дроби \((22,353335333335…)\);
  • \(\sqrt{n}\) для любого натурального \(\displaystyle n\), не являющегося точным квадратом;
  • \({{e}^{x}}\) для любого рационального, где \(e =2,7182818…\);
  • \(ln\text{ }x\) для любого положительного рационального; \(\displaystyle \text{x}\ne \text{1}\)
  • \(\pi \), а также \({{\pi }^{n}}\) для любого целого \(\displaystyle \text{n}\ne \text{0}\).

Все остальные смело можешь считать рациональными!

Рациональными будут:

  • натуральные числа;
  • целые числа;
  • обыкновенные дроби;
  • смешанные числа;
  • конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Примеры

Попробуй, отличи, какие числа тут рациональные, а какие – нет:

  1. \(3/5\)
  2. \(3\pi /2\)
  3. \(0,18\)
  4. \(0,666\ldots \)
  5. \(4,10110011100011110000\ldots \)
  6. \(\sqrt{8}\)
  7. \(\sqrt{9}\)

Ответы:

  1. Рациональное
  2. Иррациональное
  3. Рациональное
  4. Рациональное
  5. Иррациональное
  6. Иррациональное
  7. Рациональное

Для закрепления пройденного материала предлагаю тебе прорешать еще несколько примеров.

Примеры

  1. \(\frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}\)
  2. \(\frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}\)
  3. \(0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}\)

Ответы:

1. \(\displaystyle \frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{8}+\frac{27}{8}-\frac{7}{5}=\frac{9}{40}+\frac{135}{40}-\frac{56}{40}=\)

\(\displaystyle =\frac{88}{40}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}\)

2. \(\frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}=\frac{3}{2}+\frac{9}{10}-\frac{5}{3}=\frac{45}{30}+\frac{27}{30}-\frac{50}{30}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}\)

3. \(0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}=1,5-1=0,5\)

Проверь себя — реши задачи на дроби и рациональные числа.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *