Дроби, рациональные числа

Содержание

Коротко о главном

Простая дробь (обыкновенная дробь) — запись рационального числа в виде отношения двух чисел \(\displaystyle \frac{a}{b}\).

Делимое \(\displaystyle a\) — числитель дроби, а делитель \(\displaystyle b\) — знаменатель дроби.

Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например: \(\displaystyle \frac{2}{5}\),  \(\displaystyle \frac{1}{7}\) и так далее.

Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Например: \(\displaystyle \frac{9}{5}\), \(\displaystyle \frac{13}{2}\) и так далее.

Смешанная дробь — дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби. Например: \(\displaystyle 2\frac{2}{5}\)\(\displaystyle =\frac{2\cdot 5}{5}+\frac{2}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\).

Десятичная дробь — обыкновенная дробь со знаменателем \(\displaystyle 10\), \(\displaystyle 100\), \(\displaystyle 1000\) и так далее, (т.е. \(\displaystyle {{10}^{n}}\), где \(\displaystyle n\) — натуральное число). Например: \(\displaystyle \frac{9}{100}\) в виде десятичной дроби записывается как \(\displaystyle 0,09\), \(\displaystyle \frac{225}{1000}\) записывается как \(\displaystyle 0,225\).

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится, несмотря на то, что выглядеть она будет по-другому. Например: \(\displaystyle \frac{1}{5}=\frac{1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{2}{10}\).

Сокращение дроби: чтобы сократить дробь \(\displaystyle \frac{a}{b}\) нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Если наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 1\), то дробь сократить нельзя. Например: \(\displaystyle \frac{5}{15}=\frac{5:5}{15:5}=\frac{1}{3}\).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю:

  • найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
  • разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найдите для каждой дроби дополнительный множитель;
  • умножьте числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Например: \(\displaystyle \frac{1}{3}\) и \(\displaystyle \frac{3}{4}\). Наименьший общий знаменатель — \(\displaystyle 12\). Дополнительный множитель первой дроби — \(\displaystyle 12:3=4\), дополнительный множитель второй дроби — \(\displaystyle 12:4=3\).

Следовательно: для первой дроби: \(\displaystyle \frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}\), для второй дроби: \(\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}\).

Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь:

  • поделите числитель дроби на ее знаменатель;
  • остаток от деления запишите в числитель, знаменатель оставьте прежним;
  • результат от деления запишите в качестве целой части.

Например: \(\displaystyle \frac{17}{4}\) = \(\displaystyle 4\frac{1}{4}\).

Сравнение дробей:

  • две дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, числитель которой больше
  • две дроби с одинаковыми числителями: больше та дробь, знаменатель которой меньше
  • две обыкновенные дроби: после приведения дробей к общему знаменателю, больше та дробь, числитель которой больше.

Сложение/вычитание дробей:

  • две дроби с одинаковыми знаменателями: складываем/вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: \(\displaystyle \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\)
  • две обыкновенные дроби с разными знаменателями: (1) приводим дроби к наименьшему общему знаменателю; (2) складываем/вычитаем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений; (3) сокращаем полученную дробь
  • две смешанные дроби с разными знаменателями: (1) приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; (2) по-отдельности складываем/вычитаем целые части и дробные части; (3) если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части / если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превращаем ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть; (4) сокращаем полученную дробь.

Умножение дробей:

  • умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на число, а знаменатель оставляем неизменным
  • умножение двух обыкновенных дробей: (1) перемножаем числители и знаменатели дробей; (2) сокращаем полученную дробь
  • умножение двух смешанных чисел: (1) преобразовываем смешанные дроби в неправильные; (2) перемножаем числители и знаменатели дробей; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Деление дробей:

  • деление дроби на натуральное число: знаменатель дроби умножаем на число, а числитель оставляем неизменным
  • деление натурального числа на дробь: число умножаем на дробь обратную данной
  • деление обыкновенных дробей: умножаем первую обыкновенную дробь на дробь, обратную второй
  • деление двух смешанных чисел: (1) преобразовываем смешанные дроби в неправильные; (2) умножаем первую дробь на дробь, обратную второй; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Рациональные числа — это целые и дробные числа (простые дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

Проверь себя — реши задачи на дроби и рациональные числа.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Дроби, рациональные числа: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *