Дроби, рациональные числа

Содержание

Коротко о главном

Простая дробь (обыкновенная дробь) — запись рационального числа в виде отношения двух чисел $latex \displaystyle \frac{a}{b}$.

Делимое $latex \displaystyle a$ — числитель дроби, а делитель $latex \displaystyle b$ — знаменатель дроби.

Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например: $latex \displaystyle \frac{2}{5}$,  $latex \displaystyle \frac{1}{7}$ и так далее.

Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Например: $latex \displaystyle \frac{9}{5}$, $latex \displaystyle \frac{13}{2}$ и так далее.

Смешанная дробь — дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби. Например: $latex \displaystyle 2\frac{2}{5}$$latex \displaystyle =\frac{2\cdot 5}{5}+\frac{2}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$.

Десятичная дробь — обыкновенная дробь со знаменателем $latex \displaystyle 10$, $latex \displaystyle 100$, $latex \displaystyle 1000$ и так далее, (т.е. $latex \displaystyle {{10}^{n}}$, где $latex \displaystyle n$ — натуральное число). Например: $latex \displaystyle \frac{9}{100}$ в виде десятичной дроби записывается как $latex \displaystyle 0,09$, $latex \displaystyle \frac{225}{1000}$ записывается как $latex \displaystyle 0,225$.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится, несмотря на то, что выглядеть она будет по-другому. Например: $latex \displaystyle \frac{1}{5}=\frac{1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{2}{10}$.

Сокращение дроби: чтобы сократить дробь $latex \displaystyle \frac{a}{b}$ нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Если наибольший общий делитель равен $latex \displaystyle 1$, то дробь сократить нельзя. Например: $latex \displaystyle \frac{5}{15}=\frac{5:5}{15:5}=\frac{1}{3}$.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю:

  • найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
  • разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найдите для каждой дроби дополнительный множитель;
  • умножьте числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Например: $latex \displaystyle \frac{1}{3}$ и $latex \displaystyle \frac{3}{4}$. Наименьший общий знаменатель — $latex \displaystyle 12$. Дополнительный множитель первой дроби — $latex \displaystyle 12:3=4$, дополнительный множитель второй дроби — $latex \displaystyle 12:4=3$.

Следовательно: для первой дроби: $latex \displaystyle \frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}$, для второй дроби: $latex \displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}$.

Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь:

  • поделите числитель дроби на ее знаменатель;
  • остаток от деления запишите в числитель, знаменатель оставьте прежним;
  • результат от деления запишите в качестве целой части.

Например: $latex \displaystyle \frac{17}{4}$ = $latex \displaystyle 4\frac{1}{4}$.

Сравнение дробей:

  • две дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, числитель которой больше
  • две дроби с одинаковыми числителями: больше та дробь, знаменатель которой меньше
  • две обыкновенные дроби: после приведения дробей к общему знаменателю, больше та дробь, числитель которой больше.

Сложение/вычитание дробей:

  • две дроби с одинаковыми знаменателями: складываем/вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: $latex \displaystyle \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$
  • две обыкновенные дроби с разными знаменателями: (1) приводим дроби к наименьшему общему знаменателю; (2) складываем/вычитаем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений; (3) сокращаем полученную дробь
  • две смешанные дроби с разными знаменателями: (1) приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; (2) по-отдельности складываем/вычитаем целые части и дробные части; (3) если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части / если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превращаем ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть; (4) сокращаем полученную дробь.

Умножение дробей:

  • умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на число, а знаменатель оставляем неизменным
  • умножение двух обыкновенных дробей: (1) перемножаем числители и знаменатели дробей; (2) сокращаем полученную дробь
  • умножение двух смешанных чисел: (1) преобразовываем смешанные дроби в неправильные; (2) перемножаем числители и знаменатели дробей; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Деление дробей:

  • деление дроби на натуральное число: знаменатель дроби умножаем на число, а числитель оставляем неизменным
  • деление натурального числа на дробь: число умножаем на дробь обратную данной
  • деление обыкновенных дробей: умножаем первую обыкновенную дробь на дробь, обратную второй
  • деление двух смешанных чисел: (1) преобразовываем смешанные дроби в неправильные; (2) умножаем первую дробь на дробь, обратную второй; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Рациональные числа — это целые и дробные числа (простые дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

Проверь себя — реши задачи на дроби и рациональные числа.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.