Формулы сокращенного умножения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

Формулы сокращенного умножения для начального уровня мы объясняли здесь.

  1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

    \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)

  2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

    \({{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)

  3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

    \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\)

  4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:

    \({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

  5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:

    \({{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

  6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:

    \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\)

  7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:

    \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\)

Больше задач — после регистрации.

Теперь докажем все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения. Доказательство.

1. \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\).
Возвести выражение в квадрат — значит умножить его само на себя:
\({{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)\).

Раскроем скобки и приведем подобные:

\({{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}+\underline{ab}+\underline{ba}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\).

2. \({{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\).
Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
\({{\left( a-b \right)}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a-b \right)={{a}^{2}}-\underline{ab}-\underline{ba}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\).

3. \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\).
Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
\(\left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}+\underline{ab}-\underline{ba}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\).

4. \({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\).
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

\(\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\cdot \left( a+b \right)=\underbrace{\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)}_{квадрат\ суммы}\left( a+b \right)=\)

\(\displaystyle ={{a}^{3}}+\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{2{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{2a{{b}^{2}}}}+\underline{\underline{{{b}^{2}}a}}+{{b}^{3}}=\)

\(\displaystyle ={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

 

5. \(\displaystyle {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

Аналогично:
\(\displaystyle {{\left( a-b \right)}^{3}}={{\left( a-b \right)}^{2}}\cdot \left( a-b \right)=\underbrace{\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)}_{\text{квадрат}\ \ разности}\left( a-b \right)=\)

\(\displaystyle {{a}^{3}}-\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{2{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{2a{{b}^{2}}}}+\underline{\underline{{{b}^{2}}a}}-{{b}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

В разности кубов знаки чередуются.

6. \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\).
Раскроем скобки в правой части:
\(\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}-\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}+\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}+{{b}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}\).

7. \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\).
Раскроем скобки в правой части:
\(\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}+\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}-\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}-{{b}^{3}}={{a}^{3}}-{{b}^{3}}\).

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

Пример 1:

Найдите значение выражений:

  1. \({{\left( 60+1 \right)}^{2}}\)
  2. \({{97}^{2}}\)

Решение:

  1. Используем формулу квадрат суммы:\({{\left( 60+1 \right)}^{2}}={{60}^{2}}+2\cdot 60\cdot 1+{{1}^{2}}=3600+120+1=3721\).
  2. Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности:\({{97}^{2}}={{\left( 100-3 \right)}^{2}}={{100}^{2}}-2\cdot 100\cdot 3+{{3}^{2}}=10000-600+9=9409\).

Пример 2:

Найдите значение выражения: \(\frac{{{48}^{2}}-{{22}^{2}}}{{{79}^{2}}-{{51}^{2}}}\).

Решение:

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

\(\frac{{{48}^{2}}-{{22}^{2}}}{{{79}^{2}}-{{51}^{2}}}=\frac{\left( 48+22 \right)\left( 48-22 \right)}{\left( 79+51 \right)\left( 79-51 \right)}=\frac{70\cdot 26}{130\cdot 28}=\frac{7\cdot 13}{13\cdot 14}=\frac{1}{2}=0,5\).

Пример 3:

Упростите выражение:

\({{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( x+y \right)}^{2}}\).

Решение:

I способ.

Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

\(\displaystyle {{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)=\)

\(\displaystyle ={{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=-4xy.\)

II способ.

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

\(\displaystyle {{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( x+y \right)}^{2}}=\left( \left( x-y \right)+\left( x+y \right) \right)\left( \left( x-y \right)-\left( x+y \right) \right)=\)

\(\displaystyle =\left( x-y+x+y \right)\left( x-y-x-y \right)=2x\cdot \left( -2y \right)=-4xy.\)

Проверь себя — реши задачи с использованием формул сокращенного умножения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *