Формулы тригонометрии. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Привет! Сегодня мы с тобой разберем ряд полезных формул тригонометрии, которые без труда позволят тебе решать большинство задачек на тригонометрию в части B в ЕГЭ. Эти задачки будут в основном связаны с упрощением некоторых изначально “страшных” выражений до милого и приятного вида, для того, чтобы потом ты мог вычислить значение выражения в некоторой заданной точке. Конечно, ты можешь возразить мне, что можно и без всякого упрощения все посчитать. Ну что мне сказать, можно! Я бы с удовольствием посмотрел на тебя, как ты посчитаешь значение, скажем выражения:

$latex \displaystyle A=\frac{1}{3}co{{s}^{3}}a\cdot si{{n}^{3}}a+\frac{1}{3}si{{n}^{3}}a\cdot cos3a$

при $latex \displaystyle \alpha =\frac{\pi }{16}$. Не думаю, что у тебя выйдет что-то путное за вменяемое время, ты уж меня извини. Тут тебя может спасти только знание формул тригонометрии. Так что к их изучению мы и приступим.

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь? Верно! Их всего четыре!

  1. Синус $latex \displaystyle sin\left( x \right)$
  2. Косинус $latex \displaystyle cos\left( x \right)$
  3. Тангенс $latex \displaystyle tg\left( x \right)$
  4. Котангенс $latex \displaystyle ctg\left( x \right)$

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс. Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса. Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» — тангенс и котангенс. Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий. Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул». Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете. Сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Формулы (основа)

  1. Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
    $latex \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1$
  2. Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
    $latex \displaystyle tg\ \alpha =\frac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha }$
  3. Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
    $latex \displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\frac{1}{tg\ \alpha }$
  4. Первое следствие формулы 1:
    $latex \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha +1=\frac{1}{co{{s}^{2}}\alpha }$
  5. Второе следствие формулы 1:
    $latex \displaystyle ct{{g}^{2}}\alpha +1=\frac{1}{si{{n}^{2}}\alpha }$
  6. Третье следствие формулы 1:
    $latex \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt{1-co{{s}^{2}}\alpha }$
  7. Четвертое следствие формулы 1:
    $latex \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }$

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел. Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так? Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на $latex \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha $ и применением формулы 2. Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на $latex \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha $ и вместо выражения $latex \displaystyle \frac{co{{s}^{2}}\alpha }{si{{n}^{2}}\alpha }$ запишем $latex \displaystyle ct{{g}^{2}}\alpha $, исходя из определения 3. Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7. В чем их «фишка»? Их особенность заключается в знаке $latex \displaystyle \pm $, который стоит перед корнем. Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус. Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

  • Если в формуле

    $latex \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt{1-co{{s}^{2}}\alpha }$

    Угол $latex \displaystyle \alpha $ таков, что $latex \displaystyle \text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }<0$, то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

  • Если в формуле

    $latex \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }$

    Угол $latex \displaystyle \alpha $ таков, что $latex \displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }<0$, то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться? Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки. К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!». Тебе не кажется, что пришла пора мне уже перейти от теории к некоторой практике? Давай начнем!

  1. Най­ди­те $latex \displaystyle \text{3cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$, если $latex \displaystyle sin\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)$.
  2. Най­ди­те $latex \displaystyle \text{5cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$, если $latex \displaystyle cos\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)$.
  3. Най­ди­те $latex \displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ если $latex \displaystyle sin\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)$.
  4. Най­ди­те $latex \displaystyle \text{tg}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$, если $latex \displaystyle sin\alpha =-\frac{5}{\sqrt{26}}$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$.

Ну что же, давай разбираться:

1. Так как $latex \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }$, то подставим сюда значение$latex \displaystyle sin\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$, тогда $latex \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\frac{4\cdot 2}{9}}=\pm \sqrt{1-\frac{8}{9}}=$

$latex \displaystyle =\pm \sqrt{\frac{1}{9}}=\pm \frac{1}{3}.$

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи:$latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)$. Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный. Тогда  нам остается выбрать знак «плюс» перед $latex \displaystyle \frac{1}{3}$. $latex \displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{1}{3}$, тогда $latex \displaystyle 3cos\alpha =3\cdot \frac{1}{3}=1$.

Ответ: $latex \displaystyle 1$.

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности. Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как $latex \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt{1-co{{s}^{2}}\alpha }$, то все, что нам нужно – это подставить $latex \displaystyle cos\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$ в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

$latex \displaystyle sin\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\left( \frac{4\cdot 6}{25} \right)}=\pm \sqrt{\frac{1}{25}}=\pm \frac{1}{5}$. Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус». $latex \displaystyle sin\alpha =-\frac{1}{5}$, тогда $latex \displaystyle 5sin\alpha =-5\cdot \frac{1}{5}=-1$.

Ответ: $latex \displaystyle -1$.

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу $latex \displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }$ значение $latex \displaystyle sin\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$:

$latex \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\left( \frac{4\cdot 6}{25} \right)}=\pm \sqrt{\frac{1}{25}}=\pm \frac{1}{5}$. Смотрим на знак косинуса при $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)$. Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ: $latex \displaystyle -0,2$.

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан. Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь. $latex \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( -\frac{5}{\sqrt{26}} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\frac{25}{26}}=\pm \sqrt{\frac{1}{26}}=\pm \frac{1}{\sqrt{26}}$. Так как $latex \displaystyle \alpha \in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$ (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то $latex \displaystyle cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{26}}$. Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

$latex \displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{-\frac{5}{\sqrt{26}}}{-\frac{1}{\sqrt{26}}}=5.$

Ответ: $latex \displaystyle 5$.

Больше задач — после регистрации.

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «и что, это все?». Я отвечу, увы нет. Это далеко не все. Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

Формулы – 2

  1. Синус суммы и разности:
    $latex \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta  \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta $
  2. Косинус суммы и разности:
    $latex \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta  \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta $
  3. Тангенс суммы и разности:
    $latex \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta  \right)=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta }$
  4. Синус двойного угла (следствие формулы 1)
    $latex \displaystyle sin2a=2sina\cdot cosa$
  5. Косинус двойного угла (следствие формулы 2)
    $latex \displaystyle cos2a=co{{s}^{2}}a-si{{n}^{2}}a$
    $latex \displaystyle cos2a=2co{{s}^{2}}a-1=1-2si{{n}^{2}}a$
  6. Тангенс двойного угла:
    $latex \displaystyle tg2a=\frac{2tga}{1-t{{g}^{2}}a}$

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы? Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла. Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

1. $latex \displaystyle \frac{2sin11{}^\circ cos11{}^\circ }{sin22{}^\circ }$

2. $latex \displaystyle \frac{2\left( si{{n}^{2}}17{}^\circ -co{{s}^{2}}17{}^\circ  \right)}{cos34{}^\circ }$

3. $latex \displaystyle 36\sqrt{6}tg\frac{\pi }{6}sin\frac{\pi }{4}$

4. Най­ди­те $latex \displaystyle -47cos2a$, если $latex \displaystyle cosa=-0,4$

5. Най­ди­те $latex \displaystyle \frac{10sin6a}{3cos3a}$, если $latex \displaystyle sin3a=0,6$

6. Най­ди­те $latex \displaystyle 26\text{cos}\left( \frac{3\pi }{2}+a \right)$, если $latex \displaystyle cosa=\frac{12}{13}$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)$.

7. Най­ди­те $latex \displaystyle t{{g}^{2}}a$, если $latex \displaystyle 5si{{n}^{2}}a+13co{{s}^{2}}a=6$.

8. Най­ди­те $latex \displaystyle \frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}$, если $latex \displaystyle tga=-2,5$

9. Най­ди­те $latex \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta  \right)-2\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\beta  \right)$, если $latex \displaystyle cos\beta =-\frac{1}{3}$.

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь а) не самые сложные формулы б) не самые «страшные» углы. Страшные углы я припас нам напоследок. А пока что давай решать эти примеры. Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

1. $latex \displaystyle \frac{2sin11{}^\circ cos11{}^\circ }{sin22{}^\circ }$

Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус $latex \displaystyle 11$ градусов, и чему равен синус $latex \displaystyle 22$ градусов. Но что мы должны заметить? Верно! $latex \displaystyle 22{}^\circ =2\cdot 11{}^\circ $. Значит, снизу записан синус двойного угла! Тогда применим формулу синуса двойного угла:

$latex \displaystyle sin22{}^\circ =2sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ $

Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!

$latex \displaystyle \frac{12sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ }{sin22{}^\circ }=\frac{12sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ }{2sin11{}^\circ \cdot cos11{}^\circ }=6$.

Ответ: $latex \displaystyle 6$.

Ну вот, ничего страшного не случилось? Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять. Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.

2. $latex \displaystyle \frac{2\left( si{{n}^{2}}17{}^\circ -co{{s}^{2}}17{}^\circ  \right)}{cos34{}^\circ }$

Опять-таки, сразу можно заметить, что $latex \displaystyle 34{}^\circ =2\cdot 17{}^\circ $. $latex \displaystyle 34$ градуса стоит в косинусе. Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:

$latex \displaystyle cos2a=co{{s}^{2}}a-si{{n}^{2}}a$

Что же у нас есть в числителе? А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего? Да все того же косинуса двойного угла, только «наоборот», со знаком «минус»!

$latex \displaystyle si{{n}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}-co{{s}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}=-\left( -si{{n}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}+co{{s}^{2}}{{17}^{{}^\circ }} \right)=$

$latex \displaystyle =-\left( co{{s}^{2}}{{17}^{{}^\circ }}-si{{n}^{2}}{{17}^{{}^\circ }} \right)=-\cos \left( 2\cdot {{17}^{{}^\circ }} \right)=-cos{{34}^{{}^\circ }}$.

Тогда получим:

$latex \displaystyle \frac{24\left( si{{n}^{2}}17{}^\circ -co{{s}^{2}}17{}^\circ  \right)}{cos34{}^\circ }=\frac{-24cos34{}^\circ }{cos34{}^\circ }=-24$.

Ответ: $latex \displaystyle -24$.

3. $latex \displaystyle 36\sqrt{6}tg\frac{\pi }{6}sin\frac{\pi }{4}$

Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!». Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще:

2

Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по-правде, я и сам ее не знаю. Но первую знать совершенно необходимо. Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус $latex \displaystyle 60$ градусов. Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так. Запомнить всего 5 значений для, скажем, синуса. Затем тебе не составит труда заметить, что для косинуса все значения идут «наоборот»:

  • Например, синус $latex \displaystyle 0$ градусов равен нулю значит, косинус $latex \displaystyle 60$ градусов наоборот единица.
  • Синус $latex \displaystyle 90$ градусов равен единице, значит косинус $latex \displaystyle 90$ градусов равен нулю.
  • Синус $latex \displaystyle 30$ градусов равен $latex \displaystyle \frac{1}{2}$, значит косинус $latex \displaystyle 30$ градусов равен $latex \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ и т. д.

Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.

Но давай вернемся к нашему примеру: посмотрим в таблицу:

$latex \displaystyle tg\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$, $latex \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в нашу формулу:

$latex \displaystyle 36\sqrt{6}~tg\frac{\pi }{6}sin\frac{\pi }{4}=36\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{36\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{2}=\frac{36\cdot 6}{2}=36\cdot 3=108$.

Ответ: $latex \displaystyle 108$

Вот видишь, знание таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи. Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо!!!

4. По условию $latex \displaystyle cosa=-0,4$, нам же надо найти $latex \displaystyle -47cos2a$. Что тогда надо сделать? Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:

$latex \displaystyle cos2a=2co{{s}^{2}}a-1=1-2si{{n}^{2}}a$

Тогда $latex \displaystyle -47cos2\alpha =-47\left( 2co{{s}^{2}}\alpha -1 \right)=-47\left( 2\cdot {{\left( -0,4 \right)}^{2}}-1 \right)=$

$latex \displaystyle =-47\left( 2\cdot 0,16-1 \right)=-47\left( 0,32-1 \right)=-47\left( -0,68 \right)=31,96$

Ответ: $latex \displaystyle 31,96$

5. $latex \displaystyle \frac{10sin6a}{3cos3a}$ — это то, что надо вычислить, а $latex \displaystyle sin3a=0,6$ — это то, что есть. Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно. Нужно лишь заметить, что $latex \displaystyle sin6\alpha =2sin3\alpha \cdot cos3\alpha $. Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем? О чудо: косинусы сократились, а чему равен $latex \displaystyle sin3\alpha $ мы знаем из условия!

$latex \displaystyle \frac{10sin6\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{10\cdot 2sin3\alpha cos3\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{20sin3\alpha }{3}=\frac{20\cdot 0,6}{3}=\frac{12}{3}=4$

Ответ: $latex \displaystyle 4$.

6. $latex \displaystyle 26\text{cos}\left( \frac{3\pi }{2}+a \right)$- то, что нужно найти, а $latex \displaystyle cosa=\frac{12}{13}$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)$ — то, что мы имеем. На самом деле здесь можно поступать двояко. Но о втором способе я скажу тебе чуть позже. А пока давай подумаем, что нужно найти. А найти нужно по сути косинус от суммы двух углов. Причем один из них известен. Давай не будем долго думать и разложим косинус суммы на произведение:

$latex \displaystyle \cos \left( \frac{3\pi }{2}+\alpha  \right)=cos\frac{3\pi }{2}cos\alpha -sin\frac{3\pi }{2}sin\alpha $

Вспомни единичную окружность (ну или на худой конец посмотри в расширенную таблицу). Косинус углов: $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}=90{}^\circ ,~\frac{3\pi }{2}=270{}^\circ $ равен нулю! Тогда $latex \displaystyle cos\frac{3\pi }{2}cos\alpha =0\cdot cos\alpha =0$, а синусы:  $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}=90{}^\circ ,~\frac{3\pi }{2}=270{}^\circ $ равны при этом $latex \displaystyle 1$ и $latex \displaystyle -1$ соответственно. Тогда $latex \displaystyle -sin\frac{3\pi }{2}sin\alpha =-\left( -1 \right)\cdot sin\alpha $. Окончательно получим:

$latex \displaystyle \cos \left( \frac{3\pi }{2}+\alpha  \right)=sin\alpha $

Но вот незадача: синус-то нам не дан! Вместо него мы знаем, что $latex \displaystyle cos\alpha =\frac{12}{13}$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)$. Как по этим данным найти неизвестный синус – ты уже знаешь! Мы в самом начале решали такие задачки. Так что результат будет таков:

$latex \displaystyle \text{sin }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\pm \sqrt{1-\text{co}{{\text{s}}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}=\pm \sqrt{1-{{\left( \frac{12}{13} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{\frac{25}{169}}=\pm \frac{5}{13}$.

Снова нужно определиться со знаком:$latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)$. Это значит, что четверть четвертая, а синус в четвертой четверти имеет знак «минус». Тогда $latex \displaystyle \text{sin }\!\!\alpha\!\!\text{ }=-\frac{5}{13}$, что значит, что $latex \displaystyle 26\cos \left( \frac{3\pi }{2}+\alpha  \right)=26\cdot \left( -\frac{5}{13} \right)=-10$.

Ответ: $latex \displaystyle -10$.

7. Нужно найти: $latex \displaystyle t{{g}^{2}}a$, а дано: $latex \displaystyle 5si{{n}^{2}}a+13co{{s}^{2}}a=6$. Тут все можно сделать только зная, что такое тангенс и основное тригонометрическое тождество. По-порядку:

$latex \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\frac{si{{n}^{2}}\alpha }{co{{s}^{2}}\alpha }$,
$latex \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1$

Тогда решить задачу можно вот как: найти по-отдельности значения синуса в квадрате и косинуса в квадрате, а затем при помощи полученных значений найти тангенс. Так мы с тобой и сделаем:

Вначале найдем синус в квадрате.

Так как $latex \displaystyle co{{s}^{2}}a=1-si{{n}^{2}}\alpha $, то

$latex \displaystyle 5si{{n}^{2}}\alpha +13\left( 1-si{{n}^{2}}\alpha  \right)=6$

$latex \displaystyle 5si{{n}^{2}}\alpha +13-13si{{n}^{2}}\alpha =6$

$latex \displaystyle 5si{{n}^{2}}\alpha -13si{{n}^{2}}\alpha =6-13$

$latex \displaystyle -8si{{n}^{2}}\alpha =-7$

$latex \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\frac{7}{8}$

Тогда из $latex \displaystyle co{{s}^{2}}a=1-si{{n}^{2}}\alpha $, получим, что $latex \displaystyle co{{s}^{2}}a=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}$

Наконец, найдем тангенс:

$latex \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\frac{si{{n}^{2}}\alpha }{co{{s}^{2}}a}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=7$

Ответ: $latex \displaystyle 7$

8. Надо найти $latex \displaystyle \frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}$, зная, что $latex \displaystyle tga=-2,5$. На какую мысль тебя это должно было натолкнуть? А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

$latex \displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$

У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать? Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на $latex \displaystyle cos\alpha $. Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

$latex \displaystyle \frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{2sin\alpha +5cos\alpha +3}=\frac{\frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{cos\alpha }}{\frac{2sin\alpha +5cos\alpha +3}{cos\alpha }}=\frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}$.

Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо $latex \displaystyle tga$ его числовое значение $latex \displaystyle -2,5$. Тогда получим:

$latex \displaystyle \frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{10+4\left( -2,5 \right)+\frac{15}{cos\alpha }}{2\left( -2,5 \right)+5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{\frac{15}{cos\alpha }}{\frac{3}{cos\alpha }}$

Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ: $latex \displaystyle \frac{15}{3}=5$.

Ответ: $latex \displaystyle 5$.

9. Нужно найти$latex \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta  \right)-2\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\beta  \right)$, если дано $latex \displaystyle cos\beta =-\frac{1}{3}$.

Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов. Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

$latex \displaystyle \cos \left( \pi +\beta  \right)=cos\pi \cdot cos\beta -sin\pi \cdot sin\beta $

Опять-таки, тебе должно быть известно, что $latex \displaystyle cos\pi =-1,~~sin\pi =0$.

Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

Тогда моя формула примет вид:

$latex \displaystyle \cos \left( \pi +\beta  \right)=-cos\beta =-\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{1}{3}$

Теперь с синусом:

$latex \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta  \right)=sin\frac{\pi }{2}\cdot cos\beta +cos\frac{\pi }{2}\cdot sin\beta $.

Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу): $latex \displaystyle sin\frac{\pi }{2}=1,~cos\frac{\pi }{2}=0$, тогда

$latex \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta  \right)=cos\beta =-\frac{1}{3}$

Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:

$latex \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta  \right)-2\sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta  \right)=7\cdot \frac{1}{3}-2\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}=3$

Ответ: $latex \displaystyle 3$.

Больше задач — после регистрации.

Формулы приведения

Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой. Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем $latex \displaystyle 90$ градусов. Например, найти синус угла $latex \displaystyle 855$ градусов.

Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период $latex \displaystyle 2\pi $ ($latex \displaystyle 360$ градусов), то есть

    $latex \displaystyle sin\left( 2\pi k+x \right)=sinx$
    $latex \displaystyle cos\left( 2\pi k+x \right)=cosx$

    Тангенс (котангенс) имеют период $latex \displaystyle \pi $ ($latex \displaystyle 180$ градусов)

    $latex \displaystyle tg\left( \pi k+x \right)=tgx$
    $latex \displaystyle ctg\left( \pi k+x \right)=ctgx$
    $latex \displaystyle k$ – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

    $latex \displaystyle sin\left( -x \right)=-sinx$
    $latex \displaystyle tg\left( -x \right)=-tg\left( x \right)$
    $latex \displaystyle cos\left( -x \right)=cos\left( x \right)$

Теперь непосредственно сам алгоритм:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

    $latex \displaystyle sin\left( -855{}^\circ  \right)=-sin855{}^\circ ,~cos\left( -855{}^\circ  \right)=cos855{}^\circ $

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: $latex \displaystyle 2\pi k$ (по $latex \displaystyle 360$ градусов), а для тангенса – «половинки» $latex \displaystyle \pi k$ ($latex \displaystyle 180$ градусов). Например:

    $latex \displaystyle sin\ 855{}^\circ =sin\left( 2\cdot 360{}^\circ +135{}^\circ  \right)=sin\ 135{}^\circ $ $latex \displaystyle tg\ 225{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +45{}^\circ  \right)=tg\ 45{}^\circ $

  3. Если оставшийся «уголок» меньше $latex \displaystyle 90$ градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице»
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол $latex \displaystyle \alpha $: это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол $latex \displaystyle \alpha $ в одной из следующих форм

    $latex \displaystyle \alpha =90+\beta $ (если во второй четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =180-\beta $ (если во второй четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =180+\beta $ (если в третьей четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =270-\beta $ (если в третьей четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =270+\beta $ (если в четвертой четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =360-\beta $ (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол $latex \displaystyle \beta $ был больше нуля и меньше $latex \displaystyle 90$ градусов. Например:

    $latex \displaystyle 135{}^\circ =180{}^\circ -45{}^\circ $
    $latex \displaystyle 135{}^\circ =90{}^\circ +45{}^\circ $
    $latex \displaystyle 315{}^\circ =270{}^\circ+45{}^\circ $
    $latex \displaystyle 240{}^\circ =180{}^\circ +60{}^\circ $
    $latex \displaystyle 240{}^\circ =270{}^\circ -30{}^\circ $

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через $latex \displaystyle 180$ или $latex \displaystyle 360$ градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь $latex \displaystyle 180$ или $latex \displaystyle 360$ и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через $latex \displaystyle 90$ или $latex \displaystyle 270$ градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить $latex \displaystyle sin\ 2130{}^\circ $
  2. Вычислить $latex \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}$
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: $latex \displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ $

Начнем по порядку:

  1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для $latex \displaystyle 2130{}^\circ $:

    $latex \displaystyle \frac{2130{}^\circ }{360{}^\circ }=5,91\ldots $

    В общем, делаем вывод, что в угол $latex \displaystyle 2130{}^\circ $ помещается целиком 5 раз по $latex \displaystyle 360{}^\circ $, а сколько осталось? Осталось $latex \displaystyle 2130{}^\circ -5\cdot 360{}^\circ =330{}^\circ $. Тогда

    $latex \displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =sin\left( 5\cdot 360{}^\circ +330{}^\circ  \right)=sin\ 330{}^\circ $

    Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком. $latex \displaystyle 330{}^\circ $ лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем  $latex \displaystyle 330{}^\circ $ согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу: $latex \displaystyle 330{}^\circ =270{}^\circ +60{}^\circ $

    $latex \displaystyle sin\ 330{}^\circ =sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ  \right)$

    Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с $latex \displaystyle 270$ градусами, тогда отбрасываем $latex \displaystyle 270{}^\circ $ и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

    $latex \displaystyle sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ  \right)=-cos60{}^\circ $

    $latex \displaystyle 60$ градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

    $latex \displaystyle cos\ 60{}^\circ =0,5$

    Тогда получим окончательный ответ:

    $latex \displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =-0,5$

    Ответ: $latex \displaystyle -0,5$

  2. $latex \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}$ все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

    $latex \displaystyle \pi ~рад.=180{}^\circ $

    Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

    $latex \displaystyle \frac{21\pi }{4}=5\frac{1}{4}\pi =4\pi +1\frac{1}{4}\pi $

    Отбрасываем $latex \displaystyle 4\pi $ — это два целых круга. Осталось вычислить $latex \displaystyle cos\ 1\frac{1}{4}\pi $. Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. $latex \displaystyle 1\frac{1}{4}\pi $ можно представить как $latex \displaystyle \pi +\frac{\pi }{4}$. Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа $latex \displaystyle \pi $ ($latex \displaystyle 180{}^\circ $ или $latex \displaystyle 360{}^\circ $), тогда функция не меняется:

    $latex \displaystyle cos1\frac{1}{4}\pi =\cos \left( \pi +\frac{\pi }{4} \right)=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

    Тогда $latex \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}=\sqrt{2}\cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-1$.
    Ответ: $latex \displaystyle -1$.

  3. $latex \displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ $. Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток: $latex \displaystyle 150{}^\circ $ и $latex \displaystyle 120{}^\circ $ градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс». $latex \displaystyle 150{}^\circ $ можно представить как: $latex \displaystyle 150{}^\circ =90{}^\circ +60{}^\circ $, а $latex \displaystyle 120{}^\circ $ как $latex \displaystyle 90{}^\circ +30{}^\circ $, тогда

    $latex \displaystyle 12sin\ 150{}^\circ cos\ 120{}^\circ =12\sin \left( 90{}^\circ +60{}^\circ  \right)\text{cos}\left( 90{}^\circ +30{}^\circ  \right)$

    Оба случая – «половинки от целого $latex \displaystyle \pi $». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

    $latex \displaystyle 12\sin \left( 90{}^\circ +60{}^\circ  \right)\cos \left( 90{}^\circ +30{}^\circ  \right)=12cos\ 60{}^\circ \left( -sin\ 30{}^\circ  \right)=12\cdot 0,5\cdot \left( -0,5 \right)=-3$

    Ответ: $latex \displaystyle -3$.

Тренировка

Ну вот, теперь на мой взгляд, ты готов к решению всех оставшихся «за бортом» задач. Страшные углы теперь тебе более не помеха. Попробуй прорешать примеры самостоятельно, а потом мы с тобой сравним результаты.

1. $latex \displaystyle \frac{5cos29{}^\circ }{sin61{}^\circ }$

2. $latex \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$

3. $latex \displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -750{}^\circ  \right)$

4. $latex \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)$

5. $latex \displaystyle \frac{14sin409{}^\circ }{sin49{}^\circ }$

6. $latex \displaystyle \frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^\circ +co{{s}^{2}}207{}^\circ }$

7. $latex \displaystyle \frac{5sin74{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }$

8. $latex \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}$

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния $latex \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma  \right)-tg\left( -\gamma  \right)$, если $latex \displaystyle tg\gamma =7$.

10. Най­ди­те $latex \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha  \right)$, если $latex \displaystyle sin\alpha =0,8$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)$.

Начнем проверять вместе:

  1. $latex \displaystyle \frac{5cos29{}^\circ }{sin61{}^\circ }$ Ключ к успеху – заметить, что $latex \displaystyle 29{}^\circ +61{}^\circ =90{}^\circ $!!! Тогда, например $latex \displaystyle 90{}^\circ -61{}^\circ =29{}^\circ $:

    $latex \displaystyle \frac{5cos29{}^\circ }{sin61{}^\circ }=\frac{5\text{cos}\left( 90{}^\circ -61{}^\circ  \right)}{sin61{}^\circ }$

    $latex \displaystyle 90{}^\circ -61{}^\circ $– угол первой четверти. Косинус первой четверти – положительный. Поскольку мы вычитаем из $latex \displaystyle 90$ градусов, то косинус меняется на синус:

    $latex \displaystyle \frac{5\text{cos}\left( 90{}^\circ -61{}^\circ  \right)}{sin61{}^\circ }=\frac{5sin61{}^\circ }{sin61{}^\circ }=5$

    Ответ: $latex \displaystyle 5$.

  2. $latex \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$
    Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы

    $latex \displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}$

    Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга $latex \displaystyle 6\pi $. Остается вычислить: $latex \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
    Также поступаем и со вторым углом:

    $latex \displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi $

    Удаляем целое число кругов –3 круга ($latex \displaystyle 6\pi $) тогда:

    $latex \displaystyle \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi  \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi  \right)$

    Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до $latex \displaystyle 2\pi $ всего $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$. Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим $latex \displaystyle \pi +\frac{3}{4}\pi =1\frac{3}{4}\pi =2\pi -\frac{\pi }{4}$. Так как вычитаем мы из целого количества $latex \displaystyle \pi $, то знак косинуса не меняем:

    $latex \displaystyle \cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi  \right)=\cos \left( 2\pi -\frac{\pi }{4} \right)=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

    Подставляем все полученные данные в формулу:

    $latex \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16$

    Ответ: $latex \displaystyle -16$.

  3. $latex \displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -750{}^\circ  \right)$
    Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что $latex \displaystyle cos\left( -x \right)=cos\left( x \right)$. Осталось сосчитать косинус $latex \displaystyle 750$ градусов. Уберем целые круги: $latex \displaystyle 750{}^\circ =2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ $. Тогда

    $latex \displaystyle cos\left( -750{}^\circ  \right)=cos\left( 750{}^\circ  \right)=cos\left( 2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ  \right)=cos30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$

    Тогда $latex \displaystyle -4\sqrt{3}\cos \left( -750{}^\circ  \right)=-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot 3=-6$
    Ответ: $latex \displaystyle -6$.

  4. $latex \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)$
    Действуем, как в предыдущем примере.

    $latex \displaystyle \ tg\left( -300{}^\circ  \right)=-tg300{}^\circ $

    Поскольку ты помнишь, что период у тангенса – $latex \displaystyle 180$ градусов (или $latex \displaystyle \pi $) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество $latex \displaystyle \pi $.

    $latex \displaystyle tg300{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +120{}^\circ  \right)=tg120{}^\circ $

    $latex \displaystyle 120$ градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! $latex \displaystyle 120{}^\circ $ можно записать как $latex \displaystyle 90{}^\circ +30{}^\circ $. Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

    $latex \displaystyle tg120{}^\circ =tg\left( 90{}^\circ +30{}^\circ  \right)=-ctg30{}^\circ =-\sqrt{3}$

    Тогда $latex \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)=-2\sqrt{3}\left( -\sqrt{3} \right)=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6$.
    Ответ: $latex \displaystyle 6$.

  5. $latex \displaystyle \frac{14sin409{}^\circ }{sin49{}^\circ }$
    Снизу у нас все хорошо – маленький уголок первой четверти. Наверху же – все плохо: угол большой, надо его упростить по формулам приведения. $latex \displaystyle sin409{}^\circ =sin\left( 360{}^\circ +49{}^\circ  \right)=sin49{}^\circ $ (я уже воздержусь тут от комментариев, тебе и так все ясно).

    $latex \displaystyle \frac{14sin409{}^\circ }{sin49{}^\circ }=\frac{14sin49{}^\circ }{sin49{}^\circ }=14$.

    Ответ: $latex \displaystyle 14$.

  6. $latex \displaystyle \frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^\circ +co{{s}^{2}}207{}^\circ }$
    Вся проблема, как ты понимаешь, в косинусе. Но не беда, решим. Смотри, на знак нам все равно, поскольку косинус-то у нас в квадрате и знак всегда будет «плюс».То есть на четверти можно не смотреть. В то же время:

    $latex \displaystyle co{{s}^{2}}207{}^\circ =co{{s}^{2}}\left( 180{}^\circ +27{}^\circ  \right)=co{{s}^{2}}27{}^\circ $
    $latex \displaystyle \frac{12}{si{{n}^{2}}27{}^\circ +co{{s}^{2}}27{}^\circ }=\frac{12}{1}=12$

    Какой формулой я воспользовался в знаменателе? Помнишь, ты обещал ее выучить и быть готовым ответить, проснувшись среди ночи?!).
    Ответ: $latex \displaystyle 12$.

  7. Пример немного похитрее. $latex \displaystyle \frac{5sin74{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }$ Прежде всего заметим, что $latex \displaystyle 74{}^\circ =2\cdot 37{}^\circ $. Тогда давай представим числитель как синус двойного угла!

    $latex \displaystyle \frac{5sin74{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }=\frac{5\cdot 2sin37{}^\circ cos37{}^\circ }{cos37{}^\circ cos53{}^\circ }=\frac{10sin37{}^\circ }{cos53{}^\circ }$

    Тебе это ничего не напоминает? Задача в точности такая же, как в номере 1. Я тогда так и поступлю, заметив, что у меня опять: $latex \displaystyle 90{}^\circ =37{}^\circ +53{}^\circ $!

    $latex \displaystyle \frac{10sin37{}^\circ }{cos53{}^\circ }=\frac{10\text{sin}\left( 90{}^\circ -53{}^\circ  \right)}{cos53{}^\circ }=\frac{10cos53{}^\circ }{cos53{}^\circ }=10$.

    Ответ: $latex \displaystyle 10$.

  8. $latex \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}$
    Опять задание комбинированное! Легко увидеть и вынести за скобки общий множитель $latex \displaystyle \sqrt{3}$:

    $latex \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}=\sqrt{3}\left( co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12} \right)$

    Как называется формула внутри скобок? Пробегись глазами по списку наших формул! Нашел? Это косинус двойного угла!

    $latex \displaystyle co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12}=\cos \left( 2\cdot \frac{5\pi }{12} \right)=cos\frac{10\pi }{12}=\text{cos}\frac{5\pi }{6}=\cos \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)$

    И снова формулы приведения: косинус второй четверти отрицательный, так как вычитаем мы из целого числа $latex \displaystyle \pi $, то косинус не меняется:

    $latex \displaystyle \cos \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-cos\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

    Окончательно получим:

    $latex \displaystyle \sqrt{3}\left( co{{s}^{2}}\frac{5\pi }{12}-si{{n}^{2}}\frac{5\pi }{12} \right)=\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{3}{2}=-1,5$

    Ответ: $latex \displaystyle -1,5$.

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния $latex \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma  \right)-tg\left( -\gamma  \right)$, если $latex \displaystyle tg\gamma =7$.
    У тангенса период – $latex \displaystyle \pi $, так что не задумываясь отбрасываем его:

    $latex \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma  \right)=5tg\left( -\gamma  \right)\ =-5tg\gamma $

    Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.
    $latex \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma  \right)-tg\left( -\gamma  \right)=-5tg\gamma -\left( -tg\gamma  \right)=-5tg\gamma +tg\gamma =-4tg\gamma =$
    $latex \displaystyle =-4\cdot 7=-28$
    Ответ: $latex \displaystyle -28$.

  10. Най­ди­те $latex \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha  \right)$, если $latex \displaystyle sin\alpha =0,8$ и $latex \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)$
    Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

    $latex \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha  \right)=\sin \left( 2\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{2}-\alpha  \right)=-\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\alpha  \right)$

    Теперь: наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия на угол в условии задачи!!!). Синус имеет знак минус, так как складываем мы с «половинкой от пи», то синус меняется на косинус.

    $latex \displaystyle -\sin \left( \frac{\pi }{2}+\alpha  \right)=cos\alpha $

    Теперь все как в самом начале урока. По известному синусу надо найти косинус.

    $latex \displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{0,8}^{2}}}=\pm \sqrt{0,36}=\pm 0,6$

    Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

    $latex \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha  \right)=-0,6$.

    Ответ: $latex \displaystyle -0,6$.

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь! Я думаю, что если ты еще самостоятельно порешаешь примеры из группы B11 в ЕГЭ, то скоро у тебя возникнет абсолютно ясное понимание, где и как применять ту или иную формулу тригонометрии. Здесь все зависит только от тебя и от твоего упорства.

В следующей статье по теме «формулы тригонометрии» я буду вводить более сложные и изощренные формулы, опираясь при этом на изложенные здесь результаты, не проводя уже таких детальных выкладок, как делал в этом обзоре.

Проверь себя — реши задачи на формулы тригонометрии.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий