Формулы тригонометрии. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

И снова тригонометрия! Однако, здесь я уже буду рассматривать более «навороченные» формулы, которые используются для решения более сложных задач, нежели те, что мы с тобой рассмотрели в предыдущей статье «Формулы тригонометрии. Подробная теория для начального уровня». Я сразу оговорюсь, что в части С современного ЕГЭ нет задач, которые бы звучали как «упростите выражение…». Это звучало бы слишком банально, не так ли? Но неявно эти формулы могут использоваться, скажем, при упрощении тригонометрических уравнений. А вот такие задания – основа С1. Поэтому будь внимателен, в некоторых (не очень тривиальных) случаях, следующие формулы помогут тебе выйти из затруднительной ситуации.

Первая группа формул является универсальной: она позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному. Это, конечно, имеет важное приложение при решении уравнений, но здесь мы рассмотрим, как эти формулы помогают при упрощении тригонометрических выражений.

Формулы понижения степени:

  1. \(\displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}\)
  2. \(\displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}\)
  3. \(\displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\)

Универсальная тригонометрическая подстановка:

  1. \(\displaystyle sin\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1+t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}\)
  2. \(\displaystyle cos\alpha =\frac{1-t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}{1+t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}\)
  3. \(\displaystyle tg\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1-t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}\)
  4. \(\displaystyle ctg\alpha =\frac{1-t{{g}^{2}}\frac{\alpha }{2}}{2tg\frac{\alpha }{2}}\)

В чем прелесть этих формул? Первые две позволяют «убрать степени», то есть понизить порядок выражения (или повысить, за счет снижения кратности угла), вторая группа формул позволяет свести любое тригонометрическое выражение к виду, зависящему только от тангенсов! Иногда это единственный способ решить ту или иную задачу. Перейдем к примерам.

  1. Доказать тождество:

    \(\displaystyle \frac{3-4cos2\alpha +cos4\alpha }{3+4cos2\alpha +cos4\alpha }=t{{g}^{4}}\alpha \)

    С виду тождество угрожающе! Но разберемся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперед повышают степень! И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме! Вот и распишем по правилам:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{3-4cos2\alpha +cos4\alpha }{3+4cos2\alpha +cos4\alpha }=\frac{3-4cos2\alpha +\left( 2co{{s}^{2}}2\alpha -1 \right)}{3+4cos2\alpha +\left( 2co{{s}^{2}}2\alpha -1 \right)}=\\=\frac{2-4cos2\alpha +2co{{s}^{2}}2\alpha }{2+4cos2\alpha +2co{{s}^{2}}2\alpha }=\frac{1-2cos2\alpha +co{{s}^{2}}2\alpha }{1+2cos2\alpha +co{{s}^{2}}2\alpha }\end{array}\)

    Тебе ничего по форме не напоминают числитель и знаменатель дроби? Приглядись внимательно, здесь «зарыта» хорошо известная тебе формула. Увидел ее? Это же квадрат разности и квадрат суммы!

    \(\displaystyle \frac{1-2cos2\alpha +co{{s}^{2}}2\alpha }{1+2cos2\alpha +co{{s}^{2}}2\alpha }=\frac{{{\left( 1-cos2\alpha  \right)}^{2}}}{{{\left( 1+cos2\alpha  \right)}^{2}}}={{\left( \frac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha } \right)}^{2}}\)

    А выражение в скобках есть ничто иное, как \(\displaystyle t{{g}^{2}}\alpha \), окончательно получим:

    \(\displaystyle {{\left( \frac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha } \right)}^{2}}={{\left( t{{g}^{2}}\alpha  \right)}^{2}}=t{{g}^{4}}\alpha \)

    Тождество доказано!
    Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно:

  2. Доказать тождество:

    \(\displaystyle \frac{1+sin2\alpha +cos2\alpha }{1+sin2\alpha -cos2\alpha }=ctg\alpha \)

    Решение (хотя может и отличаться от твоего)
    Опять «повысим степень» у косинуса: \(\displaystyle cos2\alpha =2co{{s}^{2}}\alpha -1\)
    \(\displaystyle \frac{1+sin2\alpha +cos2\alpha }{1+sin2\alpha -cos2\alpha }=\frac{1+sin2\alpha +2co{{s}^{2}}\alpha -1}{1+sin2\alpha -2co{{s}^{2}}\alpha +1}=\frac{sin2\alpha +2co{{s}^{2}}\alpha }{2+sin2\alpha -2co{{s}^{2}}\alpha }\)
    Надо сокращать дальше! Что делать? Ясно, что надо избавляться от двойных углов у синуса. Действуем по формуле синуса двойного угла и сокращаем двойки:
    \(\displaystyle \frac{sin2\alpha +2co{{s}^{2}}\alpha }{2+sin2\alpha -2co{{s}^{2}}\alpha }=\frac{2sin\alpha cos\alpha +2co{{s}^{2}}\alpha }{2+2sin\alpha cosa-2co{{s}^{2}}\alpha }=\frac{sin\alpha cos\alpha +co{{s}^{2}}\alpha }{1+sin\alpha cosa-co{{s}^{2}}\alpha }\)
    Числитель раскладывается на множители. Знаменатель –пока нет. До тех пор, пока мы не применим основное тригонометрическое тождество:

    \(\displaystyle 1-co{{s}^{2}}\alpha =si{{n}^{2}}\alpha \)

    \(\displaystyle \frac{sin\alpha cos\alpha +co{{s}^{2}}\alpha }{1+sin\alpha cos\alpha -co{{s}^{2}}\alpha }=\frac{sin\alpha cos\alpha +co{{s}^{2}}\alpha }{si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha cos\alpha }=\frac{cos\alpha \left( sin\alpha +cos\alpha  \right)}{sin\alpha \left( sin\alpha +cos\alpha  \right)}=ctg\alpha \)
    Вот еще один пример, но не такой простой:

  3. Доказать, что если \(\displaystyle 0<\alpha <\frac{\pi }{2}\), то \(\displaystyle \sqrt{1+sin\alpha }-\sqrt{1-sin\alpha }=2sin\frac{\alpha }{2}\)
    Зачем нам дан угол? Наверное, чтобы оценить выражения: синус \(\displaystyle \alpha \)будет положительным, \(\displaystyle sin\frac{\alpha }{2}>0,~1+sin\alpha >1,~0<1-sin\alpha <1\)
    Тогда и левая, и правая части тождества больше нуля.
    Это дает мне право без задней мысли возвести их в квадрат:
    \(\displaystyle {{\left( \sqrt{1+sin\alpha }-\sqrt{1-sin\alpha } \right)}^{2}}=4si{{n}^{2}}\frac{\alpha }{2}\) – вот такое тождество нам нужно теперь доказать.
    Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности!
    \(\displaystyle \begin{array}{l}{{\left( \sqrt{1+\sin \alpha }-\sqrt{1-\sin \alpha } \right)}^{2}}=1+\sin \alpha -2\sqrt{1+\sin \alpha }\cdot \sqrt{1-\sin \alpha }+1-\\-\sin \alpha =2-2\sqrt{1+\sin \alpha }\cdot \sqrt{1-\sin \alpha }=2\left( 1-\sqrt{1+\sin \alpha }\cdot \sqrt{1-\sin \alpha } \right)=\\2\left( 1-\sqrt{1+{{\sin }^{2}}\alpha } \right)=2\left( 1-\sqrt{co{{s}^{2}}}\alpha  \right)\end{array}\)
    Я не сомневаюсь в твоей грамотности и поэтому даже не упоминаю про использованные мною формулы в выкладках. Теперь надо бы убрать корень из косинуса. Но мы знаем, что просто так это делать нельзя, ибо \(\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\). В то же время вспоминаем про четверть: наш угол лежит в первой четверти, тогда косинус имеет знак «плюс» и мы просто убираем корень: \(\displaystyle 2\left( 1-\sqrt{co{{s}^{2}}}\alpha  \right)=2\left( 1-cos\alpha  \right)\)
    Тогда нам надо доказать, что
    \(\displaystyle 2\left( 1-cos\alpha  \right)=4si{{n}^{2}}\frac{\alpha }{2}\)
    \(\displaystyle \left( 1-cos\alpha  \right)=2si{{n}^{2}}\frac{\alpha }{2}\)
    Справа применим формулу понижения степени:
    \(\displaystyle si{{n}^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2}\),тогда

    \(\displaystyle 2si{{n}^{2}}\frac{\alpha }{2}=1-cos\alpha \)

    Тождество доказано!

Конечно, можно привести еще массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь. Я не буду приводить примеры на основную тригонометрическую подстановку, так как она выполняет несколько иную роль – роль «универсального решателя» уравнений. Так что мы к ней еще непременно вернемся, когда будем решать тригонометрические уравнения.

Теперь вторая (и заключительная в этом обзоре) группа формул – формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение:

Формулы преобразования суммы функций

  1. \(\displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\frac{\alpha \pm \beta }{2}cos\frac{\alpha \mp \beta }{2}\)
  2. \(\displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}\)
  3. \(\displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}\)
  4. \(\displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\frac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta  \right)}{cos\alpha cos\beta }\)
  5. \(\displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\frac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha  \right)}{sin\alpha sin\beta }\)

Иногда бывают полезны и обратные преобразования:

Формулы преобразования произведений функций

  1. \(\displaystyle sin\alpha sin\beta =\frac{\cos \left( \alpha -\beta  \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta  \right)}{2}\)
  2. \(\displaystyle sin\alpha cos\beta =\frac{\sin \left( \alpha +\beta  \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta  \right)}{2}\)
  3. \(\displaystyle cos\alpha cos\beta =\frac{\cos \left( \alpha -\beta  \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta  \right)}{2}\)

Сразу же рассмотрим примеры:

  1. Доказать тождество:

    \(\displaystyle \frac{sin\alpha +sin3\alpha }{cos\alpha +cos3\alpha }=tg2\alpha \)

    Давай не будем долго думать, а как говорится, пойдем в лобовую атаку: в числителе и знаменателе перейдем от суммы к произведению:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}~\frac{sina+sin3a}{cosa+cos3a}=\frac{2sin\frac{a+3a}{2}cos\frac{a-3a}{2}}{2cos\frac{a+3a}{2}cos\frac{a-3a}{2}}=\frac{2\cdot sin2\text{a}\cdot \text{cos}\left( -a \right)}{2\cdot cos2\text{a}\cdot \text{cos}\left( -a \right)}=\\=\frac{sin2a}{cos2a}=tg2a\end{array}\)
    И минуты не прошло, а пример уже решен!
    Теперь попробуй сам.

  2. Доказать тождество:

    \(\displaystyle \frac{sin2\alpha +sin4\alpha }{cos2\alpha -cos4\alpha }=ctg\alpha \)

    Решение — опять лобовая атака:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{sin2a+sin4a}{cos2a-cos4a}=\frac{2sin\frac{2a+4a}{2}cos\frac{2a-4a}{2}}{-2sin\frac{2+4a}{2}sin\frac{2a-4a}{2}}=\frac{2sin3a\cdot \text{cos}\left( -a \right)}{-2sin3a\cdot \text{sin}\left( -a \right)}=\\=\frac{\text{cos}\left( -a \right)}{-\text{sin}\left( -a \right)}\end{array}\)
    Так как синус — функция нечетная, а косинус — четная, то:

    \(\displaystyle \frac{\text{cos}\left( -\alpha  \right)}{-\text{sin}\left( -\alpha  \right)}=\frac{cos\alpha }{-\left( -sin\alpha  \right)}=\frac{cos\alpha }{sin\alpha }=ctg\alpha \)

  3. Этот пример чуть похитрее, будь внимателен!
    Доказать тождество:

    \(\displaystyle \frac{sin2\alpha +sin5\alpha -sin3\alpha }{cos\alpha +1-si{{n}^{2}}2\alpha }=2sin\alpha \)

    Я не хочу трогать синус двойного угла. Уж больно он удобно раскладывается на множители. Чего не скажешь о синусе тройного и тем более пятикратного угла. Поэтому я сверну в произведение последние 2 слагаемых в числителе:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{sin2\alpha +sin5\alpha -sin3\alpha }{cos\alpha +1-si{{n}^{2}}2\alpha }=\frac{sin2\alpha +2sin\frac{5\alpha -3\alpha }{2}cos\frac{5\alpha +3\alpha }{2}}{cos\alpha +1-si{{n}^{2}}2\alpha }=\\=\frac{2sin\alpha cos\alpha +2sin\alpha cos4\alpha }{cos\alpha +1-si{{n}^{2}}2\alpha }=\frac{2sin\alpha \left( cos\alpha +cos4\alpha  \right)}{cos\alpha +1-si{{n}^{2}}2\alpha }\end{array}\)
    Конечно, теперь можно было бы и свернуть числитель еще раз, но я пойду иным путем. В знаменателе у меня тоже спрятана формула, вот она: \(\displaystyle 1-si{{n}^{2}}2\alpha \) что это за формула? Это косинус двойного угла!
    \(\displaystyle 1-si{{n}^{2}}2\alpha =cos\left( 2\cdot 2\alpha  \right)=cos4\alpha \)
    \(\displaystyle \frac{2sin\alpha \left( cos\alpha +cos4\alpha  \right)}{cos\alpha +1-si{{n}^{2}}2\alpha }=\frac{2sin\alpha \left( cos\alpha +cos4\alpha  \right)}{cos\alpha +cos4\alpha }=2sin\alpha \)
    Тождество доказано!

  4. Теперь попробуй решить вот этот пример для закрепления пройденного материала.
    Доказать тождество:

    \(\displaystyle co{{s}^{4}}\alpha -si{{n}^{4}}\alpha +sin2\alpha =\sqrt{2}\text{cos}\left( 2\alpha -\frac{\pi }{4} \right)\)

    Проверяем!

    \(\displaystyle \begin{array}{l}co{{s}^{4}}\alpha -si{{n}^{4}}\alpha +sin2\alpha =\left( co{{s}^{2}}\alpha -si{{n}^{2}}\alpha  \right)\left( co{{s}^{2}}\alpha +si{{n}^{2}}\alpha  \right)+sin2\alpha =\\=cos2\alpha +sin2\alpha \end{array}\)

    C другой стороны:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{2}\cos \left( 2a-\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\left( cos2acos\frac{\pi }{4}+sin2asin\frac{\pi }{4} \right)=\\=\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}cos2a+\frac{\sqrt{2}}{2}sin2a \right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left( cos2a+sin2a \right)=\\=cos2a+sin2a\end{array}\)

    Тождество доказано!

На этом примере я буду закругляться потихоньку. Сразу оговорюсь: не переживай и не волнуйся, если у тебя что-то сразу не выходит. Тригонометрия – сложная и очень обширная тема. Здесь все зависит не только от знания формул, но и от мастерства и смекалки. На их выработку тебе понадобится время и усердие. Более того скажу тебе вот что: изначально я хотел вставить другой пример в качестве заключительного. Однако на его решение мне понадобилось около 20 минут, причем я использовал еще более сложную методику его решения. Так что не только ты сталкиваешься с трудностями при решении примеров, трудности бывают у всех! Все-таки я приведу здесь этот трудный пример, вдруг да и получится у тебя решить его, может, я что-то упустил. Вот он:

Упростить: \(\displaystyle \frac{1+sin\alpha -cos2\alpha -sin3\alpha }{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}\)

А вот какой у меня получился в итоге ответ: \(\displaystyle 2sin\alpha +0,5\)

Дерзай!

В следующей же статье я рассмотрю его решение, но прибегу к еще более изощренной технике нежели та, что рассматривалась здесь! Удачи!

Проверь себя — реши задачи на формулы тригонометрии.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *