Формулы тригонометрии. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение к уже изложенному материалу, я бы хотел рассмотреть (довольно кратко) еще небольшую группку формул, которая осталась «за бортом». Эти формулы – некоторое обобщение уже рассмотренных ранее формул понижения степени. Но вот понижаемые степени у них повыше:

$latex \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\frac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4}$

$latex \displaystyle co{{s}^{3}}a=\frac{3cosa+cos3a}{4}$

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

$latex \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha $

$latex \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa$

$latex \displaystyle tg3\alpha =\frac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha }$

$latex \displaystyle ctg3\alpha =\frac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha }$

Ты мне можешь задать резонный вопрос: как часто эти формулы используются? Я отвечу: постарайся избегать прибегать к ним. Они нужны на тот случай, когда ничего другого уже не можешь придумать. В частности, они могут быть полезными при решении сложных уравнений, которые встречаются во вступительных экзаменах на математические специальности. Однако уравнениям у нас будет посвящена отдельная статья, так что здесь я рассмотрю случаи, когда данные формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 1: упростить: $latex \displaystyle A=\frac{1}{3}co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin3\alpha +\frac{1}{3}si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos3\alpha $

Подставим вместо $latex \displaystyle sin3\alpha $ и $latex \displaystyle cos3\alpha $ их представления согласно формулам тройного угла, тогда:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}A=\frac{1}{3}co{{s}^{3}}\alpha \left( 3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha  \right)+\frac{1}{3}si{{n}^{3}}\alpha \left( 4co{{s}^{3}}\alpha -3cos\alpha  \right)=\\=co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin\alpha -\frac{4}{3}co{{s}^{3}}\alpha \cdot si{{n}^{3}}\alpha +\frac{4}{3}co{{s}^{3}}\alpha \cdot si{{n}^{3}}\alpha -si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos\alpha =\\=co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin\alpha -si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos\alpha \end{array}$

Теперь вынесем в оставшемся выражении общий множитель за скобки:

$latex \displaystyle co{{s}^{3}}\alpha \cdot sin\alpha -si{{n}^{3}}\alpha \cdot cos\alpha =sin\alpha \cdot cos\alpha \left( co{{s}^{2}}\alpha -si{{n}^{2}}\alpha  \right)$

По формулам двойного угла: $latex \displaystyle sin\alpha \cdot cos\alpha =\frac{1}{2}sin2\alpha $, $latex \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha -si{{n}^{2}}\alpha =cos2\alpha $:

$latex \displaystyle sin\alpha \cdot cos\alpha \left( co{{s}^{2}}\alpha -si{{n}^{2}}\alpha  \right)=\frac{1}{2}sin2\alpha \cdot cos2\alpha $

Ну а здесь снова спрятан синус двойного угла:

$latex \displaystyle \frac{1}{2}sin2\alpha \cdot cos2\alpha =\frac{1}{4}sin4\alpha $

Ответ: $latex \displaystyle A=\frac{1}{4}sin4\alpha $

Следующий пример попробуй решить самостоятельно. Не уверен, что в нем обязательно использовать формулу тройного угла, но можно сделать и с ее помощью:

Пример: упростить: $latex \displaystyle \frac{1+sin\alpha -cos2\alpha -sin3\alpha }{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}$

Решение: моя цель, свести числитель дроби к выражению, зависящему только от синусов одиночного угла. Для этого я преобразую

$latex \displaystyle cos2\alpha =1-2si{{n}^{2}}\alpha $

$latex \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha $

Имеем:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1+sin\alpha -cos2\alpha -sin3\alpha }{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}=\frac{1+sin\alpha -\left( 1-2si{{n}^{2}}\alpha  \right)-\left( 3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha  \right)}{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}=\\=\frac{4si{{n}^{3}}\alpha +3si{{n}^{2}}\alpha -2sin\alpha -1}{2si{{n}^{2}}\alpha +sin\alpha -1}\end{array}$

Казалось бы, стало еще хуже. Но это так кажется. Давай для удобства вычислений заменим $latex \displaystyle sin\alpha =t$, тогда мне надо упростить дробь

$latex \displaystyle \frac{4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1}{2{{t}^{2}}+t-1}$

Нижнее выражение разложим на множители:

$latex \displaystyle 2{{t}^{2}}+t-1=\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)$

С верхним фокус сложнее. Мы не умеем с тобой решать кубические уравнения. Но мы хорошо играем в «угадайку». Угадай-ка один корень уравнения $latex \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1=0$. Угадал? Я угадал $latex \displaystyle -1$. Тогда по теореме Безу (которую ты, быть может, знаешь, а если не знаешь, то без проблем отыщешь сам) выражение $latex \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1$ делится без остатка на $latex \displaystyle t+1$

Разделим столбиком $latex \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1$ на $latex \displaystyle t+1$. Я получу:

$latex \displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1=\left( t+1 \right)\left( 4{{t}^{2}}-t-1 \right)$

В свою очередь $latex \displaystyle 4{{t}^{2}}-t-1=4\left( t-\frac{1}{2} \right)\left( t+\frac{1}{4} \right)$

Окончательно получим:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1}{2{{t}^{2}}+t-1}=\frac{4\left( t+1 \right)\left( t-\frac{1}{2} \right)\left( t+\frac{1}{4} \right)}{\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)}=\frac{\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)\left( 2t+0,5 \right)}{\left( t+1 \right)\left( 2t-1 \right)}=\\=2t+0,5\end{array}$

Тогда исходное выражение можно упростить до: $latex \displaystyle 2sinx+0,5$

В завершение я приведу тебе пример одного уравнения, которое было предложено на психологический (???!!!!) факультет одного из ВУЗов в 1990 году. Такие задачи называются задачи-гробы (никакая смекалка без знания конкретной формулы не позволит их решить):

Решить уравнение:

$latex \displaystyle \sqrt{3}co{{s}^{3}}x-3co{{s}^{2}}x-3\sqrt{3}cosx+1=0$

Не сделав вот такую странную замену: $latex \displaystyle cosx=tg\alpha $ решить его очень сложно. А с такой заменой у нас получится вот что:

$latex \displaystyle \sqrt{3}t{{g}^{3}}\alpha -3t{{g}^{2}}\alpha -3\sqrt{3}tg\alpha +1=0$

$latex \displaystyle \sqrt{3}t{{g}^{3}}\alpha -3\sqrt{3}tg\alpha =3t{{g}^{2}}\alpha -1$

$latex \displaystyle \sqrt{3}(t{{g}^{3}}\alpha -3tg\alpha )=3t{{g}^{2}}\alpha -1$

$latex \displaystyle -\sqrt{3}\left( 3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha  \right)=-\left( 1-3t{{g}^{2}}\alpha  \right)$

$latex \displaystyle \frac{\left( 3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha  \right)}{\left( 1-3t{{g}^{2}}\alpha  \right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

А вот ради чего весь этот сыр-бор: $latex \displaystyle \frac{\left( 3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha  \right)}{\left( 1-3t{{g}^{2}}\alpha  \right)}=tg3\alpha $

$latex \displaystyle tg3\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$

Это уравнение уже несказанно легче решается. Скоро мы вместе в этом убедимся. Но тут проблема в обратной замене… Тем не менее, эта задача почти нерешаема без знания формулы тангенса тройного угла. Вот так вот.

Проверь себя — реши задачи на формулы тригонометрии.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий