Иррациональные неравенства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Определение

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении $latex \sqrt{x+2}=3$ присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства $latex x+2\ge 0$.

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

$latex \sqrt{{{x}^{2}}+3x}>2$.

При возведении в квадрат получаем $latex {{x}^{2}}+3x>4$, то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:

$latex \sqrt{2{x}-6}>-2$.

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше $latex -2$. Значит, решением задачи будет ОДЗ:

$latex 2{x}-6\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\ge 3$.

Ответ: $latex \left[ 3;+\infty  \right)$.

Неравенства вида $latex \sqrt{A}\ge \sqrt{B}$.

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами $latex A$, $latex B$, $latex C$, и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись $latex \sqrt{A}>\sqrt{B}$ соответствует, например, уравнению $latex \sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}>\sqrt{{x}-1}$: здесь $latex A={{x}^{2}}-{x}-2$ и $latex B={x}-1$.

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция $latex f\left( x \right)=\sqrt{x}$ – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

$latex \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.$

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

$latex \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A\ge B\\B\ge 0\end{array} \right.$

или

$latex \sqrt{A}>\sqrt{B}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A>B\\B\ge 0\end{array} \right.$

Примеры (реши сам):

  1. $latex \sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}>\sqrt{{x}-1}$
  2. $latex \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}\ge \sqrt{{x}-2}$
  3. $latex \sqrt{3{{x}^{2}}-7x+1}\le \sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}$

Ответы:

1. Применим только что выученное правило:

$latex \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}>\sqrt{x+1}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+2>x+1\\x+1\ge 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1>0\\x\ge -1\end{array} \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}>0\\x\ge -1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{array}{l}x\ne 1\\x\ge -1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\in \left[ -1;1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)$

2. $latex \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}\ge \sqrt{{x}-2}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-6{x}-17\ge {x}-2\\{x}-2\ge 0\end{array} \right.\ \Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-7{x}-15\ge 0\\x\ge 2\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x}-5 \right)\left( x+\frac{3}{2} \right)\ge 0\\x\ge 2\end{array} \right.$

интервал 1

$latex x\ge 5$.

3. $latex \displaystyle \sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-5}\le \sqrt{3{{x}^{2}}-6x+1}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}3{{x}^{2}}-6x+1\ge 2{{x}^{2}}-{x}-5\\2{{x}^{2}}-{x}-6\ge 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}\left( {x}-6 \right)\left( {x}-1 \right)\ge 0\\2\left( {x}-2 \right)\left( x+\frac{3}{2} \right)\ge 0\end{array} \right.$

интервал 2

$latex x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 6;+\infty  \right)$.

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Больше задач — после регистрации.

Неравенства вида $latex A\sqrt{B}>0$ или $latex A\sqrt{B}<0$.

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением $latex A$. И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

$latex A\sqrt{B}>0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A>0\end{array} \right.$

или

$latex A\sqrt{B}<0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A<0\end{array} \right.$

Примеры (реши сам):

  1. $latex x\sqrt{x+5}>0$
  2. $latex ({{x}^{2}}-{x}-2)\cdot \sqrt{{x}-2}<0$
  3. $latex ({{x}^{2}}-9)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}>0$

Ответы:

  1. $latex x\sqrt{x+5}>0$
    $latex \left\{ \begin{array}{l}x+5>0\\x>0\end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>-5\\x>0\end{array} \right.\Rightarrow x>0$
  2. $latex ({{x}^{2}}-{x}-2)\cdot \sqrt{{x}-2}<0$
    $latex \left\{ \begin{array}{l}{x}-2>0\\{{x}^{2}}-{x}-2<0\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>2\\({x}-2)\cdot (x+1)<0\end{array} \right.\Rightarrow $
    $latex \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>2\\-1<x<2\end{array} \right.\Rightarrow \emptyset $
  3. $latex ({{x}^{2}}-9)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}>0$
    $latex \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-9>0\\{{x}^{2}}-4x+4>0\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x}-3)\cdot (x+3)>0\\({x}-2)\cdot (x+2)>0\end{array} \right.\Rightarrow $
    $latex \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\\x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$

Неравенства вида $latex A\sqrt{B}\ge 0$.

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение $latex \displaystyle A$ может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

$latex A\sqrt{B}\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

или

$latex A\sqrt{B}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\le 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

Примеры (реши сам):

1. $latex x\sqrt{{x}-1}\ge 0$

2. $latex \left( {{x}^{2}}-9 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 0$

3. $latex \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}>0$

Ответы:

1. $latex x\sqrt{{x}-1}\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}{x}-1=0\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{x}-1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=1\\x\ge 1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\ge 1.$

2. $latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{x+1}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{ }$

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x+1=0\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-4\le 0\\x+1\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\\left\{ \begin{array}{l}-2\le x\le 2\\x\ge -1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\in \left[ -1;2 \right].$

3. $latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}-3{x}-4 \right)\sqrt{x+1}>0\text{  }\Leftrightarrow \text{ }$

$latex \displaystyle \text{ }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x+1>0\\{{x}^{2}}-3{x}-4>0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 4;+\infty  \right)\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{  }x>4.$

Больше задач — после регистрации.

Неравенства вида $latex \sqrt{A}\ge B$.

Рассмотрим пример:

$latex \sqrt{x+2}\ge x$

Тут возможны два варианта. Если $latex x\le 0$, неравенство выполнится при всех допустимых $latex x$, ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа:

$latex \left\{ \begin{array}{l}x\le 0\\x+2\ge 0\end{array} \right.$

Если же правая часть положительна ($latex x>0$), имеем право возводить в квадрат:

$latex x+2\ge {{x}^{2}}$.

ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:

$latex \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\le 0\\x+2\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x+2\ge {{x}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.

Итак, правило в общем виде:

$latex \sqrt{A}\ge B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\le 0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A\ge {{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

А как будет выглядеть это правило, если неравенство нестрогое? Вот так:

$latex \sqrt{A}>B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B<0\\A\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A>{{B}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Подумай сам, почему именно так.

Примеры:

  1. $latex \sqrt{4x+1}\ge {x}-1$
  2. $latex \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}<1$
  3. $latex \displaystyle 3\sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x$

Ответы:

1. $latex \displaystyle \sqrt{4x+1}\ge {x}-1\text{ }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x}-1\le 0\\4x+1\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x+1\ge {{x}^{2}}+2x+1\\{x}-1>0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}-\frac{1}{4}\le x\le 1\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x}-2 \right)\le 0\\x>1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}-\frac{1}{4}\le x\le 1\\\left\{ \begin{array}{l}0\le x\le 2\\x>1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left[ -\frac{1}{4};2 \right]\text{.}$

2. $latex \sqrt{2{x}-1}-\sqrt{x+2}<1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{2{x}-1}<1+\sqrt{x+2}$

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

$latex \displaystyle {{\left( \sqrt{2{x}-1} \right)}^{2}}<{{\left( 1+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2{x}-1<1+2\sqrt{x+2}+x+2\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{  2}\sqrt{x+2}>{x}-4$

Теперь решаем по шаблону:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x}-4<0\\x+2\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x+8>{{x}^{2}}-8x+16\\{x}-4\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}-2\le x<4\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-12x+12<0\\x\ge 4\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}-2\le x<4\\\left\{ \begin{array}{l}x\in \left( 6-2\sqrt{6};6+2\sqrt{6} \right)\\x\ge 4\end{array} \right.\end{array} \right.$

Теперь необходимо сравнить числа $latex 6-2\sqrt{6}$, $latex 6+2\sqrt{6}$ и $latex 4$. Вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

$latex 6-2\sqrt{6}\vee 4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }6-4\vee 2\sqrt{6}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2\vee \sqrt{6}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }4\overset{<}{\mathop{\vee }}\,6\text{  }\Rightarrow \text{  }6-2\sqrt{6}<4$

$latex 6+2\sqrt{6}\vee 4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2\sqrt{6}\vee 4-6\text{  }\Leftrightarrow \text{  2}\sqrt{6}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,-2\text{  }\Rightarrow \text{  }6+2\sqrt{6}>4$

Тогда система $latex \left\{ \begin{array}{l}x\in \left( 6-2\sqrt{6};6+2\sqrt{6} \right)\\x\ge 4\end{array} \right.$ превратится в $latex x\in \left( 4;6+2\sqrt{6} \right)$:

$latex \left[ \begin{array}{l}x\in \left[ -2;4 \right)\\x\in \left[ 4;6+2\sqrt{6} \right)\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\in \left[ -2;6+2\sqrt{6} \right)$.

3. $latex \displaystyle 3\sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x$

$latex \displaystyle \begin{array}{l}3\sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}>8{x}-2\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}8{x}-2<0\\6+2{x}-4{{x}^{2}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}8{x}-2\ge 0\\9(6+2{x}-4{{x}^{2}})>{{(8{x}-2)}^{2}}\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{x}-3\le 0\\x<0,25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0,25\\100{{x}^{2}}-50{x}-50<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2({x}-1,5)\cdot (x+1)\le 0\\x<0,25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0,25\\2({x}-1)\cdot (x+0,5)<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \ \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}-1\le x\le 1,5\\x<0,25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0,25\\-0,5<x<1\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}-1\le x<0,25\\0,25\le x<1\end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \ x\in \left[ -1;\ 1\ ) \right.\end{array}$

Неравенства вида $latex \sqrt{A}\le B$.

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

$latex \sqrt{A}\le B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\\A\le {{B}^{2}}\end{array} \right.$ или $latex \sqrt{A}<B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B>0\\A<{{B}^{2}}\end{array} \right.$

Примеры:

1. $latex \sqrt{15-8x}\le x$

2. $latex x+3>\sqrt{4x}$

3. $latex \sqrt{x+7}+3x<4{x}-5$

Ответы:

1. $latex \sqrt{15-8x}\le x$
$latex \left\{ \begin{array}{l}15-8x>0\\x\ge 0\\15-8x\le {{x}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<1\frac{7}{8}\\x\ge 0\\{{x}^{2}}+8{x}-15\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<1\frac{7}{8}\\x\ge 0\\({x}-3)\cdot ({x}-5)\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow $
$latex \left\{ \begin{array}{l}x<1\frac{7}{8}\\x\ge 0\\x\in (-\infty ;\left. 3 \right]\cup \left[ 5 \right.;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 0; \right.\left. 1\frac{7}{8} \right)$

2. $latex x+3>\sqrt{4x}$
$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4x\ge 0\\x+3>0\\4x\le {{(x+3)}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\{{x}^{2}}+2x+9\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow $

$latex \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\x\in (-\infty ;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 0;+\infty  \right)$

3. $latex \sqrt{x+7}+3x<4{x}-5$
$latex \left\{ \begin{array}{l}x+7\ge 0\\{x}-5>0\\x+7<{{({x}-5)}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -7\\x>5\\x+7<{{x}^{2}}-10x+25\end{array} \right.\Rightarrow $
$latex \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>5\\({x}-2)\cdot ({x}-9)>0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>5\\\left[ \begin{array}{l}x<2\\x>9\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 9;+\infty  \right)$

Больше задач — после регистрации.

Корни степени больше $latex 2$

Если же корень в неравенстве не кваратный, важна четность его степени.

I. Корни четной степени.

Корни $latex 2$, $latex 4$, $latex 6$, и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

$latex \sqrt[4]{x}=\sqrt{\sqrt{x}};\text{  }\sqrt[6]{x}=\sqrt{\sqrt[3]{x}};\text{  }\sqrt[2k]{x}=\sqrt{\sqrt[k]{x}}$

Например:

$latex \displaystyle \sqrt[4]{A}\le B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}A\le {{B}^{4}}\\B\ge 0\\A\ge 0\end{array} \right.$

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ($latex 3$, $latex 5$, …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt[3]{A}>B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }A>{{B}^{3}}\\\sqrt[5]{A}<B\text{  }\Leftrightarrow \text{  }A<{{B}^{5}},\end{array}$ и т.д.

Примеры:

1. $latex \displaystyle \sqrt[5]{2-x}>-2$

2. $latex \displaystyle \sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}\le x$

3. $latex \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}\ge x$

4. $latex \displaystyle \sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}<\sqrt[3]{1-x}$

Ответы:

1. $latex \displaystyle \sqrt[5]{2-x}>-2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2-x>{{\left( -2 \right)}^{5}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2-x>-32\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x<34$

2. $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4x\ge 0\\x+3>0\\4x\le {{(x+3)}^{2}}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\{{x}^{2}}+2x+9\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow $

$latex \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x>-3\\x\in (-\infty ;+\infty )\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ 0;+\infty  \right)$

3. $latex \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}\ge x\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{3}}+3x+5\ge {{x}^{3}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\ge -\frac{5}{3}$

4. $latex \displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{2}}-{x}-7}<\sqrt[3]{1-x}\text{  }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-{x}-7<1-x\text{ }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-8<0\text{  }\Leftrightarrow \text{ }x\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right).$

Проверь себя — реши иррациональные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий