Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств, систем. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно намного легче и быстрее решить, в этом нам поможет использование графиков функций. Ты скажешь «как так?» чертить что-то, да и что чертить? Поверь мне, иногда это удобнее и проще. Приступим? Начнем с уравнений!

Графическое решение уравнений

Графическое решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень. Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: $latex \displaystyle 2{x} -10=2$

Как его решить?
Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

$latex \displaystyle 2x=2+10$

$latex \displaystyle 2x=12$

Обычно, дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат. Иными словами, у нас будет:

$latex \displaystyle {{y}_{1}}=2x$

$latex \displaystyle {{y}_{2}}=12$

А теперь строим. Что у тебя получилось?

1

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата $latex \displaystyle x$ точки пересечения графиков:

2

Наш ответ — $latex \displaystyle x=6$

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число $latex \displaystyle 6$!

Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

$latex \displaystyle 2{x} -10=2$

В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так как они сейчас есть:

$latex \displaystyle {{y}_{1}}=2{x} -10$

$latex \displaystyle {{y}_{2}}=2$

Построил? Смотрим!

3

Что является решением на этот раз? Все верно. Тоже самое — координата $latex \displaystyle x$ точки пересечения графиков:

4

И, снова наш ответ — $latex \displaystyle x=6$.

Больше задач — после регистрации.

Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее… Например, графическое решение квадратных уравнений.

Графическое решение квадратных уравнений

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$

Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при переумножении или в возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет… Поэтому, давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

Способ 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: $latex \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

$latex \displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

$latex \displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}$

Ты скажешь «Стоп! Формула для $latex \displaystyle y$ очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни. Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

$latex \displaystyle x=\frac{-2}{2}=-1$

$latex \displaystyle y=-\frac{{{2}^{2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9$

Точно такой же ответ? Молодец! И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, $latex \displaystyle 3$.

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

5

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

6

Возвращаемся к нашей параболе. Для нашего случая точка $latex \displaystyle A\left( -1;-9 \right)$. Нам необходимо еще две точки, соответственно, $latex \displaystyle x$ можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней? Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при $latex \displaystyle x=0$ и $latex \displaystyle x=2$.

При : $latex \displaystyle x=0$

$latex \displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8$

При : $latex \displaystyle x=2$

$latex \displaystyle y={{2}^{2}}+2\cdot 2-8=0$

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

7

Как ты думаешь, что является решением уравнения? Правильно, точки, в которых $latex \displaystyle y=0$, то есть $latex \displaystyle x=2$ и $latex \displaystyle x=-4$. Потому что $latex \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$.

И если мы говорим, что $latex \displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8$, то значит, что $latex \displaystyle y$ тоже должен быть равен $latex \displaystyle 0$, или $latex \displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0$.

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Больше задач — после регистрации.

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант. Что у тебя получилось? То же самое? Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Способ 2. С разбивкой на несколько функций

Возьмем все тоже наше уравнение: $latex \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$, но запишем его несколько по-другому, а именно:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}=8-2x$

Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

Построим отдельно две функции:

  1. $latex \displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}$ — графиком является простая парабола, которую ты с легкостью построишь даже без определения вершины с помощью формул и составления таблицы для определения прочих точек.
  2. $latex \displaystyle {{y}_{2}}=8-2x$ — графиком является прямая, которую ты так же легко построишь, прикинув значения $latex \displaystyle x$ и $latex \displaystyle y$ в голове даже не прибегая к калькулятору.

Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:

8

Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по $latex \displaystyle x$, которые получились при пересечении двух графиков и $latex \displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}$, $latex \displaystyle {{y}_{2}}=8-2x$ то есть:

9

Соответственно, решением данного уравнения являются:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=2$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=-4$

Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий и даже легче, чем искать корни через дискриминант! А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение:

$latex \displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+3=0$

Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

  1. $latex \displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{2}}$
  2. $latex \displaystyle {{y}_{2}}=5{x} -3$

10

По графикам видно, что ответами являются:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=1$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=1,5$

Справился? Молодец! Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно, решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение смешанных уравнений

Теперь попробуем решить следующее:

$latex \displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0$

Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы опять же, попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.

В этот раз давай построим 2 следующих графика:

  1. $latex \displaystyle {{y}_{1}}=\frac{3}{x}$ — графиком является гипербола
  2. $latex \displaystyle {{y}_{2}}={x} -2$ — графиком является прямая, которую ты легко построишь, прикинув значения $latex \displaystyle x$ и $latex \displaystyle x$ в голове даже не прибегая к калькулятору.

Осознал? Теперь займись построением.

Вот что вышло у меня:

11

Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения $latex \displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0$?

Правильно, $latex \displaystyle {{x}_{1}}=-1$ и $latex \displaystyle {{x}_{2}}=3$. Вот и подтверждение:

12

Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?

При : $latex \displaystyle {{x}_{1}}=-1:\frac{3}{-1}-\left( -1 \right)+2=-3+1+2=0$.

При : $latex \displaystyle {{x}_{2}}=3:\frac{3}{3}-3+2=1-3+2=0$.

Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения одно удовольствие!

Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:

$latex \displaystyle 2{{x}^{3}}-{x} -1=0$.

Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!

Теперь посмотрим, что у тебя вышло:

$latex \displaystyle 2{{x}^{3}}=x+1$, соответственно:

  1. $latex \displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{3}}$ — кубическая парабола.
  2. $latex \displaystyle {{y}_{2}}=x+1$ — обыкновенная прямая.

Ну и строим:

13

Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является — $latex \displaystyle {{x}_{1}}=1$.

Прорешав такое большое количество примеров, уверена, ты осознал как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение систем

Графическое решение систем по сути ничем не отличается от графического решения уравнений. Мы так же будем строить два графика ,и их точки пересечения и будут являться корнями данной системы. Один график – одно уравнение, второй график – другое уравнение. Все предельно просто!

Начнем с самого простого – решение систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений

Допустим, у нас есть следующая система:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y+2x=1.\end{array} \right.$

Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с $latex \displaystyle y$, а справа – что связано с $latex \displaystyle x$. Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y=1-2x.\end{array} \right.$

А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему? Намекну: мы имеем дело с системой: в системе есть и $latex \displaystyle x$, и $latex \displaystyle y$… Намек понял?

Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только $latex \displaystyle x$, как при решении уравнений! Еще один важный момент – правильно их записать и не перепутать, где у нас значение $latex \displaystyle x$, а где значение $latex \displaystyle y$ ! Записал? Теперь давай все сравним по порядку:

14

И ответы: $latex \displaystyle x=1$ и $latex \displaystyle y=-1$. Сделай проверку – подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?

Все сошлось? Идем дальше!

Больше задач — после регистрации.

Решение систем нелинейных уравнений

А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y+x+1=0.\end{array} \right.$

Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y=-{x} -1.\end{array} \right.$

А теперь так вообще дело за малым – построил быстренько и вот тебе решение! Строим:

15

Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

Все сделал? Сравни с моими записями:

16

При $latex \displaystyle {{x}_{1}}=-1$, $latex \displaystyle {{y}_{1}}=0$.

При $latex \displaystyle {{x}_{2}}=2$, $latex \displaystyle {{y}_{2}}=-3$.

Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.$

Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y={{x}^{3}}+2.\end{array} \right.$

Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.

Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!

Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:

17

Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:

При $latex \displaystyle {{x}_{1}}=-1$, $latex \displaystyle {{y}_{1}}=1$.

При $latex \displaystyle {{x}_{2}}=0$, $latex \displaystyle {{y}_{2}}=2$.

При $latex \displaystyle {{x}_{3}}=2$, $latex \displaystyle {{y}_{3}}=10$.

А теперь еще раз посмотри на систему:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.$

Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут? Согласись, математика – это все-таки просто, особенно, когда глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение неравенств

Графическое решение линейных неравенств

После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни – по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!

Начнем мы, как обычно с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:

$latex \displaystyle {{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3$

Для начала проведем простейшие преобразования – раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3\\\left( {{x}^{2}}-12x+36 \right)-\left( 25-10x+{{x}^{2}} \right)<3\\{{x}^{2}}-12x+36-25+10{x} -{{x}^{2}}<3\\-2x+11<3\\-2x<3-11\\-2x<-8\end{array}$

Что мы делаем дальше? Правильно, делим обе части на отрицательное число $latex \displaystyle \left( -2 \right)$, при этом не забывая поменять знак неравенства на противоположный (если не помнишь это, посмотри тему «Линейные неравенства»:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}-2x<-8\\x>\frac{8}{2}\\x>4\end{array}$

Неравенство нестрогое, поэтому $latex \displaystyle 4$ — не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее $latex \displaystyle 4$, так как $latex \displaystyle 5$ больше $latex \displaystyle 4$, $latex \displaystyle 6$ больше $latex \displaystyle 4$ и так далее:

18

Ответ: $latex x\in \left( 4;+\infty  \right)$

Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:

$latex 2{x} -3<y$

Нарисуем в системе координат функцию $latex y=2{x} -3$.

19

Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше ? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой. А если было бы больше ? Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.

Все решения данного неравенства «затушеваны» оранжевым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты $latex \displaystyle x$ и $latex \displaystyle y$ любой точки из закрашенной области – и есть решения.

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение квадратных неравенств

Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.

Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции $latex \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$.

Что показывает нам знак при коэффициенте $latex \displaystyle a$? Верно, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз (не помнишь? Почитай теорию «Квадратичная функция»).

А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси $latex \displaystyle Ox$ (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).

В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:

21

Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу – решим графически неравенство $latex \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$.

Сразу тебе скажу, что есть два варианта его решения.

Вариант 1

Записываем нашу параболу как функцию:

$latex \displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21$

По формулам определяем координаты вершины параболы (точно так же, как и при решении квадратных уравнений):

$latex \displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

$latex \displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}$

Посчитал? Что у тебя получилось?

$latex \displaystyle x=-\frac{10}{-2}=5$

$latex \displaystyle y=-\frac{100-4\left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)}{4\left( -1 \right)}=-\frac{100-84}{-4}=-\frac{16}{-4}=4$

Теперь возьмем еще две различных точки $latex \displaystyle x$ и посчитаем для них $latex \displaystyle y$:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=6$

$latex \displaystyle {{y}_{1}}=-{{6}^{2}}+10\cdot 6-21=-36+60-21=3$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=7$

$latex \displaystyle {{y}_{2}}=-{{7}^{2}}+10\cdot 7-21=-49+70-21=0$

Начинаем строить одну ветвь параболы:

22

Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:

23

А теперь возвращаемся к нашему неравенству $latex \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$.

Нам необходимо, чтобы $latex \displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21$ было меньше нуля, соответственно:

24

Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем – «выкалываем».

Ответ: $latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty  \right)$

Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства:

$latex \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$

Вариант 2

Решаем квадратное уравнение:

$latex \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0$

$latex \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$latex \displaystyle D=100-4\cdot \left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)=100-84=16$

$latex \displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4$

$latex \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-10+4}{-2}=3$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-10-4}{-2}=7$

А дальше быстренько схематично рисуем параболу, не высчитывая, где у нее находится вершина, ведь по сути нам это не нужно, у нас есть основное – точки пересечения параболы с осью $latex \displaystyle Ox$.

25

Возвращаемся к нашему неравенству $latex \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$ и отмечаем нужные нам промежутки:

27

Согласись, это намного быстрее.

Запишем теперь ответ: $latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty  \right)$

Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.

$latex \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$

$latex \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0$

Умножим левую и правую части на $latex \displaystyle -1$:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-10x+21=0$

$latex \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$latex \displaystyle D=100-4\cdot 1\cdot 21=100-84=16$

$latex \displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4$

$latex \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{10+4}{2}=7$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{10-4}{2}=3$

Ну а дальше возвращаемся к неравенству и продолжаем все в том же духе.

Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: $latex \displaystyle {{x}^{2}}-6x+8\le 0$.

Справился?

Смотри, как график получился у меня:

28

Ответ: $latex \displaystyle \left[ 2;4 \right]$.

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

$latex \displaystyle 4x<{{x}^{3}}$

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

Первое, с чего мы начнем, это с построения двух графиков:

$latex \displaystyle {{y}_{1}}=4x$

$latex \displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}$

Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

29

У тебя так же? Отлично! Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть $latex \displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}$. Смотри, что получилось в итоге:

30

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график $latex \displaystyle {{y}_{1}}=4x$? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

31

На каких промежутках по оси $latex \displaystyle Ox$ у нас $latex \displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}$ находится выше, чем $latex \displaystyle {{y}_{1}}=4x$? Верно, $latex \displaystyle x\in \left( -2;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)$. Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

Проверь себя — реши задачи с использованием графиков функций.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий