Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств, систем. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно намного легче и быстрее решить, в этом нам поможет использование графиков функций. Ты скажешь «как так?» чертить что-то, да и что чертить? Поверь мне, иногда это удобнее и проще. Приступим? Начнем с уравнений!

Графическое решение уравнений

Графическое решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень. Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: \(\displaystyle 2{x} -10=2\)

Как его решить?
Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

\(\displaystyle 2x=2+10\)

\(\displaystyle 2x=12\)

Обычно, дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат. Иными словами, у нас будет:

\(\displaystyle {{y}_{1}}=2x\)

\(\displaystyle {{y}_{2}}=12\)

А теперь строим. Что у тебя получилось?

1

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата \(\displaystyle x\) точки пересечения графиков:

2

Наш ответ — \(\displaystyle x=6\)

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число \(\displaystyle 6\)!

Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

\(\displaystyle 2{x} -10=2\)

В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так как они сейчас есть:

\(\displaystyle {{y}_{1}}=2{x} -10\)

\(\displaystyle {{y}_{2}}=2\)

Построил? Смотрим!

3

Что является решением на этот раз? Все верно. Тоже самое — координата \(\displaystyle x\) точки пересечения графиков:

4

И, снова наш ответ — \(\displaystyle x=6\).

Больше задач — после регистрации.

Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее… Например, графическое решение квадратных уравнений.

Графическое решение квадратных уравнений

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

\(\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\)

Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при переумножении или в возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет… Поэтому, давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

Способ 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: \(\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\)

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

\(\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)

\(\displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}\)

Ты скажешь «Стоп! Формула для \(\displaystyle y\) очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни. Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

\(\displaystyle x=\frac{-2}{2}=-1\)

\(\displaystyle y=-\frac{{{2}^{2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9\)

Точно такой же ответ? Молодец! И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \(\displaystyle 3\).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

5

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

6

Возвращаемся к нашей параболе. Для нашего случая точка \(\displaystyle A\left( -1;-9 \right)\). Нам необходимо еще две точки, соответственно, \(\displaystyle x\) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней? Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при \(\displaystyle x=0\) и \(\displaystyle x=2\).

При : \(\displaystyle x=0\)

\(\displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8\)

При : \(\displaystyle x=2\)

\(\displaystyle y={{2}^{2}}+2\cdot 2-8=0\)

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

7

Как ты думаешь, что является решением уравнения? Правильно, точки, в которых \(\displaystyle y=0\), то есть \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=-4\). Потому что \(\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\).

И если мы говорим, что \(\displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8\), то значит, что \(\displaystyle y\) тоже должен быть равен \(\displaystyle 0\), или \(\displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0\).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Больше задач — после регистрации.

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант. Что у тебя получилось? То же самое? Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Способ 2. С разбивкой на несколько функций

Возьмем все тоже наше уравнение: \(\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\), но запишем его несколько по-другому, а именно:

\(\displaystyle {{x}^{2}}=8-2x\)

Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

Построим отдельно две функции:

  1. \(\displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}\) — графиком является простая парабола, которую ты с легкостью построишь даже без определения вершины с помощью формул и составления таблицы для определения прочих точек.
  2. \(\displaystyle {{y}_{2}}=8-2x\) — графиком является прямая, которую ты так же легко построишь, прикинув значения \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) в голове даже не прибегая к калькулятору.

Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:

8

Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по \(\displaystyle x\), которые получились при пересечении двух графиков и \(\displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}\), \(\displaystyle {{y}_{2}}=8-2x\) то есть:

9

Соответственно, решением данного уравнения являются:

\(\displaystyle {{x}_{1}}=2\)

\(\displaystyle {{x}_{2}}=-4\)

Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий и даже легче, чем искать корни через дискриминант! А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение:

\(\displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+3=0\)

Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

  1. \(\displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{2}}\)
  2. \(\displaystyle {{y}_{2}}=5{x} -3\)

10

По графикам видно, что ответами являются:

\(\displaystyle {{x}_{1}}=1\)

\(\displaystyle {{x}_{2}}=1,5\)

Справился? Молодец! Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно, решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение смешанных уравнений

Теперь попробуем решить следующее:

\(\displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0\)

Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы опять же, попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.

В этот раз давай построим 2 следующих графика:

  1. \(\displaystyle {{y}_{1}}=\frac{3}{x}\) — графиком является гипербола
  2. \(\displaystyle {{y}_{2}}={x} -2\) — графиком является прямая, которую ты легко построишь, прикинув значения \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle x\) в голове даже не прибегая к калькулятору.

Осознал? Теперь займись построением.

Вот что вышло у меня:

11

Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения \(\displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0\)?

Правильно, \(\displaystyle {{x}_{1}}=-1\) и \(\displaystyle {{x}_{2}}=3\). Вот и подтверждение:

12

Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?

При : \(\displaystyle {{x}_{1}}=-1:\frac{3}{-1}-\left( -1 \right)+2=-3+1+2=0\).

При : \(\displaystyle {{x}_{2}}=3:\frac{3}{3}-3+2=1-3+2=0\).

Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения одно удовольствие!

Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:

\(\displaystyle 2{{x}^{3}}-{x} -1=0\).

Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!

Теперь посмотрим, что у тебя вышло:

\(\displaystyle 2{{x}^{3}}=x+1\), соответственно:

  1. \(\displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{3}}\) — кубическая парабола.
  2. \(\displaystyle {{y}_{2}}=x+1\) — обыкновенная прямая.

Ну и строим:

13

Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является — \(\displaystyle {{x}_{1}}=1\).

Прорешав такое большое количество примеров, уверена, ты осознал как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение систем

Графическое решение систем по сути ничем не отличается от графического решения уравнений. Мы так же будем строить два графика ,и их точки пересечения и будут являться корнями данной системы. Один график – одно уравнение, второй график – другое уравнение. Все предельно просто!

Начнем с самого простого – решение систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений

Допустим, у нас есть следующая система:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y+2x=1.\end{array} \right.\)

Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с \(\displaystyle y\), а справа – что связано с \(\displaystyle x\). Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y=1-2x.\end{array} \right.\)

А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему? Намекну: мы имеем дело с системой: в системе есть и \(\displaystyle x\), и \(\displaystyle y\)… Намек понял?

Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только \(\displaystyle x\), как при решении уравнений! Еще один важный момент – правильно их записать и не перепутать, где у нас значение \(\displaystyle x\), а где значение \(\displaystyle y\) ! Записал? Теперь давай все сравним по порядку:

14

И ответы: \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle y=-1\). Сделай проверку – подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?

Все сошлось? Идем дальше!

Больше задач — после регистрации.

Решение систем нелинейных уравнений

А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y+x+1=0.\end{array} \right.\)

Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y=-{x} -1.\end{array} \right.\)

А теперь так вообще дело за малым – построил быстренько и вот тебе решение! Строим:

15

Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

Все сделал? Сравни с моими записями:

16

При \(\displaystyle {{x}_{1}}=-1\), \(\displaystyle {{y}_{1}}=0\).

При \(\displaystyle {{x}_{2}}=2\), \(\displaystyle {{y}_{2}}=-3\).

Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.\)

Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y={{x}^{3}}+2.\end{array} \right.\)

Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.

Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!

Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:

17

Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:

При \(\displaystyle {{x}_{1}}=-1\), \(\displaystyle {{y}_{1}}=1\).

При \(\displaystyle {{x}_{2}}=0\), \(\displaystyle {{y}_{2}}=2\).

При \(\displaystyle {{x}_{3}}=2\), \(\displaystyle {{y}_{3}}=10\).

А теперь еще раз посмотри на систему:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.\)

Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут? Согласись, математика – это все-таки просто, особенно, когда глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение неравенств

Графическое решение линейных неравенств

После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни – по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!

Начнем мы, как обычно с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:

\(\displaystyle {{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3\)

Для начала проведем простейшие преобразования – раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3\\\left( {{x}^{2}}-12x+36 \right)-\left( 25-10x+{{x}^{2}} \right)<3\\{{x}^{2}}-12x+36-25+10{x} -{{x}^{2}}<3\\-2x+11<3\\-2x<3-11\\-2x<-8\end{array}\)

Что мы делаем дальше? Правильно, делим обе части на отрицательное число \(\displaystyle \left( -2 \right)\), при этом не забывая поменять знак неравенства на противоположный (если не помнишь это, посмотри тему «Линейные неравенства»:

\(\displaystyle \begin{array}{l}-2x<-8\\x>\frac{8}{2}\\x>4\end{array}\)

Неравенство нестрогое, поэтому \(\displaystyle 4\) — не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее \(\displaystyle 4\), так как \(\displaystyle 5\) больше \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 6\) больше \(\displaystyle 4\) и так далее:

18

Ответ: \(x\in \left( 4;+\infty  \right)\)

Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:

\(2{x} -3<y\)

Нарисуем в системе координат функцию \(y=2{x} -3\).

19

Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше ? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой. А если было бы больше ? Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.

Все решения данного неравенства «затушеваны» оранжевым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) любой точки из закрашенной области – и есть решения.

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение квадратных неравенств

Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.

Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\).

Что показывает нам знак при коэффициенте \(\displaystyle a\)? Верно, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз (не помнишь? Почитай теорию «Квадратичная функция»).

А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси \(\displaystyle Ox\) (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).

В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:

21

Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу – решим графически неравенство \(\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\).

Сразу тебе скажу, что есть два варианта его решения.

Вариант 1

Записываем нашу параболу как функцию:

\(\displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21\)

По формулам определяем координаты вершины параболы (точно так же, как и при решении квадратных уравнений):

\(\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)

\(\displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}\)

Посчитал? Что у тебя получилось?

\(\displaystyle x=-\frac{10}{-2}=5\)

\(\displaystyle y=-\frac{100-4\left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)}{4\left( -1 \right)}=-\frac{100-84}{-4}=-\frac{16}{-4}=4\)

Теперь возьмем еще две различных точки \(\displaystyle x\) и посчитаем для них \(\displaystyle y\):

\(\displaystyle {{x}_{1}}=6\)

\(\displaystyle {{y}_{1}}=-{{6}^{2}}+10\cdot 6-21=-36+60-21=3\)

\(\displaystyle {{x}_{2}}=7\)

\(\displaystyle {{y}_{2}}=-{{7}^{2}}+10\cdot 7-21=-49+70-21=0\)

Начинаем строить одну ветвь параболы:

22

Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:

23

А теперь возвращаемся к нашему неравенству \(\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\).

Нам необходимо, чтобы \(\displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21\) было меньше нуля, соответственно:

24

Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем – «выкалываем».

Ответ: \(\displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty  \right)\)

Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства:

\(\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\)

Вариант 2

Решаем квадратное уравнение:

\(\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0\)

\(\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)

\(\displaystyle D=100-4\cdot \left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)=100-84=16\)

\(\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4\)

\(\displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-10+4}{-2}=3\)

\(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-10-4}{-2}=7\)

А дальше быстренько схематично рисуем параболу, не высчитывая, где у нее находится вершина, ведь по сути нам это не нужно, у нас есть основное – точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox\).

25

Возвращаемся к нашему неравенству \(\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\) и отмечаем нужные нам промежутки:

27

Согласись, это намного быстрее.

Запишем теперь ответ: \(\displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty  \right)\)

Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.

\(\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\)

\(\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0\)

Умножим левую и правую части на \(\displaystyle -1\):

\(\displaystyle {{x}^{2}}-10x+21=0\)

\(\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)

\(\displaystyle D=100-4\cdot 1\cdot 21=100-84=16\)

\(\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4\)

\(\displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{10+4}{2}=7\)

\(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{10-4}{2}=3\)

Ну а дальше возвращаемся к неравенству и продолжаем все в том же духе.

Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: \(\displaystyle {{x}^{2}}-6x+8\le 0\).

Справился?

Смотри, как график получился у меня:

28

Ответ: \(\displaystyle \left[ 2;4 \right]\).

Больше задач — после регистрации.

Графическое решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

\(\displaystyle 4x<{{x}^{3}}\)

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

Первое, с чего мы начнем, это с построения двух графиков:

\(\displaystyle {{y}_{1}}=4x\)

\(\displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}\)

Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

29

У тебя так же? Отлично! Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть \(\displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}\). Смотри, что получилось в итоге:

30

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график \(\displaystyle {{y}_{1}}=4x\)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

31

На каких промежутках по оси \(\displaystyle Ox\) у нас \(\displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}\) находится выше, чем \(\displaystyle {{y}_{1}}=4x\)? Верно, \(\displaystyle x\in \left( -2;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\). Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

Проверь себя — реши задачи с использованием графиков функций.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *