Координаты и векторы. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В этой статье мы с тобой начнем обсуждение одной «палочки-выручалочки», которая позволит тебе свести многие задачи по геометрии к простой арифметике. Эта «палочка» может существенно облегчить тебе жизнь особенно в том случае, когда ты неуверенно чувствуешь себя в построении пространственных фигур, сечений и т. д. Все это требует определенного воображения и практических навыков. Метод же, который мы здесь начнем рассматривать, позволит тебе практически полностью абстрагироваться от всякого рода геометрических построений и рассуждений. Метод носит название «метод координат». В данной статье мы с тобой рассмотрим следующие вопросы:

  1. Координатная плоскость
  2. Точки и векторы на плоскости​
  3. Построение вектора по двум точкам​
  4. Длина вектора (расстояние между двумя точками)​
  5. Координаты середины отрезка​
  6. Скалярное произведение векторов​
  7. Угол между двумя векторами​

Я думаю, ты уже догадался, почему метод координат так называется? Верно, он получил такое название, так как он оперирует не с геометрическими объектами, а с их числовыми характеристиками (координатами). А само преобразование, позволяющее перейти от геометрии к алгебре, заключается во введении системы координат. Если исходная фигура была плоской, то координаты двухмерные, а если фигура объемная, то координаты трехмерные. В данной статье мы будем рассматривать только двухмерный случай. А основная цель статьи – научить тебя пользоваться некоторыми базовыми приемами метода координат (они иногда оказываются полезными при решении задач по планиметрии в части B ЕГЭ). Обсуждению же методов решения задач С2 (задача по стереометрии) посвящены следующие два раздела по этой тематике.

С чего было бы логично начать обсуждение метода координат? Наверное, с понятия системы координат. Вспомни, когда ты с нею впервые столкнулся. Мне кажется, что в 7 классе, когда ты узнал про существование линейной функции \(y=ax+b\), например \(y=2{x}-3\). Напомню, ты строил ее по точкам. Помнишь? Ты выбирал произвольное число \(x\), подставлял ее в формулу \(y=2{x}-3\) и вычислял таким образом \(y\). Например, если \(x=0\), то \(y=2\cdot 0-3=-3\), если же \(x=1\), то  \(y=2\cdot 1-3=-1\)и т. д. Что же ты получал в итоге? А получал ты точки с координатами: \(A\left( 0,-3 \right)\) и \(B\left( 1,-1 \right)\). Далее ты рисовал «крестик» (систему координат \(X0Y\)), выбирал на ней масштаб (сколько клеточек у тебя будет единичным отрезком) и отмечал на ней полученные тобою точки, которые затем соединял прямой линией, полученная линия и есть график функции \(y=2{x}-3\).

Координаты и векторы

Тут есть несколько моментов, которые стоит объяснить тебе чуть подробнее:

1. Единичный отрезок ты выбираешь из соображений удобства, так, чтобы все красиво и компактно умещалось на рисунке

2. Принято, что ось \(\displaystyle X\) идет слева направо, а ось \(\displaystyle Y\) – cнизу вверх

3. Они пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения называется началом координат. Она обозначается буквой \(\displaystyle O\).

4. В записи координаты точки, например \(\displaystyle A\left( 0,-3 \right)\), слева в скобках стоит координата точки по оси \(\displaystyle X\), а справа, по оси \(\displaystyle Y\). В частности, \(\displaystyle A\left( 0,-3 \right)\) просто означает, что у точки \(\displaystyle A\) \(\displaystyle x=0,~y=-3.\)

5. Для того, чтобы задать любую точку на координатной оси, требуется указать ее координаты (2 числа)

6. Для любой точки, лежащей на оси \(\displaystyle Ox,\), \(\displaystyle y=0.\)

7. Для любой точки, лежащей на оси \(\displaystyle Oy\), \(\displaystyle x=0.\)

8. Ось \(\displaystyle Ox\) называется осью абсцисс

9. Ось \(\displaystyle Oy\) называется осью ординат

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Теперь давай с тобой сделаем следующий шаг: отметим две точки \(\displaystyle A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\) \(\displaystyle B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\). Соединим эти две точки отрезком. И поставим стрелочку так, как будто мы проводим отрезок из точки \(\displaystyle A\) к точке \(\displaystyle B\): то есть сделаем наш отрезок направленным!

Вектор AB

Вспомни, как еще называется направленный отрезок? Верно, он называется вектором!

Вектором называется направленный отрезок, имеющий начало и конец.

Таким образом, если мы соединим точку \(\displaystyle A\) c точкой \(\displaystyle B\), причем началом у нас будет точка A, а концом – точка B, то мы получим вектор \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\). Это построение ты тоже делал в 8 классе, помнишь?

Оказывается, векторы, как и точки, можно обозначать двумя цифрами: эти цифры называются координатами вектора. Вопрос: как ты думаешь, достаточно ли нам знать координаты начала и конца вектора, чтобы найти его координаты? Оказывается, что да! И делается это очень просто:

Координаты вектора = координаты точки конца – координаты точки начала.

Таким образом, так как в векторе \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) точка \(\displaystyle A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\) – начало, а \(\displaystyle B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\) – конец, то вектор \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) имеет следующие координаты:

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}},{{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)\)

Например, если \(\displaystyle A\left( 2,0 \right)\)\(\displaystyle B\left( 1,2 \right)\), то координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\)

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}\left( 1-2,2-0 \right)=\overrightarrow{AB}\left( -1,2 \right)\)

Теперь давай сделаем наоборот, найдем координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\). Что нам для этого нужно поменять? Да, нужно поменять местами начало и конец: теперь начало вектора будет в точке \(\displaystyle B\), а конец – в точке \(\displaystyle A\). Тогда:

\(\displaystyle \overrightarrow{BA}\left( 2-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0-2 \right)=\overrightarrow{BA(}1,-2).\)

Посмотри внимательно, чем отличаются векторы \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\)? Единственное их отличие – это знаки в координатах. Они противоположны. Этот факт принято записывать вот так:

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\)

Иногда, если не оговаривается специально, какая точка является началом вектора, а какая – концом, то векторы обозначают не двумя заглавными буквами, а одной строчной, например: \(\displaystyle {\vec{a}}\), \(\displaystyle {\vec{p}}\) и т. д.

Теперь немного потренируйся сам и найди координаты следующих векторов:

  1. \(\displaystyle \overrightarrow{FK}~F\left( 1,2 \right),~K\left( 0,-3 \right).\)
  2. \(\displaystyle \overrightarrow{SK}~S\left( -1,0 \right),~K\left( 2,3 \right).\)
  3. \(\displaystyle \overrightarrow{DC}~C\left( 0,\sqrt{2} \right),~D\left( 2,3 \right).\)

Проверка:

  1. \(\displaystyle \overrightarrow{FK}\left( -1,-5 \right)\)
  2. \(\displaystyle \overrightarrow{SK}\left( 3,3 \right)\)
  3. \(\displaystyle \overrightarrow{DC}\left( -2,\sqrt{2}-3 \right)\)

А теперь реши задачку чуть посложнее:

Век­тор \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) с на­ча­лом в точке \(\displaystyle A\left( 2;~4 \right)\) имеет ко­ор­ди­на­ты \(\displaystyle \left( 6;~2 \right)\). Най­ди­те абс­цис­су точки \(\displaystyle B\).

Все то же довольно прозаично: Пусть \(\displaystyle (x,y)\) – координаты точки \(\displaystyle B\). Тогда

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-2=6\\y-4=2\end{array} \right.\)

Систему я составил по определению того, что такое координаты вектора. Тогда точка \(\displaystyle B\) имеет координаты \(\displaystyle \left( 8,6 \right)\). Нас интересует абсцисса. Тогда

Ответ: \(\displaystyle 8\)

Что еще можно делать с векторами? Да почти все то же самое, что и с обычными числами (разве что делить нельзя, зато умножать можно аж двумя способами, один из которых мы здесь обсудим чуть позже)

  1. Векторы можно складывать друг с другом
  2. Векторы можно вычитать друг из друга
  3. Векторы можно умножать (или делить) на произвольное ненулевое число
  4. Векторы можно умножать друг на друга

Все эти операции имеют вполне наглядное геометрическое представление. Например, правило треугольника (или параллелограмма) для сложения и вычитания:

Правило треугольника рис. 1

Правило треугольника рис. 2

Правило пареллелограмма рис. 1

Вектор растягивается или сжимается или меняет направление при умножении или делении на число:

Примеры векторов

Однако здесь нас будет интересовать вопрос, что же происходит с координатами.

1. При сложении (вычитании) двух векторов, мы складываем (вычитаем) поэлементно их координаты. То есть:

\(\vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)+\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)=\vec{c}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}},{{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)\)

\(\vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)-\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)=\vec{c}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}},{{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)\)

2. При умножении (делении) вектора на число, все его координаты умножаются (делятся) на это число:

\(k\cdot \vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)=\vec{b}\left( k{{x}_{1}},k{{y}_{1}} \right)\)

Например:

· Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра \(\vec{a}+\vec{b}\).

Сумма векторов на координатной плоскости рис. 1

Давай вначале найдем координаты каждого из векторов. Оба они имеют одинаковое начало – точку начала координат. Концы у них разные. Тогда \(\vec{a}\left( 2-0,6-0 \right)=\vec{a}\left( 2,6 \right)\), \(\vec{b}\left( 8-0,4-0 \right)=\vec{b}\left( 8,4 \right)\). Теперь вычислим координаты вектора \(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}\left( 2+8,4+6 \right)=\vec{c}\left( 10,10 \right)\) Тогда сумма координат полученного вектора равна \(20\).

Ответ: \(20\)

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Теперь реши сам следующую задачу:

· Найти сумму координат вектора \(3\vec{a}-2\vec{b}\)

Сумма векторов на координатной плоскости рис. 2

Проверяем:

  1. \(\vec{a}=\vec{a}\left( 4-2,10-4 \right)=\vec{a}\left( 2,6 \right)\)
  2. \(\vec{b}=\vec{b}\left( 10-2,6-2 \right)=\vec{b}\left( 8,4 \right)\)
  3. \(\vec{c}=3\vec{a}-2\vec{b}=3\vec{a}\left( 2,6 \right)-2\vec{b}\left( 8,4 \right)=\left( 6,18 \right)-\left( 16,8 \right)=\vec{c}\left( -10,10 \right)\)
  4. \(-10+10=0\)

Ответ: \(0\)

Давай рассмотрим теперь следующую задачу: у нас есть две точки на координатной плоскости. Как найти расстояние между ними? Пусть первая точка будет \({{P}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}})\), а вторая \({{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\). Обозначим расстояние между ними через \(d\). Давай сделаем для наглядности следующий чертеж:

Длина вектора

Что я сделал? Я, во-первых, соединил точки \({{P}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\) и \({{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\),а также из точки \({{P}_{1}}\) провел линию, параллельную оси \(Ox\), а из точки \({{P}_{2}}\) провел линию, параллельную оси \(Oy\). Они пересеклись в точке \(R\), образовав при этом замечательную фигуру? Чем она замечательна? Да мы с тобой почти что все знаем про прямоугольный треугольник. Ну уж теорему Пифагора – точно. Искомый отрезок – это гипотенуза этого треугольника, а отрезки \({{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) – катеты. Чему равны координаты точки \(R\)? Да, их несложно найти по картинке: \(R\left( {{x}_{2}},{{y}_{1}} \right).~\) Так как отрезки \({{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) параллельны осям \(Ox\) и \(Oy\) соответственно, то их длины легко найти: если обозначить длины отрезков \({{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) соответственно через \(\left| {{P}_{1}}R\left| ,~ \right|{{P}_{2}}R \right|\), то

\(\left| {{P}_{1}}R \right|={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\)

\(\left| {{P}_{2}}R \right|={{y}_{2}}-{{y}_{1}}\)

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора. Длины катетов нам известны, гипотенузу мы найдем:

\({{d}^{2}}=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left| {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right|=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\left| {{P}_{1}}R \right|}^{2}}+{{\left| {{P}_{2}}R \right|}^{2}}=({{x}_{2}}-{{x}_{1}}){{~}^{2}}+({{y}_{2}}-{{y}_{1}}){{~}^{2}}~\)

\(d=~\sqrt{({{x}_{2}}-{{x}_{1}}){{~}^{2}}+({{y}_{2}}-{{y}_{1}}){{~}^{2}}}\)

Таким образом, расстояние между двумя точками – это корень из суммы квадратов разностей из координат. Или же – расстояние между двумя точками – это длина отрезка, их соединяющего. Легко заметить, что расстояние между точками не зависит от направления. Тогда:

\(d=\left| \overrightarrow{{{P}_{1}}{{P}_{2}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{P}_{2}}{{P}_{1}}} \right|=\sqrt{({{x}_{2}}-{{x}_{1}}){{~}^{2}}+({{y}_{2}}-{{y}_{1}}){{~}^{2}}}\)

Отсюда делаем три вывода:

  • Длина вектора = корень из суммы квадратов его координат
  • Найти расстояние между двумя точками = найти длину вектора, их соединяющего (в любом направлении)
  • Длины векторов, соединяющих две точки в разном направлении, равны

Давай немного поупражняемся в вычислении расстояния между двумя точками:

Например, если \(A\left( 1,2 \right),~B\left( 3,4 \right)\), то расстояние между \(A\) и \(B\) равно

\(d=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

Или пойдем по-другому: найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AB}\left( 3-1,4-2 \right)=\overrightarrow{AB}\left( 2,2 \right)\)

И найдем длину вектора:

\(\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

Как видишь, одно и то же!

Теперь немного потренируйся сам:

Задание: найти расстояние между указанными точками:

  1. \(A\left( 2,\sqrt{3} \right),~B\left( 5,2\sqrt{3} \right)\)
  2. \(C\left( 2,4 \right),~D\left( 1,-5 \right)\)
  3. \(F\left( \sqrt{12},1 \right),~G\left( \sqrt{3},-1 \right)\)

Проверяем:

1. \(d=\sqrt{{{\left( 5-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3}-\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

2. \(\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 1-2 \right)}^{2}}+{{\left( -5-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)

3. \(\displaystyle d=\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{12} \right)}^{2}}+{{\left( -1-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 3-2\sqrt{3}\sqrt{12}+12 \right)+4}=\)

\(\displaystyle =\sqrt{3-2\sqrt{36}+12+4}=\sqrt{3-12+12+4}=\sqrt{7}\)

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Вот еще пара задачек на ту же формулу, правда звучат они немного по-другому:

1. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра \(\vec{a}-\vec{b}\).

Найти расстояние между указанными точками

2. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра \(\overrightarrow{AB}\)

Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра

Я так думаю, ты с ними без труда справился? Проверяем:

1. А это на внимательность) Мы уже нашли координаты векторов \(\displaystyle {\vec{a}}\) и \(\displaystyle {\vec{b}}\) ранее: \(\displaystyle \vec{a}\left( 2,6 \right),~\vec{b}\left( 8,4 \right)\). Тогда вектор \(\displaystyle \vec{a}-\vec{b}\) имеет координаты \(\displaystyle \left( 2-8,6-4 \right)=\left( -6,2 \right)\). Квадрат его длины будет равен:

\(\displaystyle {{d}^{2}}={{\left( -6 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=36+4=40.\)

2. Найдем координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\left( 8-2,6-4 \right)=\overrightarrow{AB}\left( 6,2 \right)\)

Тогда квадрат его длины равен

\(\displaystyle {{d}^{2}}={{6}^{2}}+{{2}^{2}}=36+4=40.\)

Ничего сложного, правда? Обычная арифметика, не более того.

Следующие задачки нельзя однозначно классифицировать, они скорее на общую эрудицию и на умение рисовать простенькие картинки.

1. Най­ди­те синус угла на­кло­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \(\displaystyle O\left( 0;~0 \right)\),\(\displaystyle A\left( 6;~8 \right)\) с осью абсцисс.

Най­ди­те синус угла на­кло­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки рис. 1 и

Как мы будем поступать здесь? Нужно найти синус угла между \(\displaystyle OA\) и осью \(\displaystyle Ox\). А где мы умеем искать синус? Верно, в прямоугольном треугольнике. Так что нам нужно сделать? Построить этот треугольник!

Най­ди­те синус угла на­кло­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки рис. 2

Поскольку координаты точки \(\displaystyle A-6\) и \(\displaystyle 8\), то отрезок \(\displaystyle OB\) равен \(\displaystyle 6\), а отрезок \(\displaystyle AB-8\). Нам нужно найти синус угла \(\displaystyle \angle AOB\). Напомню тебе, что синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, тогда

\(\displaystyle sin\angle AOB=\frac{AB}{OA}\)

Что нам осталось сделать? Найти гипотенузу. Ты можешь сделать это двумя способами: по теореме Пифагора (катеты-то известны!) или по формуле расстояния между двумя точками (на самом деле одно и то же, что и первый способ!). Я пойду вторым путем:

\(\displaystyle OA=\sqrt{{{\left( 6-0 \right)}^{2}}+{{\left( 8-0 \right)}^{2}}}=10\)

Тогда

\(\displaystyle sin\angle AOB=\frac{AB}{OA}=\frac{8}{10}=0.8\)

Ответ: \(\displaystyle 0.8\)

Следующая задача покажется тебе еще проще. Она – на координаты точки.

Задача 2. Из точки \(\displaystyle A\left( 6;8 \right)\) опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр на ось абс­цисс. Най­ди­те абс­цис­су ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Решение.

Давай сделаем рисунок:

Най­ди­те абс­цис­су ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ра

Основание перпендикуляра – это та точка, в которой он пересекает ось абсцисс (ось \(\displaystyle Ox\)) у меня это точка \(\displaystyle B\). По рисунку видно, что \(\displaystyle B\) имеет координаты: \(\displaystyle B\left( 6,0 \right)\). Нас интересует абсцисса – то есть «иксовая» составляющая. Она равна \(\displaystyle 6\).

Ответ: \(\displaystyle 6\).

Задача 3. В условиях предыдущей задачи найти сумму расстояний от точки \(\displaystyle A\) до осей координат.

Задача – вообще элементарная, если знать, что такое расстояние от точки до осей. Ты знаешь? Я надеюсь, но все же напомню тебе:

Расстояние от точки до осей координат – это длины перпендикуляров, опущенных из точки к осям.

Итак, на моем рисунке, расположенном чуть выше, я уже изобразил один такой перпендикуляр? К какой он оси? К оси \(\displaystyle Ox\). И чему же равна тогда его длина? Она равна \(\displaystyle 8\). Теперь сам проведи перпендикуляр к оси \(\displaystyle Oy\) и найди его длину. Она будет равна \(\displaystyle 6\), ведь так? Тогда их сумма равна \(\displaystyle 14\).

Ответ: \(\displaystyle 14\).

Задача 4. В условиях задачи 2, найдите ординату точки, симметричной точке \(\displaystyle A\) относительно оси абсцисс.

Я думаю, тебе интуитивно ясно, что такое симметрия? Очень многие объекты ею обладают: многие здания, столы, самолеты, многие геометрические фигуры: шар, цилиндр, квадрат, ромб и т. д. Грубо говоря, симметрию можно понимать вот как: фигура состоит из двух (или более) одинаковых половинок. Такая симметрия называется осевой. А что тогда такое ось? Это как раз та линия, по которой фигуру можно, условно говоря, «разрезать» на одинаковые половинки (на данной картинке ось симметрии – прямая \(\displaystyle l\)):

Найдите ординату точки, симметричной точке рис. 1

Теперь давай вернемся к нашей задаче. Нам известно, что мы ищем точку, симметричную относительно оси \(\displaystyle Ox\). Тогда эта ось – ось симметрии. Значит, нам нужно отметить такую точку \(\displaystyle {{A}_{1}}\), чтобы ось \(\displaystyle Ox\) разрезала отрезок \(\displaystyle A{{A}_{1}}\) на две равные части. Попробуй сам отметить такую точку. А теперь сравни с моим решением:

Найдите ординату точки, симметричной точке рис. 2

У тебя получилось так же? Хорошо! У найденной точки нас интересует ордината. Она равна \(\displaystyle -8\)

Ответ: \(\displaystyle -8\)

А теперь скажи мне, подумав \(\displaystyle 10\) секунд, чему будет равна абсцисса точки, симметричной точке A относительно оси ординат? Каков твой ответ? Правильный ответ: \(\displaystyle -6\).

В общем случае правило можно записать вот так:

Точка \(\displaystyle {{A}_{x}}\), симметричная точке \(\displaystyle A\left( x,y \right)\) относительно оси абсцисс, имеет координаты:

\(\displaystyle {{A}_{x}}\left( x,-y \right)\)

Точка \(\displaystyle {{A}_{y}}\), симметричная точке \(\displaystyle A\left( x,y \right)\) относительно оси ординат, имеет координаты:

\(\displaystyle {{A}_{y}}\left( -x,y \right)\)

Ну и теперь совсем страшная задача: найти координаты точки, симметричной точке \(\displaystyle A\), относительно начала координат. Ты вначале подумай сам, а потом посмотри на мой рисунок!

Найти координаты точки, симметричной точке

Ответ: \(\displaystyle \left( -6,-8 \right)\)

Теперь задачка на параллелограмм:

Задача 5: Точки \(\displaystyle O\left( 0;~0 \right),~A\left( 6;~8 \right),~C\left( 0;~6 \right)~\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \(\displaystyle B\).

Най­ди­те ор­ди­на­ту точки

Можно решать эту задачу двумя способами: логикой и методом координат. Я вначале применю метод координат, а потом расскажу тебе, как можно решить иначе.

Совершенно ясно, что абсцисса точки \(\displaystyle B\) равна \(\displaystyle 6\). (она лежит на перпендикуляре, проведенной из точки \(\displaystyle A\) к оси абсцисс). Нам нужно найти ординату. Воспользуемся тем, что наша фигура – параллелограмм, это значит, что \(\displaystyle CA=OB\). Найдем длину отрезка \(\displaystyle CA\), используя формулу расстояния между двумя точками:

\(d=\sqrt{{{\left( 6-0 \right)}^{2}}+{{\left( 8-6 \right)}^{2}}}=\sqrt{40}\)

Тогда \(OB=\sqrt{40}.~~\)

Опускаем перпендикуляр, соединяющий точку \(B\) с осью \(Ox\). Точку пересечения обозначу буквой \(D\).

12

Длина отрезка \(OD\) равна \(6\). (найди сам задачу, где мы обсуждали этот момент), тогда найдем длину отрезка \(BD\) по теореме Пифагора:

\(BD=\sqrt{40-36}=2\)

Длина отрезка – в точности совпадает с его ординатой.

Ответ: \(2\).

Другое решение (я просто приведу рисунок, который его иллюстрирует)

13

Ход решения:

1. Провести \(CE\)

2. Найти координаты точки \(E\) и длину \(AE\)

3. Доказать, что \(BD=AE\).

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Еще одна задачка на длину отрезка:

Точки \(O\left( 0;~0 \right),~A\left( 6;~8 \right),~B\left( 8;~2 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те длину его сред­ней линии \(CD\), па­рал­лель­ной \(OA\).

14

Ты помнишь, что такое средняя линия треугольника? Тогда для тебя эта задача элементарна. Если не помнишь, то я напомню: средняя линия треугольника – это линия, которая соединяет середины противоположных сторон. Она параллельна основанию и равна его половине.

Основание – это отрезок \(OA\). Его длину нам приходилось искать ранее, оно равно \(10\). Тогда длина средней линии вдвое меньше и равна \(5\).

Ответ: \(5\).

Комментарий: эту задачу можно решить и другим способом, к которому мы обратимся чуть позже.

А пока – вот тебе несколько задачек, потренируйся на них, они совсем простые, но помогают «набивать руку», на использовании метода координат!

1. Точки \(O\left( 0;~0 \right),~A\left( 10;~0 \right),~B\left( 8;~6 \right),~C\left( 2;~6 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тра­пе­ции. Най­ди­те длину ее сред­ней линии \(DE\).

15

2. Точки \(O\left( 0;~0 \right),~B\left( 8;~2 \right),~C\left( 2;~6 \right)\) и \(A\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \(A\).

16

3. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \(A\left( 6 ;~8 \right)\) и \(B\left( -2;~2 \right).\)

17

4. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

(часть 1) - 24

5. Окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат про­хо­дит через точку \(\displaystyle P\left( 8;\text{ }6 \right)\). Най­ди­те ее ра­ди­ус.

18

6. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка \(\displaystyle ABCD\), вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты со­от­вет­ствен­но \(\displaystyle \left( -2;~-2 \right),~\left( 6;~-2 \right),~\left( 6;~4 \right),~\left( -2;~4 \right).\)

19

Решения:

1. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Основание \(\displaystyle CB\) равно \(\displaystyle 6\), а основание \(\displaystyle OA-10\). Тогда \(\displaystyle ED=\frac{CB+OA}{2}=\frac{16}{2}=8\)

Ответ: \(\displaystyle 8\)

2. Проще всего решить эту задачу так: заметить, что \(\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\) (правило параллелограмма). Вычислить координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow{OC}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{OB}\) не представляет труда: \(\displaystyle \overrightarrow{OC}\left( 2,6 \right),~\overrightarrow{OB}\left( 8,2 \right)\). При сложении векторов координаты складываются. Тогда \(\displaystyle \overrightarrow{OA}\) имеет координаты \(\displaystyle \left( 10,8 \right)\). Эти же координаты имеет и точка \(\displaystyle A\), поскольку начало вектора \(\displaystyle \overrightarrow{OA}\) – это точка с координатами \(\displaystyle \left( 0,0 \right)\). Нас интересует ордината. Она равна \(\displaystyle 8\).

Ответ: \(\displaystyle 8\)

3. Действуем сразу по формуле расстояния между двумя точками:

\(\displaystyle d=\sqrt{{{\left( 6-\left( -2 \right) \right)}^{2}}+{{\left( 8-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{64+36}=10\)

Ответ: \(\displaystyle 10\)

4. Посмотри на картинку и скажи, между какими двумя фигурами «зажата» заштрихованная область? Она зажата между двумя квадратами. Тогда площадь искомой фигуры равна площади большого квадрата минус площадь маленького. Сторона маленького квадрата – это отрезок, соединяющий точки \(\displaystyle \left( 0,2 \right)\) и \(\displaystyle \left( 2,0 \right).\) Его длина равна

\(\displaystyle {{d}_{1}}=\sqrt{{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{8}\)

Тогда площадь маленького квадрата равна

\(\displaystyle {{S}_{1}}=d_{1}^{2}={{\sqrt{8}}^{2}}=8\)

Точно так же поступаем и с большим квадратом: его сторона – это отрезок, соединяющий точки \(\displaystyle \left( 0,4 \right)\) и \(\displaystyle \left( 4,0 \right).\) Его длина равна

\(\displaystyle {{d}_{2}}=\sqrt{{{\left( 0-4 \right)}^{2}}+{{\left( 4-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{32}\).

Тогда площадь большого квадрата равна

\(\displaystyle {{S}_{2}}=d_{2}^{2}={{\sqrt{32}}^{2}}=32\)

Площадь искомой фигуры найдем по формуле:

\(\displaystyle S={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=32-8=24\)

Ответ: \(\displaystyle 24\)

5. Если окружность имеет в качестве центра начало координат и проходит через точку \(\displaystyle P\), то ее радиус \(\displaystyle R\) будет в точности равен длине отрезка \(\displaystyle OP\) (сделай рисунок и ты поймешь, почему это очевидно). Найдем длину этого отрезка:

\(\displaystyle R=\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=10\)

Ответ: \(\displaystyle 10\)

6. Известно, что радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали. Найдем длину любой из двух диагоналей (ведь в прямоугольнике они равны!)

\(\displaystyle \left| AC \right|=\sqrt{{{\left( 6-\left( -2 \right) \right)}^{2}}+{{\left( 4-\left( -2 \right) \right)}^{2}}}=10\)

Тогда

\(\displaystyle R=\frac{1}{2}\left| AC \right|=5\)

Ответ: \(\displaystyle 5\)

Ну что, ты со всем справился? Было не очень сложно разобраться, ведь так? Правило здесь одно – уметь сделать наглядную картинку и просто «считать» с нее все данные.

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Нам осталось совсем немного. Есть еще буквально два момента, которые бы мне хотелось обсудить.

Давай попробуем решить вот такую нехитрую задачку. Пусть даны две точки \(\displaystyle A\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)~\) и \(\displaystyle B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\). Найти координаты середины отрезка \(\displaystyle AB\). Решение этой задачки следующее: пусть точка \(\displaystyle D\) – искомая середина, тогда \(\displaystyle D\) имеет координаты:

\(\displaystyle D\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right)\)

То есть: координаты середины отрезка = среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка.

Это правило очень простое и как правило не вызывает затруднений у учащихся. Давай посмотрим, в каких задачках и как оно употребляется:

1. Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \(\displaystyle A\left( 6,~8 \right)~\) и \(\displaystyle B\left( -2,~2 \right).\)

20

2. Точки \(\displaystyle O\left( 0;~0 \right),~A\left( 6;~8 \right),~B\left( 6;~2 \right),~C\left( 0;~6 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \(\displaystyle P\) пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

21

3. Най­ди­те абс­цис­су цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка \(\displaystyle ABCD\), вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты со­от­вет­ствен­но \(\displaystyle \left( -2;~-2 \right),~\left( 6;~-2 \right),~\left( 6;~4 \right),~\left( -2;~4 \right)\).

22

Решения:

1. Первая задачка – просто классика. Действуем сразу по определению середины отрезка. Она имеет координаты \(\displaystyle \left( \frac{6-2}{2},~\frac{8+2}{2} \right)=\left( 2,5 \right)\). Ордината равна \(\displaystyle 5\).

Ответ: \(\displaystyle 5\)

2. Легко видеть, что данный четырехугольник является параллелограммом (даже ромбом!). Ты и сам можешь это доказать, вычислив длины сторон и сравнив их между собой. Что я знаю про параллелограмм? Его диагонали точкой пересечения делятся пополам! Ага! Значит точка пересечения диагоналей – это что? Это середина любой из диагоналей! Выберу, в частности диагональ \(\displaystyle OA\). Тогда точка \(\displaystyle P\) имеет координаты \(\displaystyle \left( \frac{6+0}{2},\frac{8+0}{2} \right)=\left( 3,4 \right).\) Ордината точки \(\displaystyle P\) равна \(\displaystyle 4\).

Ответ: \(\displaystyle 4\)

3. С чем совпадает центр описанной около прямоугольника окружности? Он совпадает с точкой пересечения его диагоналей. А что ты знаешь про диагонали прямоугольника? Они равны и точкой пересечения делятся пополам. Задача свелась к предыдущей. Возьму, например, диагональ \(\displaystyle AC\). Тогда если \(\displaystyle P\) – центр описанной окружности, то \(\displaystyle P\) – середина \(\displaystyle AC\). Ищу координаты: \(\displaystyle P\left( \frac{-2+6}{2},\frac{-2+4}{2} \right)=P\left( 2,1 \right).\) Абсцисса равна \(\displaystyle 2\).

Ответ: \(\displaystyle 2\)

Теперь потренируйся немного самостоятельно, я лишь приведу ответы к каждой задачи, чтобы ты мог себя проверить.

1. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты \(\displaystyle \left( 8;~0 \right),~\left( 0;~6 \right),~\left( 8;~6 \right).\)

23

2. Най­ди­те ор­ди­на­ту цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты \(\displaystyle \left( 8;~0 \right),~\left( 0;~6 \right),~\left( 8;~6 \right).\)

3. Ка­ко­го ра­ди­у­са долж­на быть окруж­ность с цен­тром в точке \(\displaystyle P\left( 8;~6 \right),\) чтобы она ка­са­лась оси абс­цисс?

24

4. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния оси \(\displaystyle Oy\) и от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \(\displaystyle A\left( 6;\text{ }8 \right)\) и \(\displaystyle B\left( -6;\text{ }0 \right).\)

25

Ответы:

  1. \(\displaystyle 5\)
  2. \(\displaystyle 3\)
  3. \(\displaystyle 6\)
  4. \(\displaystyle 4\)

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Все удалось? Очень на это надеюсь! Теперь – последний рывок. Сейчас будь особенно внимателен. Тот материал, который я сейчас буду объяснять, имеет непосредственное отношение не только к простым задачам на метод координат из B части, но также встречается повсеместно и в задаче С2.

Какое из своих обещаний я еще не сдержал? Вспомни, какие операции над векторами я обещал ввести и какие в конечном счете ввел? Я точно ничего не забыл? Забыл! Забыл объяснить, что значит умножение векторов.

Есть два способа умножить вектор на вектор. В зависимости от выбранного способа у нас будут получаться объекты разной природы:

  • Скалярное произведение (результат – число)
  • Векторное произведение (результат – вектор)

Векторное произведение выполняется довольно хитро. Как его делать и для чего оно нужно, мы с тобой обсудим в следующей статье. А в этой мы остановимся на скалярном произведении.

Есть аж два способа, позволяющих нам его вычислить:

  • Через координаты векторов
  • Через длины векторов и угол между ними

Как ты догадался, результат должен быть один и тот же! Итак, давай вначале рассмотрим первый способ:

Скалярное произведение через координаты

Дано: \(\displaystyle \vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),~\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)

Найти: \(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right).\) — общепринятое обозначение скалярного произведения

Формула для вычисления \(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right)\) следующая:

\(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}\)

То есть скалярное произведение = сумма произведений координат векторов!

Пример:

Най­ди­те \(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right)\)

Скалярное произведение через координаты рис. 1

Решение:

Найдем координаты каждого из векторов:

\(\displaystyle \vec{a}\left( 4-2,10-4 \right)=\vec{a}\left( 2,6 \right)\)

\(\displaystyle \vec{b}\left( 10-2,6-2 \right)=\vec{b}\left( 8,4 \right)\)

Вычисляем скалярное произведение по формуле:

\(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right)=2\cdot 8+6\cdot 4=16+24=40\)

Ответ: \(\displaystyle 40\)

Видишь, абсолютно ничего сложного!

Ну-ка, теперь попробуй сам:

· Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров \(\displaystyle {\vec{a}}\) и \(\displaystyle {\vec{b}}\)

Скалярное произведение через координаты рис. 2

Справился? Может, и подвох небольшой заметил? Давай проверим:

\(\displaystyle \vec{a}\left( 2,6 \right)\), \(\displaystyle \vec{b}\left( 8,4 \right)\) – координаты векторов, как в прошлой задаче! Ответ: \(\displaystyle 40\).

Помимо координатного, есть и другой способ вычислить скалярное произведение, а именно, через длины векторов и косинус угла между ними:

\(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right)=\left| {\vec{a}} \right|\left| {\vec{b}} \right|cos\widehat{\vec{a},~\vec{b}}\)

\(\displaystyle \widehat{\vec{a},~\vec{b}}\) – обозначает угол между векторами \(\displaystyle {\vec{a}}\) и \(\displaystyle {\vec{b}}\).

То есть скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Зачем же нам эта вторая формула, если у нас есть первая, которая намного проще, в ней по крайней мере нет никаких косинусов. А нужна она для того, что из первой и второй формулы мы с тобой сможем вывести, как находить угол между векторами!

Пусть \(\displaystyle \vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),~\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right).\) Тогда вспоминай формулу для длины вектора!

\(\displaystyle \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)

\(\displaystyle \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\)

Тогда если я подставлю эти данные в формулу скалярного произведения, то я получу:

\(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right)=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}cos\widehat{\vec{a},~\vec{b}}\)

Но с другой стороны:

\(\displaystyle \left( \vec{a},~\vec{b} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}\)

Тогда

\(\displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}cos\widehat{\vec{a},~\vec{b}}\)

Или

\(\displaystyle cos\widehat{\vec{a},~\vec{b}}=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\)

Таким образом, что же мы с тобой получили? У нас теперь есть формула, позволяющая вычислять угол между двумя векторами! Иногда ее для краткости записывают еще и так:

\(\displaystyle cos\widehat{\vec{a},~\vec{b}}=\frac{\left( \vec{a},~\vec{b} \right)}{\left| {\vec{a}} \right|\left| {\vec{b}} \right|}\)

То есть алгоритм вычисления угла между векторами следующий:

  1. Вычисляем скалярное произведение через координаты
  2. Находим длины векторов и перемножаем их
  3. Делим результат пункта 1 на результат пункта 2

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Давай потренируемся на примерах:

1. Най­ди­те угол между век­то­ра­ми \(\displaystyle {\vec{a}}\) и \(\displaystyle {\vec{b}}\). Ответ дайте в гра­ду­сах.

28

2. В условиях предыдущей задачи, найдите косинус между векторами

\(\displaystyle \vec{a}+\vec{b}~\) и \(\displaystyle \vec{a}-\vec{b}\)

Поступим так: первую задачу я помогу тебе решить, а вторую попробуй сделать сам! Согласен? Тогда начинаем!

1. Эти вектора – наши старые знакомые. Их скалярное произведение мы уже считали и оно было равно \(\displaystyle 40\). Координаты у них такие: \(\displaystyle \vec{a}\left( 2,6 \right)\), \(\displaystyle \vec{b}\left( 8,4 \right)\). Тогда найдем их длины:

\(\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{6}^{2}}}=\sqrt{40}\)

\(\left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{80}\)

Тогда ищем косинус между векторами:

\(cos\widehat{\vec{a},~\vec{b}}=\frac{\left( \vec{a},~\vec{b} \right)}{\left| {\vec{a}} \right|\left| {\vec{b}} \right|}=\frac{40}{\sqrt{40}\sqrt{80}}=\frac{\sqrt{40}\sqrt{40}}{\sqrt{40}\sqrt{80}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Косинус какого угла равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)? Это угол \(45{}^\circ \).

Ответ: \(45\)

Ну а теперь сам реши вторую задачу, а потом сравним! Я приведу лишь очень краткое решение:

2. \(\vec{a}+\vec{b}\) имеет координаты \(\left( 10,10 \right)\), \(\vec{a}-\vec{b}\) имеет координаты \(\left( -6,2 \right)\).

\(\left( \vec{a}+\vec{b},\vec{a}-\vec{b} \right)=-60+20=-40\)

\(\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\sqrt{{{10}^{2}}+{{10}^{2}}}=10\sqrt{2}\)

\(\left| \vec{a}-\vec{b} \right|=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{40}\).

Пусть \(a\) – угол между векторами \(\vec{a}+\vec{b}\) и \(\vec{a}-\vec{b}\), тогда

\(cosa=\frac{-40}{10\sqrt{2}\sqrt{40}}=-\frac{\sqrt{40}}{10\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{20}}{10}=-\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Ответ: \(-\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Надо отметить, что задачи непосредственно на вектора и метод координат в части B экзаменационной работы достаточно редки. Однако, подавляющее большинство задач C2 можно легко решить, прибегнув ко введению системы координат. Так что ты можешь считать эту статью фундаментом, на основе которого мы будем делать достаточно хитрые построения, которые понадобятся нам для решения сложных задач.

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий