Координаты и векторы. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Мы с тобой продолжаем изучать метод координат. В прошлой части мы вывели ряд важных формул, которые позволяют:

  1. Находить координаты вектора
  2. Находить длину вектора (альтернативно: расстояние между двумя точками)
  3. Складывать, вычитать векторы. Умножать их на вещественное число
  4. Находить середину отрезка
  5. Вычислять скалярное произведение векторов
  6. Находить угол между векторами

Конечно, в эти 6 пунктов не укладывается весь координатный метод. Он лежит в основе такой науки, как аналитическая геометрия, с которой тебе предстоит познакомиться в ВУЗе. Я лишь хочу построить фундамент, который позволит тебе решать задачи в едином гос. экзамене. С задачами части B мы разобрались в предыдущей работе. Теперь пора переходить на качественно новый уровень! Эта статья будет посвящена методу решения тех задач С2, в которых будет разумно перейти к методу координат. Эта разумность определяется тем, что в задаче требуется найти, и какая фигура дана. Итак, я бы стал применять метод координат, если ставятся вопросы:

  1. Найти угол между двумя плоскостями
  2. Найти угол между прямой и плоскостью
  3. Найти угол между двумя прямыми
  4. Найти расстояние от точки до плоскости
  5. Найти расстояние от точки до прямой
  6. Найти расстояние от прямой до плоскости
  7. Найти расстояние между двумя прямыми

Однако, я бы не рекомендовал прибегать к этому методу, даже если тебе нужно ответить на один из вопросов, сформулированных выше, вот в каком случае:

Если данная в условии задачи фигура является телом вращения (шар, цилиндр, конус …)

Подходящими фигурами для метода координат являются:

  1. Куб
  2. Прямоугольный параллелепипед
  3. Прямая призма (треугольная, шестиугольная…)
  4. Пирамида (треугольная, четырехугольная, шестиугольная)
  5. Тетраэдр (одно и то же, что и треугольная пирамида)

Также по моему опыту нецелесообразно использовать метод координат для:

  1. Нахождения площадей сечений
  2. Вычисления объемов тел

Однако следует сразу отметить, что три «невыгодные» для метода координат ситуации на практике достаточно редки. В большинстве же задач он может стать твоим спасителем, особенно если ты не очень силен в трехмерных построениях (которые порою бывают довольно замысловатыми).

Какими являются все перечисленные мною выше фигуры? Они уже не плоские, как, например, квадрат, треугольник, окружность, а объемные! Соответственно, нам нужно рассматривать уже не двухмерную, а трехмерную систему координат. Строится она достаточно легко: просто помимо оси абсцисс и ординат, мы введем еще одну ось, ось аппликат. На рисунке схематично изображено их взаимное расположение:

Оси координат рис. 1

Все они являются взаимно перпендикулярными, пересекаются в одной точке \(\displaystyle O\), которую мы будем называть началом координат. Ось абсцисс, как и прежде, будем обозначать \(Ox\), ось ординат – \(Oy\), а введенную ось аппликат – \(Oz\).

Если раньше каждая точка на плоскости характеризовалась двумя числами – абсциссой и ординатой, то каждая точка в пространстве уже описывается тремя числами – абсциссой, ординатой, аппликатой. Например:

Точка P  и ее координаты

Соответственно абсцисса точки \(\displaystyle P\) равна \(\displaystyle 1\), ордината – \(\displaystyle 2\), а аппликата – \(\displaystyle 3\).

Иногда абсциссу точки еще называют проекцией точки на ось абсцисс, ординату – проекцией точки на ось ординат, а аппликату – проекцией точки на ось аппликат. Соответственно, если задана точка \(A\left( x,y,z \right)\) то, точку с координатами:

\(A\left( x,y,0 \right)\) называют проекцией точки \(A\left( x,y,z \right)\) на плоскость \(Oxy\)

\(A\left( x,0,z \right)\) называют проекцией точки \(A\left( x,y,z \right)\) на плоскость \(Oxz\)

\(A\left( 0,y,z \right)\) называют проекцией точки \(A\left( x,y,z \right)\) на плоскость \(Oyz\)

Встает естественный вопрос: справедливы ли все формулы, выведенные для двухмерного случая, в пространстве? Ответ утвердительный, они справедливы и имеют тот же самый вид. За маленькой деталью. Я думаю, ты уже сам догадался, за какой именно. Во все формулы мы должны будем добавить еще один член, отвечающий за ось аппликат. А именно.

1. Если заданы две точки: \(A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)\), \(A\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)\), то:

  • Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\): \(\overrightarrow{AB}\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}},{{y}_{2}}-{{y}_{1}},{{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)\)
  • Расстояние между двумя точками (или длина вектора \(\overrightarrow{AB}\))
    \(d=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}^{2}}}\)
  • Середина \(D\) отрезка \(AB\) имеет координаты
    \(D\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2},\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right)\)

2. Если дано два вектора: \(\vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)\) и \(\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)\), то:

  • Их скалярное произведение равно:
    \(\left( \vec{a},~\vec{b} \right)=\left| {\vec{a}} \right|\left| {\vec{b}} \right|cos\overset{}{\widehat{\vec{a},~\vec{b}}}\,\)
    или
    \(\left( \vec{a},~\vec{b} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}\)
  • Косинус угла между векторами равен:
    \(cos\overset{}{\widehat{\vec{a},~\vec{b}}}\,=\frac{\left( \vec{a},~\vec{b} \right)}{\left| {\vec{a}} \right|\left| {\vec{b}} \right|}=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}\)

Однако с пространством не все так просто. Как ты понимаешь, добавление еще одной координаты вносит существенное разнообразие в спектр фигур, «живущих» в этом пространстве. И для дальнейшего повествования мне потребуется ввести некоторое, грубо говоря, «обобщение» прямой. Этим «обобщением» будет плоскость. Что ты знаешь про плоскость? Попробуй ответить на вопрос, а что такое плоскость? Очень сложно сказать. Однако мы все интуитивно представляем, как она выглядит:

Уравнение плоскости

Грубо говоря, это некий бесконечный «лист», засунутый в пространство. «Бесконечность» следует понимать, что плоскость распространяется во все стороны, то есть ее площадь равна бесконечности. Однако, это объяснение «на пальцах» не дает ни малейшего представления о структуре плоскости. А нас будет интересовать именно она.

Давай вспомним одну из основных аксиом геометрии:

  • через две различные точки на плоскости проходит прямая, притом только одна:

Через две различные точки на плоскости проходит прямая, притом только одна

Или ее аналог в пространстве:

  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом только одна:

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом только одна

Конечно, ты помнишь, как по двум заданным точкам вывести уравнение прямой, это совсем нетрудно: если первая точка имеет координаты: \(A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) а вторая  \(B\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\), то уравнение прямой будет следующим:

\(\frac{x-{{x}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}=\frac{y-{{y}_{0}}}{{{y}_{1}}-{{y}_{0}}}\)

\(\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{0}} \right)=\left( y-{{y}_{0}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)\)

Это ты проходил еще в 7 классе. В пространстве уравнение прямой выглядит вот так: пусть у нас даны две точки с координатами: \(A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\), \(B\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)\), то уравнение прямой, через них проходящей, имеет вид:

\(\frac{x-{{x}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}=\frac{y-{{y}_{0}}}{{{y}_{1}}-{{y}_{0}}}=\frac{z-{{z}_{0}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{0}}}\)

Например, через точки \(A\left( 1,2,3 \right)\), \(B\left( 4,5,6 \right)\) проходит прямая:

\(\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{6-3}\)

\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{3}\)

\(x-1=y-2=z-3\)

Как это следует понимать? Это следует понимать вот как: точка \(D\left( x,y,z \right)\) лежит на прямой, если ее координаты удовлетворяют следующей системе:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-1=y-2\\x-1=z-3\end{array} \right.\)

Нас не очень будет интересовать уравнение прямой, но нам нужно обратить внимание на очень важное понятие направляющего вектора прямой. Направляющий вектор прямой – любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей.

Направляющий вектор прямой

Например, оба вектора \(\overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\), \(\vec{s}\) являются направляющими векторами прямой \(l\). Пусть \(M\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\) – точка, лежащая на прямой, а \(\vec{p}\left( m,n,q \right)\) – ее направляющий вектор. Тогда уравнение прямой можно записать в следующем виде:

\(\frac{x-{{x}_{0}}}{m}=\frac{y-{{y}_{0}}}{n}=\frac{z-{{z}_{0}}}{p}\)

Еще раз повторюсь, мне не очень будет интересно уравнение прямой, но мне очень нужно, чтобы ты запомнил, что такое направляющий вектор! Еще раз: это ЛЮБОЙ ненулевой вектор, лежащий на прямой, или параллельный ей.

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Уравнение плоскости

Вывести уравнение плоскости по трем заданным точкам уже не так тривиально, и обычно этот вопрос не рассматривается в курсе средней школы. А зря! Этот прием жизненно необходим, когда мы прибегаем к методу координат для решения сложных задач. Однако, я предполагаю, что ты полон желания научиться чему-то новому? Более того, ты сможешь поразить своего преподавателя в ВУЗе, когда выяснится, что ты уже умеешь с методикой, которую обычно изучают в курсе аналитической геометрии. Итак, приступим.

Уравнение плоскости не слишком отличается от уравнения прямой на плоскости, а именно оно имеет вид:

\(Ax+By+Cz+D=0\)

\(A,B,C,D-\) некоторые числа (не все равные нулю), а \(x,y,z-~\) переменные, например: \(3x+2y-z+1=0,~0.5x-2z-2=0,~x+y=0\) и т.д. Как видишь, уравнение плоскости не очень отличается от уравнения прямой (линейной функции). Однако, вспомни, что мы с тобой утверждали? Мы говорили, что если у нас есть три точки \(A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right),~B\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right),~C\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)\), не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости однозначно по ним восстанавливается. Но как? Попробую тебе объяснить.

Поскольку уравнение плоскости имеет вид:

\(Ax+By+Cz+D=0\)

А точки \(A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right),~B\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right),~C\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)\) принадлежат этой плоскости, то при подстановке координат каждой точки в уравнение плоскости мы должны получать верное тождество:

\(A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D=0\)

\(A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C{{z}_{1}}+D=0\)

\(A{{x}_{2}}+B{{y}_{2}}+C{{z}_{2}}+D=0\)

Таким образом, встает необходимость решать три уравнения аж с \(\displaystyle 4\) неизвестными! Дилемма! Однако всегда можно предполагать, что \(D=1\) (для этого нужно разделить \(~Ax+By+Cz+D=0\) на \(D\)). Таким образом, мы получим три уравнения с тремя неизвестными \(\displaystyle A,B,C\):

\(A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+1=0\)

\(A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C{{z}_{1}}+1=0\)

\(A{{x}_{2}}+B{{y}_{2}}+C{{z}_{2}}+1=0\)

Однако мы не будем решать такую систему, а выпишем загадочное выражение, которое из него следует:

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x — {x_0}}&{{x_1} — {x_0}}&{{x_2} — {x_0}}\\{y — {y_0}}&{{y_1} — {y_0}}&{{y_2} — {y_0}}\\{z — {z_0}}&{{z_1} — {z_0}}&{{z_2} — {z_0}}\end{array}} \right| = 0\]

Стоп! Это еще что такое? Какой-то очень необычный модуль! Однако объект, который ты видишь перед собой не имеет ничего общего с модулем. Этот объект называется определителем третьего порядка. Отныне и впредь, когда ты будешь иметь дело с методом координат на плоскости, тебе очень часто будут встречаться эти самые определители. Что же такое определитель третьего порядка? Как ни странно, это всего-навсего число. Осталось понять, какое конкретно число мы будем сопоставлять с определителем.

Давай вначале запишем определитель третьего порядка в более общем виде:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}\end{array}} \right|\),

Где \({{a}_{ij}}\) – некоторые числа. Причем под первым индеком \(\displaystyle i\) мы понимаем номер строки, а под индеком \(\displaystyle j\) – номер столбца. Например, \({{a}_{23}}\) означает, что данное число стоит на пересечении второй строки и третьего столбца. Давай поставим следующий вопрос: каким именно образом мы будем вычислять такой определитель? То есть, какое конкретно число мы будем ему сопоставлять? Для определителя именно третьего порядка есть эвристическое (наглядное) правило треугольника оно выглядит следующим образом:

Определитель

Как его читать? А понимать его надо следующим образом: мы составляем два выражения:

  1. Произведение элементов главной диагонали (с верхнего левого угла до нижнего правого) \(\displaystyle +\) произведение элементов, образующих первый треугольник «перпендикулярный» главной диагонали \(\displaystyle +\) произведение элементов, образующих второй треугольник «перпендикулярный» главной диагонали
  2. Произведение элементов побочной диагонали (с верхнего правого угла до нижнего левого) \(\displaystyle +\) произведение элементов, образующих первый треугольник «перпендикулярный» побочной диагонали \(\displaystyle +\) произведение элементов, образующих второй треугольник «перпендикулярный» побочной диагонали
  3. Тогда определитель равен разности значений, полученных на шаге \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 2\)

Если записать все это цифрами, то мы получим следующее выражение:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}\end{array}} \right| = \)

\( = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{21}}{a_{32}}{a_{13}} — \left( {{a_{13}}{a_{22}}{a_{31}} + {a_{23}}{a_{32}}{a_{11}} + {a_{21}}{a_{12}}{a_{33}}} \right)\)

Тем не менее, запоминать способ вычисления в таком виде не нужно, достаточно в голове просто держать треугольники и саму идею, что с чем складывается и что из чего затем вычитается).

Давай проиллюстрируем метод треугольников на примере:

1. Вычислить определитель:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&{ — 1}\\{11}&{21}&{ — 5}\\4&6&9\end{array}} \right|\)

Давай разбираться, что мы складываем, а что – вычитаем:

Слагаемые, которые идут с «плюсом»:

Главная диагональ— это главная диагональ: произведение элементов равно

\(2\cdot 21\cdot 9=378\)

Первый треугольник— первый треугольник, «перпендикулярный главной диагонали: произведение элементов равно

\(3\cdot \left( -5 \right)\cdot 4=-60\)

Второй треугольник— второй треугольник, «перпендикулярный главной диагонали: произведение элементов равно

\(11\cdot 6\cdot \left( -1 \right)=-66\)

Складываем три числа:

\(378-60-66=252\)

Слагаемые, которые идут с «минусом»

Побочная диагональ— это побочная диагональ: произведение элементов равно

\(\left( -1 \right)\cdot 21\cdot 4=-84\)

940zh-12— первый треугольник, «перпендикулярный побочной диагонали: произведение элементов равно

\(3\cdot 11\cdot 9=297\)

940zh-13— второй треугольник, «перпендикулярный побочной диагонали: произведение элементов равно

\(6\cdot \left( -5 \right)\cdot 2=-60\)

Складываем три числа:

\(-84+297-60=153\)

Все, что осталось сделать – это вычесть из суммы слагаемых «с плюсом» сумму слагаемых «с минусом»:

\(252-153=99\)

Таким образом,

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&{ — 1}\\{11}&{21}&{ — 5}\\4&6&9\end{array}} \right| = 99\)

Как видишь, ничего сложного и сверхъестественного в вычислении определителей третьего порядка нет. Просто важно помнить про треугольники и не допускать арифметических ошибок. Теперь попробуй самостоятельно вычислить:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ — 2}&4\\3&2&5\\1&2&2\end{array}} \right|\)

Проверяем:

  1. Главная диагональ: \(2\cdot 2\cdot 2=8\)
  2. Первый треугольник, перпендикулярный главной диагонали: \(\left( -2 \right)\cdot 5\cdot 1=-10\)
  3. Второй треугольник, перпендикулярный главной диагонали: \(3\cdot 2\cdot 4=24\)
  4. Сумма слагаемых с плюсом: \(8-10+24=22\)
  5. Побочная диагональ: \(1\cdot 2\cdot 4=8\)
  6. Первый треугольник, перпендикулярный побочной диагонали: \(2\cdot 5\cdot 2=20\)
  7. Второй треугольник, перпендикулярный побочной диагонали: \(\left( -2 \right)\cdot 3\cdot 2=-12\)
  8. Сумма слагаемых с минусом: \(8+20-12=16\)
  9. Сумма слагаемых с плюсом минус сумма слагаемых с минусом: \(22-16=6\)

Вывод:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ — 2}&4\\3&2&5\\1&2&2\end{array}} \right| = 6\)

Вот тебе еще пара определителей, вычисли их значения самостоятельно и сравни с ответами:

1. \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&{ — 1}\\0&4&2\\{ — 3}&2&0\end{array}} \right|\)

 

2. \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1&7\\6&2&{14}\\{ — 1}&0&8\end{array}} \right|\)

Ответы:

  1. \(\displaystyle -34\)
  2. \(\displaystyle 0\)

Ну что, все совпало? Отлично, тогда можно двигаться дальше! Если же есть затрудения, то совет мой таков: в интернете есть куча программ вычисления определителя он-лайн. Все, что тебе нужно – придумать свой определитель, вычислить его самостоятельно, а потом сравнить с тем, что посчитает программа. И так до тех пор, пока результаты не начнут совпадать. Уверен, этот момент не заставит себя долго ждать!

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Теперь давай вернемся к тому определителю, который я выписал, когда говорил про уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x — {x_0}}&{{x_1} — {x_0}}&{{x_2} — {x_0}}\\{y — {y_0}}&{{y_1} — {y_0}}&{{y_2} — {y_0}}\\{z — {z_0}}&{{z_1} — {z_0}}&{{z_2} — {z_0}}\end{array}} \right| = 0\)

Все, что тебе нужно – это вычислить его значение непосредственно (методом треугольников) и приравнять результат к нулю. Естественно, поскольку \(\displaystyle x,y,z\) – переменные, то ты получишь некоторое выражение, от них зависящее. Именно это выражение и будет уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой!

\(Ax+By+Cz+D=0\)

Давай проиллюстрируем сказанное на простом примере:

1. Построить уравнение плоскости, проходящей через точки

\(\displaystyle {{M}_{1}}\left( -3,2,-1 \right),\ {{M}_{2}}\left( -1,2,4 \right),\ {{M}_{3}}\left( 3,3,-1 \right)\)

Cоставляем для этих трех точек определитель:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x — \left( { — 3} \right)}&{ — 1 — \left( { — 3} \right)}&{3 — \left( { — 3} \right)}\\{y — 2}&{2 — 2}&{3 — 2}\\{z — \left( { — 1} \right)}&{4 — \left( { — 1} \right)}&{ — 1 — \left( { — 1} \right)}\end{array}} \right|\).

Упрощаем:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3}&2&6\\{y — 2}&0&1\\{z + 1}&5&0\end{array}} \right|\)

Теперь вычисляем его непосредственно по правилу треугольников:

\[{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3}&2&6\\{y — 2}&0&1\\{z + 1}&5&0\end{array}} \right| = \left( {x + 3} \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left( {z + 1} \right) + \left( {y — 2} \right) \cdot 5 \cdot 6 — }\]

\(\displaystyle -\left( \left( z+1 \right)\cdot 6\cdot 0+\left( x+3 \right)\cdot 5\cdot 1+\left( y-2 \right)\cdot 2\cdot 0 \right)=\)

\(\displaystyle =2\left( z-1 \right)+30\left( y-2 \right)-5\left( x+3 \right)=-5x+30y+2z-73\)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки \(\displaystyle {{M}_{1}}\left( -3,2,-1 \right),\ {{M}_{2}}\left( -1,2,4 \right),\ {{M}_{3}}\left( 3,3,-1 \right)\), имеет вид:

\(-5x+30y+2z-73=0\)

То есть \(A=-5,~B=30,~C=2,~D=-73\)

Теперь попробуй решить одну задачку самостоятельно, а потом мы ее обсудим:

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

\({{M}_{1}}\left( 1,2,-1 \right),~{{M}_{2}}\left( -1,0,4 \right),~{{M}_{3}}\left( -2,-1,1 \right)\)

Ну что, давай теперь обсудим решение:

Составляем определитель:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x — 1}&{ — 2}&{ — 3}\\{y — 2}&{ — 2}&{ — 3}\\{z + 1}&5&2\end{array}} \right|\)

И вычисляем его значение:

\(\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x — 1}&{ — 2}&{ — 3}\\{y — 2}&{ — 2}&{ — 3}\\{z + 1}&5&2\end{array}} \right| = \\ =  — 4\left( {x — 1} \right) — 15\left( {y — 2} \right) + 6\left( {z + 1} \right) + 15\left( {x — 1} \right) + 4\left( {y — 2} \right) — 6\left( {z + 1} \right) = \\ = 11x — 11y + 11\end{array}\)

Тогда уравнение плоскости имеет вид:

\(11x-11y+11=0\)

Или же, сократив на \(11\), получим:

\(x-y+1=0\)

То есть, \(A=1,B=-1,C=0,D=1.\)

Теперь две задачи для самоконтроля:

  1. Построить уравнение плоскости, проходящей через три точки:
    \(K\left( 2,3,4 \right),~L\left( 6,-3,4 \right),~M\left( -4,6,-4 \right).\)
  2. Построить уравнение плоскости, проходящей через три точки:
    \(A\left( 5,-1,3 \right),~B\left( 2,2,0 \right),~C\left( -1,1,1 \right).\)

Ответы:

  1. \(6x+4y-3z-12=0\)
  2. \(y+z-2=0\)

Все совпало? Опять-таки, если есть определенные затруднения, то мой совет таков: берешь из головы три точки (с большой степенью вероятности они не будут лежать на одной прямой), строишь по ним плоскость. А потом проверяешь себя он-лайн. Например, на сайте:

http://www.webmath.ru/web/prog9_1.php

Однако при помощи определителей мы будем строить не только уравнение плоскости. Вспомни, я говорил тебе, что для векторов определено не только скалярное произведение. Есть еще векторное, а также смешанное произведение. И если скалярным произведением двух векторов и будет число, то векторным произведением двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будет вектор \(~\vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{b}\), причем данный вектор будет перпендикулярен к заданным:

Векторное произведение a и b

Причем его модуль будет равен площади параллелограмма, посторенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Данный вектор понадобится нам для вычисления расстояния от точки до прямой. Как же нам считать векторное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если их координаты заданы? На помощь к нам опять приходит определитель третьего порядка. Однако, прежде чем я перейду к алгоритму вычисления векторного произведения, я вынужден сделать небольшое лирическое отступление.

Данное отступление касается базисных векторов.

Базисными векторами в трехмерном пространстве называются три вектора:

\(\vec{i}\left( 1,0,0 \right),~\vec{j}\left( 0,1,0 \right),~\vec{k}\left( 0,0,1 \right)\)

Схематично они изображены на рисунке:

Базисными векторами в трехмерном пространстве называются три вектора

Как ты думаешь, а почему они называется базисными? Дело в том, что любой вектор в трехмерном пространстве можно представить через сумму трех базисных векторов:

\(\vec a\left( {x,y,z} \right) = x \cdot \vec i + y \cdot \vec j + z \cdot \vec k.\)

Или на картинке:

любой вектор в трехмерном пространстве можно представить через сумму трех базисных векторов

Справедливость этой формулы очевидна, ведь:

\(\begin{array}{l}x\cdot \vec{i}=\left( x,0,0 \right)\\y\cdot \vec{j}=\left( 0,y,0 \right)\\z\cdot \vec{k}=\left( 0,0,z \right)\end{array}\)

Тогда

\(\vec{a}\left( x,y,z \right)=x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}+z\cdot \vec{k}=\left( x,0,0 \right)+\left( 0,y,0 \right)+\left( 0,0,z \right)=\left( x,y,z \right)=\vec{a}.\)

Векторное произведение

Теперь я могу приступить ко введению векторного произведения:

Векторным произвдением двух векторов \(\vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right),~\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)\) называется вектор \(\vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{b}\), который вычисляется по следующему правилу:

\({\rm{}}\vec c = \vec a \cdot \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}} \right|\)

Теперь давай приведем несколько примеров вычисления векторного произведения:

Пример 1: Найти векторное произведение векторов:

\(\vec{a}\left( -1,2,-3 \right),~\vec{b}\left( 0,-4,1 \right)\)

Решение: составляю определитель:

\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ — 1}&2&{ — 3}\\0&{ — 4}&1\end{array}} \right|\)

И вычисляю его:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ — 1}&2&{ — 3}\\0&{ — 4}&1\end{array}} \right| = 2\vec i + 4\vec k — 12\vec i + \vec j =  — 10\vec i + \vec j + 4\vec k\)

Теперь от записи через базисные векторы, я вернусь к привычной записи вектора:

\(-10\vec{i}+\vec{j}+4\vec{k}=\left( -10,1,4 \right)\)

Таким образом:

\(\vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{c}\left( -10,1,4 \right)\)

Теперь попробуй найти векторное произведение следующих векторов: \(\vec{a}\left( 2,1,-3 \right),~\vec{b}\left( 0,-1,1 \right)\).

Готов? Проверяем:

\(\begin{array}{l}\vec a \cdot \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\2&1&{ — 3}\\0&{ — 1}&1\end{array}} \right| = \vec i — 2\vec k — 3\vec i — 2\vec j = \\ =  — 2\vec i — 2\vec j — 2\vec k = \left( { — 2, — 2, — 2} \right)\end{array}\)

И традиционно две задачи для контроля:

  1. Найти векторное произведение следующих векторов: \(\vec{a}\left( 1,-1,0 \right),~\vec{b}\left( 1,1,1 \right)\)
  2. Найти векторное произведение следующих векторов: \(\vec{a}\left( -1,2,2 \right),~\vec{b}\left( 0,4,1 \right)\)

Ответы:

  1. \(\left( -1,-1,2 \right)\)
  2. \(\left( -6,1,-4 \right)\)

Смешанное произведение трех векторов

Последняя конструкция, которая мне понадобится – это смешанное произведение трех векторов. Оно, как и скалярное, является числом. Есть два способа его вычисления. \(\displaystyle 1\) – через определитель, \(\displaystyle 2\) – через смешанное произведение.

А именно, пусть у нас даны три вектора:

\(\vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right),~\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right),~\vec{c}\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}},{{z}_{3}} \right)\), тогда смешанное произведение трех векторов, обозначаемое через \((\vec{a},\vec{b},\vec{c})\) можно вычислить как:

1. \(\left( \vec{a},\vec{b},\vec{c} \right)=\left( \vec{a},\vec{b}\cdot \vec{c} \right)\) – то есть смешанное произведение – это скалярное произведения вектора на векторное произведение двух других векторов

2. \(\left( {\vec a,\vec b,\vec c} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\{{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}}\end{array}} \right|\)

Например, смешанное произведение трех векторов \(\vec{a}\left( 2,3,5 \right),~\vec{b}\left( 1,4,4 \right),~\vec{c}\left( 3,5,7 \right)\) равно:

\(\left( {\vec a,\vec b,\vec c} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&5\\1&4&4\\3&5&7\end{array}} \right| =  — 4\)

Самостоятельно попробуй вычислить его через векторное произведение и убедись, что результаты совпадут!

И опять – два примера для самостоятельного решения:

  1. \(\vec{a}\left( 1,2,3 \right),~\vec{b}\left( 1,1,1 \right),~\vec{c}\left( 1,2,1 \right)\)
  2. \(\vec{a}\left( 1,2,3 \right),~\vec{b}\left( 1,-1,1 \right),~\vec{c}\left( 2,0,-1 \right)\)

Ответы:

  1. \(\displaystyle 2\)
  2. \(\displaystyle 1\)

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Выбор системы координат

Ну вот, теперь у нас есть весь необходимый фундамент знаний, чтобы решать сложные стереометрические задачи по геометрии. Однако прежде чем приступать непосредственно к примерам и алгоритмам их решения, я считаю, что будет полезно остановиться еще вот на каком вопросе: как именно выбирать систему координат для той или иной фигуры. Ведь именно выбор взаимного расположения системы координат и фигуры в пространстве в конечном счете определит, насколько громоздкими будут вычисления.

Я напомню, что в этом разделе мы рассматриваем следующие фигуры:

  1. Куб
  2. Прямоугольный параллелепипед
  3. Прямая призма (треугольная, шестиугольная…)
  4. Пирамида (треугольная, четырехугольная)
  5. Тетраэдр (одно и то же, что и треугольная пирамида)

Для каждой из фигур я дам практические рекомендации, как выбирать систему координат.

Прямоугольный параллелепипед и куб

Для прямоугольного параллелепипеда или куба я рекомендую тебе следующее построение:

Прямоугольный параллелепипед и куб

То есть фигуру я буду помещать «в угол». Куб и параллелепипед – это очень хорошие фигуры. Для них ты всегда без труда можешь найти координаты его вершин. Например, если \(AB=a,~BC=b,~B{{B}_{1}}=c\) (как показано на рисунке)

Прямоугольный параллелепипед и куб рис. 2

то координаты вершин следующие:

\(A\left( b,0,0 \right),~B\left( b,a,0 \right),~C\left( 0,a,0 \right),~D\left( 0,0,0 \right),\)

\(~{{A}_{1}}\left( b,0,c \right),~{{B}_{1}}\left( b,a,c \right),~{{C}_{1}}\left( 0,a,c \right),~{{D}_{1}}\left( 0,0,c \right)\)

Запоминать это, конечно, не нужно, однако помнить, как лучше располагать куб или прямоугольный параллелепипед – желательно.

Прямая призма

Призма – более вредная фигура. Располагать ее в пространстве можно по-разному. Однако мне наиболее приемлемым кажется следующий вариант:

Треугольная призма:

Для треугольной призмы

То есть одну из сторон треугольника мы целиком кладем на ось \(Oy\), причем одна из вершин совпадает с началом координат.

Шестиугольная призма:

Для шестиугольной призмы

То есть одна из вершин совпадает с началом координат, и одна из сторон лежит на оси \(Oy\).

Четырехугольная и шестиугольная пирамида:

Для четырехугольной пирамиды

Ситуация, аналогичная кубу: две стороны основания совмещаем с осями координат, одну из вершин совмещаем с началом координат. Единственной небольшой сложностью будет рассчитать координаты точки \(S\).

Для шестиугольной пирамиды – аналогично, как для шестиугольной призмы. Основная задача опять-таки будет в поиске координат вершины.

Для шестиугольной пирамиды

Тетраэдр (треугольная пирамида)

Для тетраэдра

Ситуация очень похожа на ту, которую я привел для треугольной призмы: одна вершина совпадает с началом координат, одна сторона лежит на координатной оси.

Ну что, теперь мы с тобой, наконец, близки к тому, чтобы приступить к решению задач. Из сказанного мною в самом начале статьи, ты мог сделать вот какой вывод: большинство задач C2 делятся на 2 категории: задачи на угол и задачи на расстояние. Вначале мы с тобой рассмотрим задачи на нахождение угла. Они в свою очередь делятся на следующие категории (по мере увеличения сложности):

Задачи на поиск углов

  1. Нахождение угла между двумя прямыми
  2. Нахождение угла между прямой и плоскостью
  3. Нахождение угла между двумя плоскостями

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Угол между двумя прямыми

Давай будем рассматривать эти задачи последовательно: начнем с нахождения угла между двумя прямыми. Ну-ка вспомни, а не решали ли мы с тобой подобные примеры раньше? Припоминаешь, ведь у нас уже было что-то подобное… Мы искали угол между двумя векторами. Я напомню тебе, если даны два вектора: \(\vec{a}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)\) и \(\vec{b}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)\), то угол между ними находится из соотношения:

\(cos\overset{}{\widehat{\vec{a},~\vec{b}}}\,=\frac{\left( \vec{a},~\vec{b} \right)}{\left| {\vec{a}} \right|\left| {\vec{b}} \right|}=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}\)

Теперь же у нас стоит цель – нахождение угла между двумя прямыми. Давай обратимся к «плоской картинке»:

Угол между двумя прямыми

Сколько у нас получилось углов при пересечении двух прямых? Аж \(\displaystyle 4\) штуки. Правда не равных из них только два, другие же являются вертикальными к ним (а потому с ними совпадают). Так какой же угол нам считать углом между двумя прямыми: \(\varphi \) или \(\alpha \)? Здесь правило такое: угол между двумя прямыми всегда не более чем \(\mathbf{90}\) градусов. То есть из двух углов мы всегда будем выбирать угол с наименьшей градусной мерой. То есть на данной картинке угол между двумя прямыми равен \(\varphi \). Чтобы каждый раз не заморачиваться с поиском наименьшего из двух углов, хитрые математики предложили использовать модуль. Таким образом угол \(\varphi \) между двумя прямыми определяется по формуле:

\(cos\varphi =\frac{\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}\) (1)

У тебя, как у внимательного читателя, должен был возникнуть вопрос: а откуда, собственно, мы возьмем эти самые числа, которые нам нужны для вычисления косинуса угла? Ответ: мы будем брать их из направляющих векторов прямых! Таким образом, алгоритм нахождения угла между двумя прямыми выглядит следующим образом:

  1. Ищем координаты направляющего вектора первой прямой
  2. Ищем координаты направляющего вектора второй прямой
  3. Применяем формулу 1.

Или более подробно:

  1. Ищем координаты направляющего вектора первой прямой
  2. Ищем координаты направляющего вектора второй прямой
  3. Вычисляем модуль их скалярного произведения
  4. Ищем длину первого вектора
  5. Ищем длину второго вектора
  6. Умножаем результаты пункта 4 на результаты пункта 5
  7. Делим результат пункта 3 на результат пункта 6. Получаем косинус угла между прямыми
  8. Если данный результат позволяет в точности вычислить угол, ищем его
  9. Иначе пишем через арккосинус

Ну что, теперь самое время перейти к задачам: решение первых двух я продемонстрирую подробно, решение еще одной я представлю в кратком виде, а к последним двум задачам я лишь дам ответы, все выкладки к ним ты должен провести сам.

Задачи:

1. В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре \(\displaystyle ABCD\) най­ди­те угол между вы­со­той тет­ра­эд­ра \(\displaystyle DH\) и ме­ди­а­ной \(\displaystyle BM\) бо­ко­вой грани \(\displaystyle BAD\).

2. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де \(\displaystyle SABCDEF\) сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны \(\displaystyle 1\), а бо­ко­вые ребра равны \(\displaystyle 2\), най­ди­те угол между пря­мы­ми \(\displaystyle SB\) и \(\displaystyle CD\).

3. Длины всех ребер пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды \(\displaystyle PABCD\) равны между собой. Най­ди­те угол между пря­мы­ми \(\displaystyle PH\) и \(\displaystyle BM\) если от­ре­зок \(\displaystyle PH\) — вы­со­та дан­ной пи­ра­ми­ды, точка \(\displaystyle M\) — се­ре­ди­на ее бо­ко­во­го ребра \(\displaystyle AP\)

4. На ребре \(C{{C}_{1}}\) куба \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) от­ме­че­на точка \(\displaystyle E\) так, что \(CE:E{{C}_{1}}=1:2.~\) Най­ди­те угол  между пря­мы­ми \(BE\) и \(A{{C}_{1}}.\)

5. Точка \(\displaystyle E\) — се­ре­ди­на ребра \(C{{C}_{1}}\) куба \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.\) Най­ди­те угол между пря­мы­ми \(BE\) и \({{B}_{1}}D\).

Я неслучайно расположил задачи в таком порядке. Пока ты еще не успел начать ориентироваться в методе координат, я сам разберу наиболее «проблемные» фигуры, а тебе предоставлю разобраться с простейшим кубом! Постепенно тебе предстоит научиться работать со всеми фигурами, сложность задач я буду увеличивать от теме к теме.

Приступаем к решению задач:

1. Рисуем тетраэдр, помещаем его в систему координат так, как я предлагал ранее. Поскольку тетраэд правильный – то все его грани (включая основание) – правильные треугольники. Поскольку нам не дана длина стороны, то я могу принять ее равной \(1\). Я думаю, ты понимаешь, что угол на самом деле не будет зависеть от того, насколько наш тетраэдр будет «растянут»?. Также проведу в тетраэдре высоту и медиану \(\displaystyle BM\). Попутно я нарисую его основание (оно нам тоже пригодится).

Най­ди­те угол между пря­мы­ми

Мне нужно найти угол между \(\displaystyle DH\) и \(\displaystyle BM\). Что нам известно? Нам известна только координата точки \(\displaystyle B\). Значит, надо найти еще координаты точек \(\displaystyle D,H,M\). Теперь думаем: точка \(\displaystyle H\) – это точка пересечения высот (или биссектрисс или медиан) треугольника \(\displaystyle ABC\). А точка \(\displaystyle D\) – это приподнятая точка \(\displaystyle H\). Точка же \(\displaystyle M\) – это середина отрезка \(\displaystyle AD\). Тогда окончательно нам надо найти: координаты точек: \(\displaystyle A,D,H,M\).

Начнем с самого простого: координаты точки \(\displaystyle A\). Смотри на рисунок: Ясно, что аппликата точки \(\displaystyle A\) равна нулю (точка лежит на плоскости \(\displaystyle Oxy\)). Её ордината равна \(\displaystyle 0,5\) (так как \(\displaystyle AK\) – медиана). Сложнее найти ее абсциссу. Однако это легко делается на основании теоремы Пифагора: Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BAS\). Его гипотенуза \(\displaystyle BA\) равна \(\displaystyle 1\), а один из катетов \(\displaystyle AS\) равен \(\displaystyle 0,5\) Тогда:

\(BS=\sqrt{B{{A}^{2}}-A{{S}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Окончательно имеем: \(A\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right)\).

Теперь найдем координаты точки \(\displaystyle H\). Ясно, что ее аппликата опять равна нулю, а ее ордината такая же, как у точки \(\displaystyle A\), то есть \(0,5\). Найдем ее абсциссу. Это делается достаточно трививально, если помнить, что высоты равностороннего треугольника точкой пересечения делятся в пропорции \(\displaystyle \mathbf{2}:\mathbf{1}\), считая от вершины. Так как: \(AK=BS=\frac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая абсцисса точки, равная длине отрезка \(\displaystyle KH\), равна: \(KH=\frac{AK}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\). Таким образом, координаты точки \(\displaystyle H\) равны:

\(H\left( \frac{\sqrt{3}}{6},\frac{1}{2},0 \right).\)

Найдем координаты точки \(\displaystyle D\). Ясно, что ее абсцисса и ордината совпадают с абсциссой и ординатой точки \(\displaystyle H\). А аппликата равна длине отрезка \(\displaystyle DH\). \(\displaystyle DH\) – это один из катетов треугольника \(\displaystyle DAH\). Гипотенуза треугольника \(\displaystyle DAH\) – это отрезок \(AD=AB=1.\) \(\displaystyle AH\) – катет. Он ищется из соображений, которые я выделил жирным шрифтом:

\(AH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Тогда:

\(DH=\sqrt{1-{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Отсюда:

\(D\left( \frac{\sqrt{3}}{6},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{2}{3}} \right).\)

Точка \(M\) – это середина отрезка \(AD\). Тогда нам нужно вспомнить формулу координат середины отрезка:

\(M\left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}}{2},~\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{2},\frac{0+\sqrt{\frac{2}{3}}}{2} \right)=M\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{6}} \right).~\)

Ну все, теперь мы можем искать координаты направляющих векторов:

\(\overrightarrow{BM}\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{6}} \right)\)

\(\overrightarrow{DH}\left( 0,0,-\sqrt{\frac{2}{3}} \right)\)

Ну что, все готово: подставляем все данные в формулу:

\(cos\varphi =\frac{\left| \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \left( -\sqrt{\frac{2}{3}} \right) \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left( -\sqrt{\frac{2}{3}} \right)}^{2}}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{36}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{54}}}=\frac{\sqrt{54}}{3\sqrt{19}}=\sqrt{\frac{6}{19}}\)

Таким образом, \(\varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Ответ: \(\varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Тебя не должны пугать такие «страшные» ответы: для задач С2 это обычная практика. Я бы скорее удивился «красивому» ответу в этой части. Также, как ты заметил, я практически не прибегал ни к чему, кроме как к теореме Пифагора и свойству высот равностороннего треугольника. То есть для решения стереометрической задачи я использовал самый минимум стереометрии. Выигрыш в этом частично «гасится» достаточно громоздкими вычислениями. Зато они достаточно алгоритмичны!

2. Изобразим правильную шестиугольную пирамиду вместе с системой координат, а также ее основание:

Найти угол между прямыми SB и CD

Нам нужно найти угол между прямыми \(\displaystyle SB\) и \(\displaystyle CD\). Таким образом, наша задача сводится к поиску координат точек: \(\displaystyle S,B,C,D\). Координаты последних трех мы найдем по маленькому рисунку, а коодинату вершины \(\displaystyle S\) найдем через координату точки \(\displaystyle O\). Работы навалом, но надо к ней приступать!

a) Координата \(\displaystyle D\): ясно, что ее аппликата и ордината равны нулю. Найдем абсциссу. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle EDP\). Увы, в нем нам известна только гипотенуза, которая равна \(\displaystyle 1\). Катет \(\displaystyle DP\) мы будем стараться отыскать (ибо ясно, что удвоенная длина катета \(\displaystyle DP\) даст нам абсциссу точки \(\displaystyle D\)). Как же нам ее искать? Давай вспомним, что за фигура у нас лежит в основании пирамиды? Это правильный шестиугольник. А что это значит? Это значит, что у него все стороны и все углы равны. Надо бы найти один такой угол. Есть идеи? Идей масса, но есть формула:

Сумма углов правильного n-угольника равна \(\left( n-2 \right)\cdot 180{}^\circ \).

Таким образом, сумма углов правильного шестиугольника равна \(\displaystyle 720\) градусов. Тогда каждый из углов равен:

\(\frac{720{}^\circ }{6}=120{}^\circ \)

Вновь смотрим на картинку. Ясно, что отрезок \(\displaystyle EB\) – биссектрисса угла \(\displaystyle DEF\). Тогда угол \(\displaystyle DEP\) равен \(\displaystyle 60\) градусам. Тогда:

\(sin60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DP}{ED}=\frac{DP}{1}=DP\)

Тогда \(DP=\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(DF=2DP=\sqrt{3}\).

Таким образом, \(\displaystyle D\) имеет координаты \(D\left( \sqrt{3},0,0 \right)\)

b) Теперь легко найдем координату точки \(C\): \(C\left( \sqrt{3},1,0 \right)\).

c) Найдем координаты точки \(\displaystyle B\). Так как ее абсцисса совпадает с длиной отрезка \(FP\) то она равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Найти ординату тоже не очень сложно: если мы соединим точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle A\) а точку пересечения прямой \(\displaystyle AC\) обозначим, скажем за \(\displaystyle M\). (сделай сам несложное построение). Тогда \(BM=EP.\) Таким образом, ордината точки B равна сумме длин отрезков \(PM+MB\). Вновь обратимся к треугольнику \(\displaystyle DEP\). Тогда

\(\frac{1}{2}=cos60{}^\circ =\frac{EP}{ED}=EP\)

Тогда так как \(PM=DC=1,~mo~PB=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.\) Тогда точка \(B\) имеет координаты \(B\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},0 \right).\)

d) Теперь найдем координаты точки \(\displaystyle O\). Рассмотри прямоугольник \(\displaystyle ACDF\) и докажи, что \(PO=\frac{1}{2}.\) Таким образом, координаты точки \(\displaystyle O\): \(O\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right).\)

e) Осталось найти координаты вершины \(S\). Ясно, что ее абсцисса и ордината совпадает с абсциссой и ординатой точки \(O\). Найдем аппликату. Так как \(FC=EB=2\), то \(OF=1\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle OFS\). По условию задачи боковое ребро \(FS=2\). Это гипотенуза моего треугольника. Тогда высота пирамиды \(\displaystyle OS\) – катет.

\(OS=\sqrt{F{{S}^{2}}-O{{F}^{2}}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\)

Тогда точка \(S\) имеет координаты: \(S\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\sqrt{3} \right).\)

Ну все, у меня есть координаты всех интересующих меня точек. Ищу координаты направляющих векторов прямых:

\(\overrightarrow{SB}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}-\frac{3}{2},\sqrt{3}-0 \right)=\overrightarrow{SB}\left( 0,-1,\sqrt{3} \right).\)

\(\overrightarrow{CD}\left( \sqrt{3}-\sqrt{3},0-1,0 \right)=\overrightarrow{CD}\left( 0,-1,0 \right).\)

Ищем угол между этими векторами:

\(cos\varphi =\frac{\left| 0+\left( -1 \right)\cdot \left( -1 \right)+\sqrt{3}\cdot 0 \right|}{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{2}\)

Тогда \(\varphi =\arccos \left( \frac{1}{2} \right)=60{}^\circ \)

Ответ: \(60{}^\circ \)

Опять-таки, при решении этой задачи я не использовал никаких изошренных приемов, кроме формулы суммы углов правильного n-угольника, а также определения косинуса и синуса прямоугольного треугольника.

3. Поскольку нам опять не даны длины ребер в пирамиде, то я буду считать их равными единице. Таким образом, поскольку ВСЕ ребра, а не только боковые, равны между собой, то в основании пирамиды и меня лежит квадрат, а боковые грани – правильные треугольники. Изобразим такую пирамиду, а также ее основание на плоскости, отметив все данные, приведенные в тексте задачи:

Найти угол между BM и PH

Ищем угол между \(\displaystyle BM\) и \(\displaystyle PH\). Я буду делать очень краткие выкладки, когда буду заниматься поиском координат точек. Тебе необходимо будет «расшифровать» их:

a) \(B\left( 0,1,0 \right)\)

b) \(\displaystyle H\) – середина отрезка \(\displaystyle AC\). Её координаты:

\(H\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0 \right)\)

c) Длину отрезка \(\displaystyle AH\) я найду по теореме Пифагора в треугольнике \(\displaystyle AHD\). \(AH=\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Найду \(\displaystyle PH\) по теореме Пифагора в треугольнике \(\displaystyle AHP\).

\(PH=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Координаты \(P\): \(P\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}} \right).\)

d) \(M\) – середина отрезка \(AP\). Ее координаты равны \(M\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2\sqrt{2}} \right).\)

e) Координаты вектора \(\overrightarrow{PH}:~\overrightarrow{PH}\left( 0,0,-\frac{1}{\sqrt{2}} \right).~\)

f) Координаты вектора \(\overrightarrow{BM}:~\overrightarrow{BM}\left( \frac{1}{4},-\frac{3}{4},\frac{1}{2\sqrt{2}} \right).\)

g) Ищем угол: \(cos\varphi =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)

h) Ответ: \(arccos\frac{1}{\sqrt{6}}\)

Куб – простейшая фигура. Я уверен, что с ней ты разберешься самостоятельно. Ответы к задачам 4 и 5 следующие:

4. \(arccos\frac{4}{\sqrt{30}}\)

5. \(arccos\frac{1}{\sqrt{15}}\)

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Ну что, время простых задачек окончено! Теперь примеры будут еще сложнее. Для отыскания угла между прямой и плоскостью мы будем поступать следующим образом:

  1. По трем точкам строим уравнение плоскости
    \(Ax+By+Cz+D=0\),
    используя определитель третьего порядка.
  2. По двум точкам ищем координаты направляющего вектора прямой:
    \(\vec{s}\left( l,m,n \right)\)
  3. Применяем формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью:
    \(sin\varphi =\frac{\left| Al+Bm+Cn \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}~}\cdot \sqrt{{{l}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\)

Как видишь, эта формула очень похожа на ту, что мы применяли для поиска углов между двумя прямыми. Структура правой части просто одинакова, а слева мы теперь ищем синус, а не косинус, как раньше. Ну и добавилось одно противное действие – поиск уравнения плоскости.

Не будем откладывать в долгий ящик решение примеров:

1. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы \(ABC{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник \(ABC,~AB=AC=5,~BC=8.\) Вы­со­та приз­мы равна \(\displaystyle 3\). Най­ди­те угол между пря­мой \({{A}_{1}}B\) и плос­ко­стью \(BC{{C}_{1}}\)

2. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) из­вест­ны \(AB=2,AD=A{{A}_{1}}=1.\) Най­ди­те угол между пря­мой \(A{{B}_{1}}\) и плос­ко­стью \(AB{{C}_{1}}\)

3. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ный приз­ме \(ABCDEF{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}{{F}_{1}}\) все ребра равны \(1\). Най­ди­те угол между пря­мой \(A{{C}_{1}}\) и плос­ко­стью \(AC{{D}_{1}}\).

4. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де \(SABC\) с ос­но­ва­ни­ем \(\displaystyle ABC\) из­вест­ны ребра \(AB=7\sqrt{3},SC=25.\) Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер \(AS\) и \(BC.\)

5. Длины всех ребер пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды \(\displaystyle PABCD\) с вер­ши­ной \(\displaystyle P\) равны между собой. Най­ди­те угол между пря­мой \(\displaystyle BM\) и плос­ко­стью \(\displaystyle BDP\), если точка \(\displaystyle M\) — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды \(\displaystyle AP\).

Опять я решу первые две задачи подробно, третью – кратко, а последние две оставляю тебе для самостоятельного решения. К тому же тебе уже приходилось иметь дело с треугольной и четырехугольной пирамидами, а вот с призмами – пока что нет.

Решения:

1. Изобразим призму, а также ее основание. Совместим ее с системой координат и отметим все данные, которые даны в условии задачи:

940zh-28

Извиняюсь за некоторое несоблюдение пропорций, но для решения задачи это, по сути, не так важно. Плоскость \(BC{{C}_{1}}\) – это просто «задняя стенка» моей призмы. Достаточно просто догадаться, что уравнение такой плоскости имеет вид:

\(x=0\)

Однако, это можно показать и непосредственно:

Выберем произвольные три точки на этой плоскости: например, \(B\left( 0,0,0 \right),~C\left( 0,8,0 \right),~{{B}_{1}}\left( 0,0,3 \right)\).

Составим уравнение плоскости:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&0&0\\y&8&0\\z&0&3\end{array}} \right| = 0\)

Упражнение тебе: самостоятельно вычислить этот определитель. У тебя получилось \(24x\)? Тогда уравение плоскости имеет вид:

\(24x=0\)

Или просто

\(x=0\)

Таким образом, \(A=1,B=0,C=0,D=0.\)

Для решения примера мне нужно найти координаты направляющего вектора прямой \(B{{A}_{1}}\). Так как точка \(B\) cовпала с началом координат, то координаты вектора \(\overrightarrow{B{{A}_{1}}}\) просто совпадут с координатами точки \({{A}_{1}}.\) Для этого найдем вначале координаты точки \(\displaystyle A\).

Для этого рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC\). Проведем высоту (она же – медиана и биссектрисса) из вершины \(\displaystyle A\). Так как \(BC=8\), то ордината точки \(\displaystyle A\) равна \(\displaystyle 4\). Для того, чтобы найти абсциссу этой точки, нам нужно вычислить длину отрезка \(\displaystyle AT\). По теореме Пифагора имеем:

\(AT=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{T}^{2}}}=\sqrt{25-16}=3.\)

Тогда точка \(\displaystyle A\) имеет координаты:

\(A\left( 3,4,0 \right)\)

Точка \({{A}_{1}}\)– это «приподнятая» на \(\displaystyle 3\) точка \(\displaystyle A\):

\({{A}_{1}}\left( 3,4,3 \right)\)

Тогда координаты вектора \(\overrightarrow{B{{A}_{1}}}\):

\(\overrightarrow{B{{A}_{1}}}\left( 3,4,3 \right).\)

\(sin\varphi =\frac{\left| 3\cdot 1+4\cdot 0+3\cdot 0 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{0}^{2}}}\cdot \sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{34}}.\)

\(\varphi =arcsin\frac{3}{\sqrt{34}}.\)

Ответ: \(arcsin\frac{3}{\sqrt{34}}.\)

Как видишь, ничего принципиально сложного при решении таких задач нет. На самом деле процесс еще немного упрощает «прямота» такой фигуры, как призма. Теперь давай перейдем к следующему примеру:

2. Рисуем параллелепипед, проводим в нем плоскость и прямую, а также отдельно вычерчиваем его нижнее основание:

940zh-29

Вначале найдем уравнение плоскости: Координаты трех точек, лежащих в ней:

\(A\left( 0,0,0 \right),~B\left( 0,2,0 \right),{{C}_{1}}\left( 1,2,1 \right)\) (первые две координаты получены очевидным способом, а последнюю координату ты легко найдешь по картинке из точки \(C\)). Тогда составляем уравнение плоскости:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&0&1\\y&2&2\\z&0&1\end{array}} \right| = 0\)

Вычисляем:

\(2x-2z=0,~x-z=0\)

Тогда \(A=1,B=0,C=-1,D=0.\)

Ищем координаты направляющего вектора \(\overrightarrow{A{{B}_{1}}}\): Ясно, что его координаты совпадают с координатами точки \({{B}_{1}}\), не правда ли? Как найти координаты \({{B}_{1}}\)? Это же координаты точки \(B\), приподнятые по оси аппликат на единицу! \({{B}_{1}}\left( 0,2,1 \right)\). Тогда \(\overrightarrow{A{{B}_{1}}}\left( 0,2,1 \right).\) Ищем искомый угол:

\(sin\varphi =\frac{\left| 1\cdot 0+0\cdot 2+\left( -1 \right)\cdot 1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}~}\cdot \sqrt{0+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\)

\(~\varphi =arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}.\)

Ответ: \(arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}.\)

3. Рисуем правильную шестиугольную пирамиду, а затем проводим в ней плоскость и прямую.

940zh-30

Тут даже плоскость нарисовать проблемно, не говоря уже о решении этой задачи, однако методу координат все равно! Именно в его универсальности и заключается его основное преимущество!

Плоскость проходит через три точки: \(A,C,{{D}_{1}}\). Ищем их координаты:

1) \(A\left( 0,0,0 \right),~\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},0 \right),\ {{D}_{1}}\left( \sqrt{3},1,1 \right)\). Сам выведи координаты для последних двух точек. Тебе пригодится для этого решение задачи с шестиугольной пирамидой!

2) Строим уравнение плоскости:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\sqrt 3 }\\y&{\frac{3}{2}}&1\\z&0&1\end{array}} \right| = 0\)

\(-\sqrt{3}x+y+2z=0\)

\(A=-\sqrt{3},B=1,C=2,D=0.\)

Ищем координаты вектора \(\overrightarrow{A{{C}_{1}}}\): \(\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{A{{C}_{1}}}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},1 \right)\). (снова смотри задачу с треугольной пирамидой!)

3) Ищем угол:

\(sin\varphi =\frac{\left| -\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}+2 \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}~}\cdot \sqrt{{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{2}{2\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\)

Ответ: \(arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}.\)

Как видишь, ничего сверхъестественно сложного в этих задачах нет. Нужно лишь быть очень внимательным с корнями. К последним двум задачам я дам лишь ответы:

4. \(\text{arcsin}\frac{12}{\sqrt{193}}~\)

5. \(\text{arcsin}\frac{1}{\sqrt{6}}~\)

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Как ты мог убедиться, техника решения задач везде одинаковая: основная задача найти координаты вершин и подставить их в некие формулы. Нам осталось рассмотреть еще один класс задач на вычисление углов, а именно:

Вычисление углов между двумя плоскостями

Алгоритм решения будет таков:

  1. По трем точкам ищем уравнение первой плоскости:
    \({{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0\)
  2. По другим трем точкам ищем уравнение второй плоскости:
    \({{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0\)
  3. Применяем формулу:
    \(cos\varphi =\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}~ \right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\)

Как видишь, формула очень похожа на две предыдущие, при помощи которых мы искали углы между прямыми и между прямой и плоскостью. Так что запомнить эту тебе не составит особого труда. Сразу переходим к разбору задач:

1. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы \(ABC{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) равна \(2\), а диа­го­наль бо­ко­вой грани равна \(\sqrt{5}\). Най­ди­те угол между плос­ко­стью \({{A}_{1}}BC\) и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

2. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де \(\displaystyle SABCD\), все ребра ко­то­рой равны \(\displaystyle 1\), най­ди­те синус угла между плос­ко­стью \(\displaystyle SAD\) и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку \(\displaystyle A\) пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой \(\displaystyle BD\).

3. В правильной че­ты­рех­уголь­ной призме \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны \(\displaystyle 1\), а бо­ко­вые ребра равны \(\displaystyle 5\). На ребре \(A{{A}_{1}}\) от­ме­че­на точка \(\displaystyle E\) так, что \(AE:E{{A}_{1}}=2:3\). Найдите угол между плос­ко­стя­ми \(ABC\) и \(BE{{D}_{1}}.\)

4. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны \(2\), а бо­ко­вые рёбра равны \(3\). На ребре \(A{{A}_{1}}\) от­ме­че­на точка \(E\) так, что \(AE:E{{A}_{1}}=1:2.~\) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми \(ABC\) и \(BE{{D}_{1}}\).

5. В кубе \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми \(B{{A}_{1}}{{C}_{1}}\) и \(B{{A}_{1}}{{D}_{1}}.\)

Решения задач:

1. Рисую правильную (в основании – равносторонний треугольник) треугольную призму и отмечаю на ней плоскости, которые фигурируют в условии задачи:

940zh-31

Нам нужно найти уравнения двух плоскостей: \(ABC~и~BC{{A}_{1}}.\)  Уравнение основания получается тривиально: ты можешь составить соответствующий определитель по трем точкам, я же составлю уравнение сразу:

\(z=0.\)

То есть:

\({{A}_{1}}=0,\ {{B}_{1}}=0,\ {{C}_{1}}=1,\ {{D}_{1}}=0.\)

Теперь найдем уравнение \(BC{{A}_{1}}.\) Точка \(B\) имеет координаты \(B\left( 0,0,0 \right).\) Точка \(C\) –  \(C\left( 0,1,0 \right).\) Так как \(AO\) – медиана и высота треугольника \(ABC\), то \(BO=OC=1.\) \(AO\) легко находится по теореме Пифагора в треугольнике \(BAO:\) \(AO=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\). Тогда точка \(A\) имеет координаты: \(A\left( \sqrt{3},1,0 \right).\) Найдем аппликату точки \({{A}_{1}}.\) Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \({{A}_{1}}AC.~\)

\(A{{A}_{1}}=\sqrt{{{A}_{1}}{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=1.\)

Тогда получаем вот такие координаты: \({{A}_{1}}\left( \sqrt{3},1,1 \right).\) Cоставляем уравнение плоскости \(BC{{A}_{1}}\).

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&0&{\sqrt 3 }\\y&1&1\\z&0&1\end{array}} \right| = 0.\)

\(x+\sqrt{3}z-\sqrt{3}z-\sqrt{3}y=0\)

\(x-\sqrt{3}z=0\)

Тогда

\({{A}_{2}}=1,\ {{B}_{2}}=0,\ {{C}_{2}}=-\sqrt{3},\ {{D}_{2}}=0.\)

Вычисляем угол между плоскостями:

\(cos\varphi =\frac{\left| -\sqrt{3} \right|}{\sqrt{1+{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Отсюда

\(\varphi =30{}^\circ .\)

Ответ: \(30{}^\circ .\)

2. Делаем рисунок:

940zh-32

Самое сложное – это понять, что это такая за таинственная плоскость, проходящая через точку \(A\) перпендикулярно \(DB\). Ну что же, главное, это что? Главное – это внимательность! В самом деле, прямая \(AC\) перпендикулярна \(BD\). Прямая \(OS\) также перпендикулярна \(BD\). Тогда плоскость, проходящая через эти две прямые, будет перпендикулярна прямой \(BD\), и, кстати, проходить через точку \(A\). Эта плоскость также проходит через вершину пирамиды. Тогда искомая плоскость – \(SAC.\) А плоскость \(SAD\) нам уже дана. Ищем координаты точек \(\displaystyle S,A,C,D\).

  1. \(\displaystyle A\left( 0,1,0 \right)\)
  2. \(\displaystyle C\left( 1,0,0 \right)\)
  3. \(\displaystyle D\left( 0,0,0 \right)\)

Координату точки \(S\) найдем через точку \(O\). Из маленького рисунка легко вывести, что координаты у точки \(O\) будут такие: \(O\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0 \right).~\) Что теперь осталось найти, чтобы найти координаты вершины пирамиды? Еще нужно вычислить ее высоту. Это делается при помощи все той же теоремы Пифагора: вначале докажи, что \(OB=\frac{\sqrt{2}}{2}\) (тривиально из маленьких треугольничков, образующих квадрат в основании). Так как по условию \(SB=1\), то имеем:

\(OS=\sqrt{1-{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

Теперь все готово: координаты вершины:

\(S\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}} \right).~\)

Составляем уравнение плоскости \(\displaystyle DAS\):

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&0&{\frac{1}{2}}\\y&1&{\frac{1}{2}}\\z&0&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right| = 0\)

Ты уже спец в вычислении определителей. Без труда ты получишь:

\(\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{2}z=0\)

Или иначе (если домножим обе части на корень из двух)

\(x-\frac{1}{\sqrt{2}}z=0.\)

Теперь найдем уравнение плоскости \(\displaystyle SAC\):

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x — 1}&{ — 1}&{ — \frac{1}{2}}\\y&1&{\frac{1}{2}}\\z&0&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right| = 0\)

(ты ведь не забыл, как мы получаем уравнение плоскости, правда? Если ты не понял, откуда взялась эта минус единица, то вернись к определению уравнения плоскости! Просто всегда до этого оказывалось так, что моей плоскости принадлежало начало координат!)

Вычисляем определитель:

\(\begin{array}{l}\frac{x-1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}z+\frac{y}{\sqrt{2}}=0\\\frac{x-1}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=0\\x+y-1=0\end{array}\).

(Ты можешь заметить, что уравнение плоскости совпало с уравнением прямой, проходящей через точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\)! Подумай, почему!)

Теперь вычисляем угол:

\(cos\varphi =\frac{\left| 1+1\cdot 0-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0 \right|}{\sqrt{1+{{\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}~~}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Нам же нужно найти синус:

\(sin\varphi =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\varphi }=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\).

Ответ: \(\sqrt{\frac{2}{3}}.\)

3. Каверзный вопрос: а что такое прямоугольная призма, как ты думаешь? Это же всего-то навсего хорошо известный тебе параллелепипед! Сразу же делаем чертеж! Можно даже отдельно не изображать основание, пользы от него здесь немного:

940zh-33

Плоскость \(ABC\), как мы уже раньше заметили, записывается в виде уравнения:

\(z=0.\)

Теперь составляем плоскость \(BE{{D}_{1}}.\)

\(B\left( 0,0,0 \right),~E\left( 1,0,2 \right),~{{D}_{1}}\left( 1,1,5 \right).\)

Cразу же составляем уравнение плоскости:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&1&1\\y&0&1\\z&2&5\end{array}} \right| = 0\)

\(\begin{array}{l}2y+z-2x-5y=0\\-2x-3y+z=0\\2x+3y-z=0\end{array}\)

Ищем угол:

\(cos\varphi =\frac{1}{\sqrt{4+9+1}}=\frac{1}{\sqrt{14}}\)

Ответ: \(\arccos \frac{1}{\sqrt{14}}~~\)

Теперь ответы к последним двум задачам:

4. \(arccos\frac{2}{3}\)

5. \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Ну что же, теперь самое время немного передохнуть, ведь мы с тобой молодцы и проделали огромную работу!

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий