Координаты и векторы. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В этой статье мы обсудим с тобой еще один класс задач, которые можно решать при помощи метода координат: задачи на вычисление расстояния. А именно, мы с тобой рассмотрим следующие случаи:

  1. Вычисление расстояния от точки до плоскости
  2. Вычисление расстояния от прямой до плоскости
  3. Вычисление расстояния точки до прямой
  4. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.

Я упорядочил данные задания по мере увеличения их сложности. Наиболее просто оказывается найти расстояние от точки до плоскости, а самое сложное – найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Хотя, конечно, нет ничего невозможного! Давай не будем откладывать в долгий ящик и сразу приступим к рассмотрению первого класса задач:

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Что нам потребуется для решения этой задачи?

1. Координаты точки \(M\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right).\)

2. Уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D=0.\)

Итак, как только мы получим все необходимые данные, то применяем формулу:

\(d=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\)

Как мы строим уравнение плоскости тебе уже должно быть известно из предыдущих задач, которые я разбирал в прошлой части. Давай сразу приступим к задачам. Схема следующая: 1, 2 –я помогаю тебе решать, причем довольно подробно, 3, 4 – только ответ, решение ты проводишь сам и сравниваешь. Начали!

Задачи:

1. Дан куб \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\). Длина ребра куба равна \(1\). Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка \(B{{C}_{1}}\) до плос­ко­сти \(A{{B}_{1}}{{D}_{1}}.\)

2. Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да \(SABCD\) Бо­ко­вое ребро \(SA=\sqrt{5},~\) сто­ро­на ос­но­ва­ния равна \(2\). Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки \(B\) до плос­ко­сти \(ADM\) где \(M\) — се­ре­ди­на ребра \(SC\).

3. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де \(SABC\) с ос­но­ва­ни­ем \(ABC~\) бо­ко­вое ребро равно \(5\), а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна \(6\). Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны \(A\) до плос­ко­сти \(SBC\).

4. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме \(ABCDEF{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}{{F}_{1}}\) все рёбра равны \(1\). Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки \(B\) до плос­ко­сти \(DE{{A}_{1}}\).

Решения:

1. Рисуем кубик с единичными ребрами, строим отрезок и плоскость, середину отрезка \(B{{C}_{1}}\) обозначим буквой \(M\)Расстояние от середины отрезка до плоскости.

Вначале давай начнем с легкого: найдем координаты точки \(\displaystyle M\). Так как \(\displaystyle B\left( 0,1,0 \right),~{{C}_{1}}\left( 1,1,1 \right),~\) то \(\displaystyle M\left( \frac{1}{2},1,\frac{1}{2} \right).\) (вспомни координаты середины отрезка!)

Теперь составляем уравнение плоскости по трем точкам \(\displaystyle A\left( 0,0,0 \right),~{{B}_{1}}\left( 0,1,1 \right),~{{D}_{1}}\left( 1,0,1 \right).\)

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end{array}} \right| = 0\]

\(\displaystyle x+y-z=0.\)

\(\displaystyle A=1,B=1,C=-1,~D=0.\)

Теперь я могу приступать к поиску расстояния:

\(\displaystyle d=\frac{\left| \frac{1}{2}+1-\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)

2. Вновь начинаем с чертежа, на котором отмечаем все данные!

Для пирамиды было бы полезно отдельно рисовать ее основание.

Расстояние от точки до плоскости

 

Даже тот факт, что я рисую как курица лапой, не помешает нам с легкостью решить эту задачу!

1. \(AO=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}{2}=\sqrt{2}\).

Тогда \(OS=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{3}.\)

Теперь легко найти координаты точки \(S.\)

Так как координаты точки \(O:O\left( 1,1,0 \right),~\), то \(S\left( 1,1,\sqrt{3} \right).\)

2. Так как координаты точки \(C:\) \(C\left( 2,2,0 \right),\) а \(M\) – середина отрезка \(SC\), то

\(M\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right).\)

Без проблем найдем и координаты еще двух точек на плоскости \(ADM.\) \(D\left( 1,0,0 \right),~A\left( 0,0,0 \right).\) Составляем уравнение плоскости и упростим его:

\[\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&1&{\frac{3}{2}}\\y&0&{\frac{3}{2}}\\z&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right|} \right| = 0\]

\(\frac{3}{2}z-\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\)

\(\sqrt{3}y-3z=0\)

\(y-\sqrt{3}z=0.\)

Так как точка \(B\) имеет координаты: \(B\left( 0,2,0 \right)\), то вычисляем расстояние:

\(d=\frac{2}{\sqrt{1+3}}=1.\)

Ответ (очень редкий!): \(1\)

Ну что, разобрался? Мне кажется, что здесь все так же технично, как и в тех примерах, что мы рассматривали с тобой в предыдущей части. Так что я уверен, что если ты овладел тем материалом, то тебе не составит труда решить оставшиеся две задачи. Я лишь приведу ответы:

  1. 3. \(\frac{3\sqrt{39}}{4}\)
  2. 4. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Вычисление расстояния от прямой до плоскости

На самом деле, здесь нет ничего нового. Как могут располагаться прямая и плоскость друг относительно друга? У них есть всего \(2\) возможности: пересечься, или прямая параллельна плоскости. Как ты думаешь, чем равно расстояние от прямой до плоскости, с которой данная прямая пересекается? Мне кажется, что тут ясно, что такое расстояние равно нулю. Неинтересный случай.

расстояния от прямой до плоскости рис. 1

Второй случай хитрее: тут уже расстояние ненулевое. Однако, так как прямая параллельна плоскости, то каждая точка прямой равноудалена от этой плоскости:

расстояния от прямой до плоскости рис. 2

Таким образом:

Расстояние от плоскости до параллельной ей прямой = расстоянию от любой точки прямой до плоскости.

А это значит, что моя задача свелась к предыдущей: ищем координаты любой точки на прямой, ищем уравнение плоскости, вычисляем расстояние от точки до плоскости. На самом деле, такие задачи в ЕГЭ встречаются крайне редко. Мне удалось найти лишь одну задачу, и то данные в ней были такими, что метод координат к ней был не очень-то и применим!

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Теперь перейдем к другому, гораздо более важному классу задач:

Вычисление расстояния точки до прямой

Что нам потребуется?

1. Координаты точки, от которой мы ищем расстояние: \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right).\)

2. Координаты любой точки, лежащей на прямой \({{M}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)\)

3. Координаты направляющего вектора прямой \(\vec{s}\left( m,n,p \right)\)

Какую применяем формулу?

Ответ:

\(d=\frac{\left| \overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\times \vec{s} \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}}}\)

Что означает знаменатель данной дроби тебе и так должно быть ясно: это длина направляющего вектора прямой. Здесь очень хитрый числитель! Выражение \(\left| \overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\times \vec{s} \right|\) означает модуль (длина) векторного произведения векторов \(\overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\) и \(\vec{s}.\) Как вычислять векторное произведение, мы с тобой изучали в предыдущей части работы. Освежи свои знания, нам они сейчас очень пригодятся!

Таким образом, алгоритм решения задач будет следующий:

1. Ищем координаты точки, от которой мы ищем расстояние: \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right).\)

2. Ищем координаты любой точки на прямой, до которой мы ищем расстояние: \({{M}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)\)

3. Строим вектор \(\overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}:\) \(\overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}},{{y}_{1}}-{{y}_{0}},{{z}_{1}}-{{z}_{0}} \right).\)

4. Строим направляющий вектор прямой \(\vec{s}\left( m,n,p \right)\)

5. Вычисляем векторное произведение \(\overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\times \vec{s}\)

6. Ищем длину полученного вектора: \(\left| \overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\times \vec{s} \right|\)

7. Вычисляем расстояние:
\(d=\frac{\left| \overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}\times \vec{s} \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}}}\)

Работы у нас много, а примеры будут достаточно сложными! Так что теперь сосредоточь все внимание!

1. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да \(DABC\) с вер­ши­ной \(D\). Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна \(\sqrt{6}\), вы­со­та равна \(\sqrt{30}\). Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра \(BD\) до пря­мой \(MT\), где точки \(M\) и \(T\) — се­ре­ди­ны ребер \(AC\) и \(AB\) со­от­вет­ствен­но.

2. Длины ребер \(AB,A{{A}_{1}}\) и \(AD\) пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да \(ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) равны со­от­вет­ствен­но \(12,\text{ }16~\) и \(15.\) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны \({{A}_{1}}\) до пря­мой \(B{{D}_{1}}.\)

3. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме \(ABCDEF{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}{{F}_{1}}\) все ребра ко­то­рой равны \(1\) най­ди­те рас­сто­я­ние от точки \(B\) до пря­мой \({{E}_{1}}{{F}_{1}}.\)

Решения:

1. Делаем аккуратный чертеж, на котором отмечаем все данные:

Расстояние от середины отрезка до прямой

Работы у нас с тобой уйма! Я вначале бы хотел описать словами, что мы будем искать и в каком порядке:

1. Координаты точек \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle A\)

2. Координаты точки \(\displaystyle K\)

3. Координаты точек \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle T\)

4. Координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow{KT}\) и \(\displaystyle TM\)

5. Их векторное произведение

6. Длину вектора \(\displaystyle \overrightarrow{TM}\)

7. Длину векторного произведения

8. Расстояние от \(\displaystyle K\) до \(\displaystyle \overrightarrow{TM}\)

Ну что же, работы нам предстоит немало! Принимаемся за нее, засучив рукава!

1. Чтобы найти координаты высоты пирамиды, нам нужно знать координаты точки \(\displaystyle O.\) Её аппликата равна нулю, а ордината равна \(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}.\) Абсцисса ее равна длине отрезка \(\displaystyle OS.\) \(\displaystyle AS=\sqrt{A{{B}^{2}}-S{{B}^{2}}}=\sqrt{6-\frac{6}{4}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.~\) Так как \(\displaystyle AS\) – высота равностороннего треугольника \(\displaystyle ABC\), то она делится в отношении \(\displaystyle 2:1\), считая от вершины, отсюда \(\displaystyle OS=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Окончательно, получили координаты:

\(\displaystyle O\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{6}}{2},0 \right).\)

Тогда \(\displaystyle D(\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{30} \right)\).

Координаты точки \(\displaystyle A:A\left( \frac{3}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{6}}{2},0 \right).\)

2. \(\displaystyle K\) – середина отрезка \(\displaystyle BD:\)

\(\displaystyle K\left( \frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{\sqrt{6}}{4},\frac{\sqrt{30}}{2} \right).~\)

3.\(\displaystyle M\) – середина отрезка \(\displaystyle AC:\)

\(\displaystyle M\left( \frac{3}{2\sqrt{2}},~\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{6}}{2},0 \right)=M\left( \frac{3}{2\sqrt{2}},~\frac{3\sqrt{6}}{4},0 \right).\)

\(\displaystyle T\) – середина отрезка \(\displaystyle AB\)

\(\displaystyle T\left( \frac{3}{2\sqrt{2}},~\frac{\sqrt{6}}{4},0 \right).~\)

4.Координаты\(\displaystyle \overrightarrow{KT}:\overrightarrow{KT}\left( \frac{3}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4},~0-\frac{\sqrt{30}}{2} \right)=\overrightarrow{KT}\left( \frac{1}{\sqrt{2}},~0,~-\frac{\sqrt{30}}{2} \right).\)

Координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow{TM}:\)

\(\displaystyle \overrightarrow{TM}\left( 0,\frac{3\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4},0 \right)=\overrightarrow{TM}\left( 0,~\frac{\sqrt{6}}{2},0 \right).\)

5. Вычисляем векторное произведение:

Векторное произведение (матрица)

\(\displaystyle \overrightarrow{KT}\times \overrightarrow{TM}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \overrightarrow{k}-\frac{\sqrt{30}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \vec{i}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{k}=\left( \frac{3\sqrt{5}}{2},0,~\frac{\sqrt{3}}{2} \right).\)

6. Длина вектора \(\displaystyle TM\): проще всего заменить, что отрезок \(\displaystyle TM\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC\), а значит, он равен половине основания \(\displaystyle BC\). Так что \(\displaystyle \left| \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{TM} \right|=\frac{\sqrt{6}}{2}\).

7. Считаем длину векторного произведения:

\(\displaystyle \left| \overrightarrow{KT}\times \overrightarrow{TM} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{3\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}.\)

8. Наконец, находим расстояние:

\(\displaystyle d=\frac{\left| \overrightarrow{KT}\times \overrightarrow{TM} \right|}{\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left| \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{TM} \right|}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=2\sqrt{2}\)

Уф, ну все! Честно тебе скажу: решение этой задачи традиционными методами (через построения), было бы намного быстрее. Зато здесь я все свел к готовому алгоритму! Я так думаю, что алгоритм решения тебе ясен? Поэтому попрошу тебя решить оставшиеся две задачи самостоятельно. Сравним ответы?

2. \(\displaystyle 12\)

3. \(\displaystyle 2\)

Опять-таки повторюсь: эти задачи проще (быстрее) решать через построения, а не прибегая к координатному методу. Я продемонстрировал такой способ решения лишь затем, чтобы показать тебе универсальный метод, который позволяет «ничего не достраивать».

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.

Наконец, рассмотрим последний класс задач:

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Здесь алгоритм решения задач будет схож с предыдущим. Что у нас есть:

1. Направляющий вектор первой прямой: \(\overrightarrow{{{a}_{1}}(}{{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}}).\)

2. Направляющий вектор второй прямой: \(\overrightarrow{{{a}_{2}}(}{{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}}).\)

3. Любой вектор, соединяющий точки первой и второй прямой: \(\overrightarrow{{{a}_{3}}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\)

Как мы ищем расстояние между прямыми?

Формула следующая:

\(d=\frac{\left| \left( \overrightarrow{{{a}_{3}}},~\overrightarrow{{{a}_{1}}},\overrightarrow{{{a}_{2}}} \right) \right|}{\left| \overrightarrow{{{a}_{1}}}\times \overrightarrow{{{a}_{2}}} \right|}\)

Числитель – это модуль смешанного произведения (мы его вводили в предыдущей части), а знаменатель – как и в предыдущей формуле (модуль векторного произведения направляющих векторов прямых, расстояние между которыми мы с тобой ищем).

Я напомню тебе, что

clip_image174

тогда формулу для расстояния можно переписать в виде:

\[d = \frac{{\left| \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0}}&{{y_0}}&{{z_0}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}\end{array} \right|}}{{\left| \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k }\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}\end{array} \right|}}\]

Этакий определитель делить на определитель! Хотя, если честно, мне здесь совсем не до шуток! Данная формула, на самом деле, очень громоздка и приводит к достаточно сложным вычислениям. На твоем месте я бы прибегал к ней только в самом крайнем случае!

Давай попробуем решить несколько задач, используя изложенный выше метод:

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме \(ABC{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\), все рёбра ко­то­рой равны \(1\), най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми \(A{{A}_{1}}\) и \(B{{C}_{1}}\).

2. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма \(ABC{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) все рёбра ос­но­ва­ния ко­то­рой равны \(2\sqrt{7}\) Се­че­ние, про­хо­дя­щее через бо­ко­вое ребро \(A{{A}_{1}}\) и се­ре­ди­ну \(M\) ребра \({{B}_{1}}{{C}_{1}}\) яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми \({{A}_{1}}B\) и \(AM.\)

Первую решаю я, а опираясь на нее, вторую решаешь ты!

1. Рисую призму и отмечаю прямые \(A{{A}_{1}}\) и \(B{{C}_{1}}.\)

Расстояние между прямыми рис. 1

Координаты точки С: \(C:C\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right),\) тогда \({{C}_{1}}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1 \right).~\)

Координаты точки \(B:B\left( 0,1,0 \right).~\)

Координаты вектора \(\overrightarrow{B{{C}_{1}}}:~\overrightarrow{B{{C}_{1}}}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1 \right).\)

Координаты точки \({{A}_{1}}:{{A}_{1}}\left( 0,0,1 \right).\)

Координаты вектора \(\overrightarrow{A{{A}_{1}}}:~\overrightarrow{A{{A}_{1}}}\left( 0,0,1 \right).\)

Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\left( 0,1,0 \right).\)

\[\left( {B,\overrightarrow {A{A_1}} \overrightarrow {B{C_1}} } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}0&0&1\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ — \frac{1}{2}}&1\end{array}}\end{array}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Считаем векторное произведение между векторами \(AA\) и \(\overrightarrow{B{{C}_{1}}}:\)

\[\overrightarrow {A{A_1}}  \cdot \overrightarrow {B{C_1}}  = \left| \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k }\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}0&0&1\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ — \frac{1}{2}}&1\end{array}\end{array} \right| — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow k  + \frac{1}{2}\overrightarrow i \]

Теперь считаем его длину:

\(\left| \overrightarrow{A{{A}_{1}}}\times \overrightarrow{B{{C}_{1}}} \right|=\sqrt{{{\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=1\)

Тогда

\(d=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Теперь постарайся аккуратно выполнить вторую задачу. Ответом на нее будет: \(\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Проверь себя — реши задачи на  координаты и векторы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *