Корень степени n>1 и его свойства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Арифметический квадратный корень

Уравнение \({{x}^{2}}=4\) имеет два решения: \(x=2\) и \(x=-2\). Это числа, квадрат которых равен \(4\).

Рассмотрим уравнение \({{x}^{2}}=3\). Решим его графически. Нарисуем график функции \(y={{x}^{2}}\) и линию на уровне \(y=3\). Точки пересечения этих линий и будут решениями. Видим, что и у этого уравнения два решения – одно положительное, другое отрицательное:

1 (2)

Но в данном случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня \(\sqrt{\ \ }\).

Арифметический квадратный корень \(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен\(a,\text{ }a\ge 0\). При \(a<0\) выражение \(\sqrt{a}\) не определено, т.к. нет такого числа, квадрат которого равен отрицательному числу \(a\).

Корень из квадрата: \(\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\).

Например, \(\sqrt{4}=2\). А из \({{x}^{2}}=3\) следует, что \(\left| x \right|=\sqrt{3}\Rightarrow x=\sqrt{3}\) или \(x=-\sqrt{3}\).

Еще раз обращаю внимание, это очень важно: Квадратный корень – это всегда неотрицательное число: \(\sqrt{a}\ge 0\)!

Кубический корень из числа \(a\ \left( \sqrt[3]{a} \right)\) — это число, куб которого равен \(a\). Кубический корень определен для всех \(a\). Его можно извлечь из любого числа: \(\sqrt[3]{-27}=-3\). Как видим, он может принимать и отрицательные значения.

Корень \(n\)-ой степени из числа \(a\) — это число, \(n\)-я степень которого равна \(a\), т.е.

\(c=\sqrt[n]{a}\Leftrightarrow {{c}^{n}}=a\)

Если \(n\) — чётно, тогда:

  • если \(a<0\), то корень \(n\)-ой степени из a не определен.
  • если \(a\ge 0\), то неотрицательный корень уравнения \({{x}^{n}}=a\) называется арифметическим корнем \(n\)-ой степени из \(a\) и обозначается \(\sqrt[n]{a}\).

Если \(n\) — нечётно, тогда уравнение \({{x}^{n}}=a\) имеет единственный корень при любом \(a\).

Ты заметил, что слева сверху от знака корня мы пишем его степень? Но только не для квадратного корня! Если видишь корень без степени, значит он квадратный (степени \(\displaystyle 2\)).

Примеры.

  1. \(\sqrt[4]{100000}=10\)
  2. \(\sqrt[5]{-243}=-3\)
  3. \(\sqrt[7]{128}=2\)

Основные свойства корней

Для любого натурального \(n\), целого \(k\) и любых неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) выполнены равенства:

  1. \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b};\)
  2. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\text{ }\left( b\ne 0 \right);\)
  3. \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\text{ }\left( k>0 \right);\)
  4. \(\sqrt[nk]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\text{ }\left( k>0 \right);\)
  5. при нечетных \(\displaystyle n:\text{ }\sqrt[n]{{{a}^{k}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{k}}\) (если \(\displaystyle k\le 0\), то \(\displaystyle a\ne 0\)),
    при четных \(k\) и \(\displaystyle n:\text{ }\sqrt[n]{{{a}^{k}}}={{\left( \sqrt[n]{\left| a \right|} \right)}^{k}}\) (если \(\displaystyle k\le 0\), то \(\displaystyle a\ne 0\)).

Проверь себя — реши задачи на корень степени n>1  и его свойства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА —
начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *