Корень степени n>1 и его свойства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Арифметический квадратный корень

Уравнение $latex {{x}^{2}}=4$ имеет два решения: $latex x=2$ и $latex x=-2$. Это числа, квадрат которых равен $latex 4$.

Рассмотрим уравнение $latex {{x}^{2}}=3$. Решим его графически. Нарисуем график функции $latex y={{x}^{2}}$ и линию на уровне $latex y=3$. Точки пересечения этих линий и будут решениями. Видим, что и у этого уравнения два решения – одно положительное, другое отрицательное:

1 (2)

Но в данном случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня $latex \sqrt{\ \ }$.

Арифметический квадратный корень $latex \sqrt{a}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен$latex a,\text{ }a\ge 0$. При $latex a<0$ выражение $latex \sqrt{a}$ не определено, т.к. нет такого числа, квадрат которого равен отрицательному числу $latex a$.

Корень из квадрата: $latex \sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|$.

Например, $latex \sqrt{4}=2$. А из $latex {{x}^{2}}=3$ следует, что $latex \left| x \right|=\sqrt{3}\Rightarrow x=\sqrt{3}$ или $latex x=-\sqrt{3}$.

Еще раз обращаю внимание, это очень важно: Квадратный корень – это всегда неотрицательное число: $latex \sqrt{a}\ge 0$!

Кубический корень из числа $latex a\ \left( \sqrt[3]{a} \right)$ — это число, куб которого равен $latex a$. Кубический корень определен для всех $latex a$. Его можно извлечь из любого числа: $latex \sqrt[3]{-27}=-3$. Как видим, он может принимать и отрицательные значения.

Корень $latex n$-ой степени из числа $latex a$ — это число, $latex n$-я степень которого равна $latex a$, т.е.

$latex c=\sqrt[n]{a}\Leftrightarrow {{c}^{n}}=a$

Если $latex n$ — чётно, тогда:

  • если $latex a<0$, то корень $latex n$-ой степени из a не определен.
  • если $latex a\ge 0$, то неотрицательный корень уравнения $latex {{x}^{n}}=a$ называется арифметическим корнем $latex n$-ой степени из $latex a$ и обозначается $latex \sqrt[n]{a}$.

Если $latex n$ — нечётно, тогда уравнение $latex {{x}^{n}}=a$ имеет единственный корень при любом $latex a$.

Ты заметил, что слева сверху от знака корня мы пишем его степень? Но только не для квадратного корня! Если видишь корень без степени, значит он квадратный (степени $latex \displaystyle 2$).

Примеры.

  1. $latex \sqrt[4]{100000}=10$
  2. $latex \sqrt[5]{-243}=-3$
  3. $latex \sqrt[7]{128}=2$

Основные свойства корней

Для любого натурального $latex n$, целого $latex k$ и любых неотрицательных чисел $latex a$ и $latex b$ выполнены равенства:

  1. $latex \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b};$
  2. $latex \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\text{ }\left( b\ne 0 \right);$
  3. $latex \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\text{ }\left( k>0 \right);$
  4. $latex \sqrt[nk]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\text{ }\left( k>0 \right);$
  5. при нечетных $latex \displaystyle n:\text{ }\sqrt[n]{{{a}^{k}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{k}}$ (если $latex \displaystyle k\le 0$, то $latex \displaystyle a\ne 0$),
    при четных $latex k$ и $latex \displaystyle n:\text{ }\sqrt[n]{{{a}^{k}}}={{\left( \sqrt[n]{\left| a \right|} \right)}^{k}}$ (если $latex \displaystyle k\le 0$, то $latex \displaystyle a\ne 0$).

Проверь себя — реши задачи на корень степени n>1  и его свойства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА —
начни обучение.

Добавить комментарий