Квадратные неравенства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Чтобы разобраться, как решать квадратные уравнения, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция, и какими свойствами она обладает.

Наверняка ты задавался вопросом, зачем вообще нужна квадратичная функция? Где применим ее график (парабола)? Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что ежедневно в повседневной жизни сталкиваешься с ней. Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч? «По дуге»? Самым верным ответом будет «по параболе»! А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе! А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе! Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи. К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полета? Или, где окажется снаряд, если запустить его под определенным углом? и т.д.

Квадратичная функция

Итак, давай разбираться.

Квадратичная функция – это функция, которую можно записать вот такой формулой: \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\), где \(x\) – независимая переменная, \(a\), \(b\) и \(c\) – некоторые числа, при этом \(a\ne 0\).

К примеру, \(y=2{{x}^{2}}-3x+4\). Чему здесь равны \(a\), \(b\) и \(c\)? Ну, конечно, \(a=2\), \(b=-3\) и \(c=4\)!

Как уже упоминалось в теме «Квадратные уравнения», графиком такой функции выступает парабола. В зависимости от значения \(a\) ветви графика направлены вверх или вниз:

  • если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх;
  • если \(a<0\), то ветви параболы направлены вниз.

Для того, чтобы легко это запомнить, обратимся к хорошо известным тебе смайликам:

  • если \(a>0\), т.е. a – положительное число, раз положительное, значит все хорошо – улыбаемся! А ветви графика тем временем направлены вверх 🙂 
  • если \(a<0\), т.е. a – отрицательное число, а раз отрицательное, значит, есть повод взгрустнуть, а ветви графика тем временем будут направлены вниз 🙁 

При этом точки пересечения параболы с осью \(x\), называются нулями функции и являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

\(y=a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

Ну что, уловил? Тогда давай смотреть примеры!

1 (9)

На рисунке выше изображен график функции \(y=2{{x}^{2}}-3x+4\). Как мы уже отмечали, \(a=2\), а это больше нуля (улыбаемся), поэтому ветви графика направлены вверх. Кроме того, можно заметить, что данный график не пересекает ось \(x\). Помнишь, что в таком случае происходит, если решать уравнение \(2{{x}^{2}}-3x+4=0\)? Все верно, корней такое уравнение иметь не будет, так как y принимает только положительные значения (не принимает значения, равные \(0\))! Если забыл, то вперед повторять «Квадратные уравнения»!

А что, если \(a=-2\), т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз! Давай посмотрим на графике.

2 (2)

На этом рисунке изображен график функции \(y=-2{{x}^{2}}-3x+4\). Так как \(a=-2\), т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось \(x\), а значит, уравнение \(-2{{x}^{2}}-3x+4=0\) имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что \(b\) и \(c\) – некоторые числа. А могут ли они быть равны нулю? Ну конечно, могут! Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа (\(b\) и \(c\)) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если \(b\) и \(c\) равны нулю.

3 (1)

Как видно, графики рассматриваемых функций (\(y=2{{x}^{2}}\) и \(y=-2{{x}^{2}}\)) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами \(\left( 0;0 \right)\), то есть на пересечении осей \(x\) и \(y\), на направлении ветвей это никак не отразилось. Таким образом, можно сделать вывод, что \(b\) и \(c\) отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции \(y=2{{x}^{2}}\) касается оси \(x\) в точке \(\left( 0;0 \right)\). Значит, уравнение \(2{{x}^{2}}=0\) имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции \(y=-2{{x}^{2}}\). Он касается оси x в точке \(\left( 0;0 \right)\). Значит, уравнение \(-2{{x}^{2}}=0\) имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть \(y\le 0\).

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать – это найти корни уравнения. Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции.Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырем видам:\(\left. \begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c\ \ge 0\\a{{x}^{2}}+bx+c>0\\a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\\a{{x}^{2}}+bx+c<0\end{array} \right\rangle a\ne 0\)

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

  • если перед нами неравенство вида \(a{{x}^{2}}+bx+c>0\), то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений \(x\), при котором парабола лежит выше оси \(x\).
  • если перед нами неравенство вида \(a{{x}^{2}}+bx+c<0\), то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси \(x\).

Если неравенства нестрогие (\(a{{x}^{2}}+bx+c\ \ge 0\) и \(a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\)), то корни (координаты \(x\) пересечений параболы с осью \(x\)) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах – исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберем примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведенного алгоритма, и нас ждет неизбежный успех!

Алгоритм Пример: \(2{{x}^{2}}+{x}-3\ge 0\)
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства \(>,\text{ }<,\text{ }\ge ,\text{ }\le \) на знак равенства «=»). \(2{{x}^{2}}+{x}-3=0\)
2) Найдем корни этого уравнения. \({{x}_{1}}=-\frac{3}{2};\text{  }{{x}_{2}}=1\)
3) Отметим корни на оси \(Ox\) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз») 25
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «\(+\)», а там где ниже – «\(-\)». 26
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий «\(+\)» или «\(-\)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят. \(x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)\)

Разобрался? Тогда вперед закреплять!

Пример:

  1. \(3{{x}^{2}}-4{x}-2\ge 0\)
  2. \(-3{{x}^{2}}-17x+6<0\)
  3. \(4{{x}^{2}}+4x+1\le 0\)
  4. \(4{{x}^{2}}+3x+18>0\)

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Решение:

1) \(3{{x}^{2}}-4{x}-2\ge 0\)

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

\(3{{x}^{2}}-4{x}-2=0\)

Найдем корни данного квадратного уравнения:

\(D={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -2 \right)=40\)

\({{x}_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{4+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{10}=\frac{1}{3}\left( 2+\sqrt{10} \right);\)

\({{x}_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{4-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{10}=\frac{1}{3}\left( 2-\sqrt{10} \right)\)

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

4 (1)

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\(+\)», так как знак неравенства «\(\ge \)». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

\(x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3}\left( 2-\sqrt{10} \right) \right]\cup \left[ \frac{1}{3}\left( 2+\sqrt{10} \right);\infty  \right)\)

2) \(-3{{x}^{2}}-17x+6<0\)

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

\(-3{{x}^{2}}-17x+6=0\)

Найдем корни данного квадратного уравнения:

\(D={{\left( -17 \right)}^{2}}-4\cdot 6\cdot \left( -3 \right)=289+72=361\)

\({{x}_{1}}=\frac{-\left( -17 \right)+\sqrt{361}}{2\cdot \left( -3 \right)}=\frac{17+19}{-6}=-\frac{36}{6}=-6;\)

\({{x}_{2}}=\frac{-\left( -17 \right)-\sqrt{361}}{2\cdot \left( -3 \right)}=\frac{17-19}{-6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};\)

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

5 (1)

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\(-\)», так как знак неравенства «\(<\)». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

\(x\in \left( -\infty ;-6 \right)\cup \left( \frac{1}{3};\infty  \right)\)

3) \(4{{x}^{2}}+4x+1\le 0\)

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

\(4{{x}^{2}}+4x+1=0\)

Найдем корни данного квадратного уравнения:

\(D={{4}^{2}}-4\cdot 4\cdot 1=0\Rightarrow \) данное уравнение имеет один корень

\(x=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2\cdot 4}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\)

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

6

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\(-\)», так как знак неравенства «\(\le \)». При любом \(x\) функция \(y=4{{x}^{2}}+4+1\) принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет \(x=-\frac{1}{2}\).

4) \(4{{x}^{2}}+3x+18>0\)

Запишем соответсвующее квадратное уравнение:

\(4{{x}^{2}}+3x+18=0\)

Найдем корни данного квадратного уравнения:

\(D={{3}^{2}}-4\cdot 4\cdot 18=9+288=-279\Rightarrow \)

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

6 (1)

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\(+\)», так как знак неравенства «\(>\)». При любом \(x\) функция \(y=4{{x}^{2}}+3x+18\) принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

\(x\in \left( -\infty ;\infty  \right)\)

Проверь себя — реши квадратные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *