Квадратные неравенства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Чтобы разобраться, как решать квадратные уравнения, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция, и какими свойствами она обладает.

Наверняка ты задавался вопросом, зачем вообще нужна квадратичная функция? Где применим ее график (парабола)? Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что ежедневно в повседневной жизни сталкиваешься с ней. Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч? «По дуге»? Самым верным ответом будет «по параболе»! А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе! А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе! Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи. К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полета? Или, где окажется снаряд, если запустить его под определенным углом? и т.д.

Квадратичная функция

Итак, давай разбираться.

Квадратичная функция – это функция, которую можно записать вот такой формулой: $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$, где $latex x$ – независимая переменная, $latex a$, $latex b$ и $latex c$ – некоторые числа, при этом $latex a\ne 0$.

К примеру, $latex y=2{{x}^{2}}-3x+4$. Чему здесь равны $latex a$, $latex b$ и $latex c$? Ну, конечно, $latex a=2$, $latex b=-3$ и $latex c=4$!

Как уже упоминалось в теме «Квадратные уравнения», графиком такой функции выступает парабола. В зависимости от значения $latex a$ ветви графика направлены вверх или вниз:

  • если $latex a>0$, то ветви параболы направлены вверх;
  • если $latex a<0$, то ветви параболы направлены вниз.

Для того, чтобы легко это запомнить, обратимся к хорошо известным тебе смайликам:

  • если $latex a>0$, т.е. a – положительное число, раз положительное, значит все хорошо – улыбаемся! А ветви графика тем временем направлены вверх 🙂 
  • если $latex a<0$, т.е. a – отрицательное число, а раз отрицательное, значит, есть повод взгрустнуть, а ветви графика тем временем будут направлены вниз 🙁 

При этом точки пересечения параболы с осью $latex x$, называются нулями функции и являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

$latex y=a{{x}^{2}}+bx+c=0$

Ну что, уловил? Тогда давай смотреть примеры!

1 (9)

На рисунке выше изображен график функции $latex y=2{{x}^{2}}-3x+4$. Как мы уже отмечали, $latex a=2$, а это больше нуля (улыбаемся), поэтому ветви графика направлены вверх. Кроме того, можно заметить, что данный график не пересекает ось $latex x$. Помнишь, что в таком случае происходит, если решать уравнение $latex 2{{x}^{2}}-3x+4=0$? Все верно, корней такое уравнение иметь не будет, так как y принимает только положительные значения (не принимает значения, равные $latex 0$)! Если забыл, то вперед повторять «Квадратные уравнения»!

А что, если $latex a=-2$, т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз! Давай посмотрим на графике.

2 (2)

На этом рисунке изображен график функции $latex y=-2{{x}^{2}}-3x+4$. Так как $latex a=-2$, т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось $latex x$, а значит, уравнение $latex -2{{x}^{2}}-3x+4=0$ имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что $latex b$ и $latex c$ – некоторые числа. А могут ли они быть равны нулю? Ну конечно, могут! Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа ($latex b$ и $latex c$) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если $latex b$ и $latex c$ равны нулю.

3 (1)

Как видно, графики рассматриваемых функций ($latex y=2{{x}^{2}}$ и $latex y=-2{{x}^{2}}$) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами $latex \left( 0;0 \right)$, то есть на пересечении осей $latex x$ и $latex y$, на направлении ветвей это никак не отразилось. Таким образом, можно сделать вывод, что $latex b$ и $latex c$ отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции $latex y=2{{x}^{2}}$ касается оси $latex x$ в точке $latex \left( 0;0 \right)$. Значит, уравнение $latex 2{{x}^{2}}=0$ имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции $latex y=-2{{x}^{2}}$. Он касается оси x в точке $latex \left( 0;0 \right)$. Значит, уравнение $latex -2{{x}^{2}}=0$ имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть $latex y\le 0$.

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать – это найти корни уравнения. Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции.Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырем видам:$latex \left. \begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c\ \ge 0\\a{{x}^{2}}+bx+c>0\\a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\\a{{x}^{2}}+bx+c<0\end{array} \right\rangle a\ne 0$

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

  • если перед нами неравенство вида $latex a{{x}^{2}}+bx+c>0$, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений $latex x$, при котором парабола лежит выше оси $latex x$.
  • если перед нами неравенство вида $latex a{{x}^{2}}+bx+c<0$, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси $latex x$.

Если неравенства нестрогие ($latex a{{x}^{2}}+bx+c\ \ge 0$ и $latex a{{x}^{2}}+bx+c\le 0$), то корни (координаты $latex x$ пересечений параболы с осью $latex x$) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах – исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберем примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведенного алгоритма, и нас ждет неизбежный успех!

Алгоритм Пример: $latex 2{{x}^{2}}+{x}-3\ge 0$
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства $latex >,\text{ }<,\text{ }\ge ,\text{ }\le $ на знак равенства «=»). $latex 2{{x}^{2}}+{x}-3=0$
2) Найдем корни этого уравнения. $latex {{x}_{1}}=-\frac{3}{2};\text{  }{{x}_{2}}=1$
3) Отметим корни на оси $latex Ox$ и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз») 25
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «$latex +$», а там где ниже – «$latex -$». 26
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий «$latex +$» или «$latex -$», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят. $latex x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)$

Разобрался? Тогда вперед закреплять!

Пример:

  1. $latex 3{{x}^{2}}-4{x}-2\ge 0$
  2. $latex -3{{x}^{2}}-17x+6<0$
  3. $latex 4{{x}^{2}}+4x+1\le 0$
  4. $latex 4{{x}^{2}}+3x+18>0$

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Решение:

1) $latex 3{{x}^{2}}-4{x}-2\ge 0$

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

$latex 3{{x}^{2}}-4{x}-2=0$

Найдем корни данного квадратного уравнения:

$latex D={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -2 \right)=40$

$latex {{x}_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{4+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{10}=\frac{1}{3}\left( 2+\sqrt{10} \right);$

$latex {{x}_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{4-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{10}=\frac{1}{3}\left( 2-\sqrt{10} \right)$

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

4 (1)

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «$latex +$», так как знак неравенства «$latex \ge $». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

$latex x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3}\left( 2-\sqrt{10} \right) \right]\cup \left[ \frac{1}{3}\left( 2+\sqrt{10} \right);\infty  \right)$

2) $latex -3{{x}^{2}}-17x+6<0$

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

$latex -3{{x}^{2}}-17x+6=0$

Найдем корни данного квадратного уравнения:

$latex D={{\left( -17 \right)}^{2}}-4\cdot 6\cdot \left( -3 \right)=289+72=361$

$latex {{x}_{1}}=\frac{-\left( -17 \right)+\sqrt{361}}{2\cdot \left( -3 \right)}=\frac{17+19}{-6}=-\frac{36}{6}=-6;$

$latex {{x}_{2}}=\frac{-\left( -17 \right)-\sqrt{361}}{2\cdot \left( -3 \right)}=\frac{17-19}{-6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};$

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

5 (1)

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «$latex -$», так как знак неравенства «$latex <$». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

$latex x\in \left( -\infty ;-6 \right)\cup \left( \frac{1}{3};\infty  \right)$

3) $latex 4{{x}^{2}}+4x+1\le 0$

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

$latex 4{{x}^{2}}+4x+1=0$

Найдем корни данного квадратного уравнения:

$latex D={{4}^{2}}-4\cdot 4\cdot 1=0\Rightarrow $ данное уравнение имеет один корень

$latex x=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2\cdot 4}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

6

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «$latex -$», так как знак неравенства «$latex \le $». При любом $latex x$ функция $latex y=4{{x}^{2}}+4+1$ принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет $latex x=-\frac{1}{2}$.

4) $latex 4{{x}^{2}}+3x+18>0$

Запишем соответсвующее квадратное уравнение:

$latex 4{{x}^{2}}+3x+18=0$

Найдем корни данного квадратного уравнения:

$latex D={{3}^{2}}-4\cdot 4\cdot 18=9+288=-279\Rightarrow $

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

6 (1)

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «$latex +$», так как знак неравенства «$latex >$». При любом $latex x$ функция $latex y=4{{x}^{2}}+3x+18$ принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

$latex x\in \left( -\infty ;\infty  \right)$

Проверь себя — реши квадратные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий