Квадратные уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратными называются уравнения, в которых присутствует переменная в квадрате, и при этом нет переменной в степенях, больших \(2\).

Другими словами, квадратное уравнение – это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\), \(c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).

Число \(a\) называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, \(b\) – вторым коэффициентом, а \(c\) – свободным членом.

Почему \(a\ne 0\)? Потому что если \(a=0\), уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет \({{x}^{2}}\).

При этом \(b\) и \(c\) могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть \(a,b,c\ne 0\), уравнение – полное.

Решения различных типов квадратных уравнений

Методы решения неполных квадратных уравнений:

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений – они проще.

Можно выделить \(3\) типа таких уравнений:

I. \(a{{x}^{2}}=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) и свободный член \(c\) равны \(0\).

II. \(a{{x}^{2}}+c=0\), в этом уравнении коэффициент \(\displaystyle b\) равен \(0\).

III. \(a{{x}^{2}}+bx=0\), в этом уравнении свободный член \(c\) равен \(0\).

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

I. \(a{{x}^{2}}=0,\ \ a\ne 0,\text{ }b=0,\text{ }c=0\).

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

\(x=0\)

II. \(a{{x}^{2}}+c=0,\ \ \ a\ne 0,\text{ }b=0,\ c\ne 0\).

Выразим \({{x}^{2}}\):

\({{x}^{2}}=-\frac{c}{a}\)

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

если \(-\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений;

если \(-\frac{c}{a}>0\), имеем учаем два корня \(x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\)

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что \({{x}^{2}}\) не может быть меньше \(0\).

Примеры:

  1. \(2{{x}^{2}}-18=0\)
  2. \(18{{x}^{2}}+54=0\)
  3. \(3{{x}^{2}}-36=0\)

Решения:

1. \(2{{x}^{2}}-18=0\)

Выразим \({{x}^{2}}\):

\({{x}^{2}}=\frac{18}{2}\)

\({{x}^{2}}=9\)

\(\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{9}\)

\(x=\pm 3\)

Ответ: \(-3;3.\)

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

2. \(18{{x}^{2}}+54=0\)

\({{x}^{2}}=-\frac{54}{18}\)

\({{x}^{2}}=-3\)

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

\(18{{x}^{2}}+54=0\) нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества \(\displaystyle \emptyset \).

Ответ: \(\displaystyle \emptyset \)

3. \(3{{x}^{2}}-36=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=36\Leftrightarrow {{x}^{2}}=12\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\)

Итак, это уравнение имеет два корня: \({{x}_{1}}=2\sqrt{3}\) и \({{x}_{2}}=-2\sqrt{3}\).

Ответ: \(2\sqrt{3};\text{ }-2\sqrt{3}\)

III. \(a{{x}^{2}}+bx=0,\ \ \ a\ne 0,\ b\ne 0,\text{ }c=0\).

Вынесем общим множитель \(x\) за скобки:

\(x\left( ax+b \right)=0\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

\(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\)

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: \({{x}_{1}}=0\) и \({{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\).

Пример:

Решите уравнение \(3{{x}^{2}}+15x=0\).

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

\(3{{x}^{2}}+15x=0\Leftrightarrow 3x\left( x+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x=0\\x+5=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-5.\end{array} \right.\)

Ответ: \(0;-5\)

Методы решения полных квадратных уравнений:

\(a{{x}^{2}}+by+c=0,\) при \(a,b,c\ne 0.\)

1. Дискриминант

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Алгоритм Пример:\({{x}^{2}}+2{x}-3=0\)
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+by+c=0\)Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\). \({{x}^{2}}+2{x}-3=0\),

здесь

\(a=1,\text{ }b=2,\text{ }c=-3.\)

Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:\(D={{b}^{2}}-4ac\) \(\displaystyle D={{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)=\)\(\displaystyle =4+12=16\)
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:\(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\) \(x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант \(\left( D \right)\) указывает нам на количество корней уравнения.

  • Если \(D>0\), то уравнение имеет \(2\) корня:
    \(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};\text{ }{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)
  • Если \(D=0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) одинаковых корня, а по сути, один корень:
    \(x=\frac{-b}{2a}\)
    Такие корни называются двукратными.
  • Если \(D<0\), то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) является параболой:

1 (4)

В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(\displaystyle f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(\displaystyle x\)). Парабола может вообще не пересекать ось \(\displaystyle x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(\displaystyle x\)) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(а>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a<0\) – то вниз.

Примеры:

  1. \(2{{x}^{2}}+5{x}-7=0\)
  2. \(3{{x}^{2}}+4{x}-5=0\)
  3. \(4{{x}^{2}}-12x+9=0\)
  4. \(4{{x}^{2}}-5x+9=0\)

Решения:

1. \(2{{x}^{2}}+5{x}-7=0\)

\(a=2,\text{ }b=5,\text{ }c=-7.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 2\cdot \left( -7 \right)=25+56=81>0.\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm 9}{4};\)

\({{x}_{1}}=\frac{-5+9}{4}=1;\)

\({{x}_{2}}=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2}.\)

Ответ: \(1;-3,5\)

2. \(3{{x}^{2}}+4{x}-5=0\)

\(a=3,\text{ }b=4,\text{ }c=-5.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{4}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -5 \right)=16+60=76>0.\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm \sqrt{76}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm 2\sqrt{19}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{3};\)

\({{x}_{1}}=\frac{-2+\sqrt{19}}{3};\)

\({{x}_{2}}=\frac{-2-\sqrt{19}}{3}.\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{19}-2}{3};\text{ }-\frac{\sqrt{19}+2}{3}\).

3. \(4{{x}^{2}}-12x+9=0\)

\(a=4,\text{ }b=-12,\text{ }c=9.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -12 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0.\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}.\)

Ответ: \(-1,25\)

4. \(4{{x}^{2}}-5x+9=0\)

\(a=4,\text{ }b=-5,\text{ }c=9.\)

\(D={{b}^{2}}-4ac={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 9=25-144=-119<0\)

\(D\text{ }<\text{ }0\), а значит, решений нет.

Ответ: \(\displaystyle \emptyset \).

2. Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида \({{x}^{2}}+bx+c=0\), то есть уравнение, старший коэффициент которого равен единице (\(a=1\)).
Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения \({{x}^{2}}+bx+c=0\) равна \(-b\), а произведение корней равно свободному члену \(c\).

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях (\(a=1\)).

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Решите уравнение \({{x}^{2}}-7x+12=0\).

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\). Остальные коэффициенты: \(b=-7\); \(c=12\).

Сумма корней уравнения равна \(-b\):

\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\)

А произведение равно \(c\):

\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\)

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):

  • \(12\) и \(1\). Сумма равна \(\displaystyle 13\);
  • \(2\) и \(\displaystyle 6\). Сумма равна \(8\);
  • \(3\) и \(4\). Сумма равна \(7\).

\(3\) и \(4\) являются решением системы:

\(\left\{ \begin{array}{l}3+4=7;\\3\cdot 4=12\end{array} \right.\)

Таким образом, \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 4\) – корни нашего уравнения.

Ответ: \(\displaystyle 3\); \(\displaystyle 4\).

Пример №2:

\({{x}^{2}}+5x+6=0\).

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(6\), а затем проверим, равна ли их сумма \(-5\):

\(6\) и \(\displaystyle 1\): в сумме дают \(7\ne -5\).

\(3\) и \(2\): в сумме дают \(5\). Чтобы получить \(-5\), достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: \(-3\) и \(-2\), ведь произведение.

Ответ: \(-3;-2\)

Пример №3:

\({{x}^{2}}-2{x}-24=0\).

Решение:

\(a=1;\text{ }b=-2;\text{ }c=-24.\)

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей.

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(24\), и разность которых равна  \(2\):

\(24\) и  \(1\): их разность равна  \(23\) – не подходит;

\(12\) и  \(2\): \(12-2=10\) – не подходит;

\(8\) и  \(3\): \(8-3=5\) – не подходит;

\(6\) и \(4\): \(6-4=2\) – подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться \(2>0\), то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: \(-4\). Проверяем: \(6+(-4)=2,6\cdot (-4)=-24\)

Ответ: \(-4;6\)

Пример №4:

Решите уравнение \({{x}^{2}}-3{x}-40=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-40\end{array} \right.\)

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

  • \(40\) и \(1\)
  • \(20\) и \(2\)
  • \(10\) и \(4\)
  • \(8\) и \(5\)

Очевидно, что под первое условие \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\) подходят только корни \(-5\) и \(8\):

\(\left\{ \begin{array}{l}-5+8=3;\\-5\cdot 8=-40\end{array} \right.\)

Ответ: \(-5;\text{ }8.\)

Пример №5:

Решите уравнение \({{x}^{2}}+18x+77=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-18;\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=77\end{array} \right.\)

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

  • \(\displaystyle 77\) и \(\displaystyle 1\)
  • \(11\) и \(\displaystyle 7\)

Очевидно, что корнями являются числа \(-7\) и \(-11\).

\(\left\{ \begin{array}{l}-11-7=-18;\\-11\cdot \left( -7 \right)=77\end{array} \right.\)

Ответ: \(-11;\text{ }-7.\)

Согласись, это очень удобно – придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:

  1. \({{x}^{2}}-8x+12=0\)
  2. \({{x}^{2}}+13x+36=0\)
  3. \(24{x}-22=2{{x}^{2}}\)
  4. \({{x}^{2}}-11{x}-26=0\)
  5. \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\)

Решения заданий для самостоятельной работы:

Задание 1. \({{x}^{2}}-8x+12=0\)

По теореме Виета:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=8\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=12\end{array} \right.\)

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

\(12=12\cdot 1\)  – не подходит, так как сумма \(12+1=13\ne 8\);

\(12=6\cdot 2\): сумма \(6+2=8\) – то что надо.

Ответ: \(2\); \(6\).

Задание 2. \({{x}^{2}}+13x+36=0\)

И снова наша любимая теорема Виета: в сумме должно получиться \(-13\), а произведение равно \(36\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}36=1\cdot 36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9\\1+36=37\\2+18=20\\3+12=15\\4+9=13\end{array}\)

Но так как должно быть не \(\displaystyle 13\), а \(\displaystyle -13\), меняем знаки корней: \(\displaystyle -4\) и \(\displaystyle -9\) (в сумме  \(\displaystyle -4+\left( -9 \right)=-13\)).

Ответ: \(\displaystyle -4\); \(\displaystyle -9\).

Задание 3. \(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\)

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

\(\displaystyle 24{x}-22=2{{x}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  2}{{x}^{2}}-24x+22=0\)

Сумма корней равна \(\displaystyle 24\), произведение \(\displaystyle 22\).

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение – значит сделать старший коэффициент равным \(\displaystyle 1\):

\(\displaystyle \text{2}{{x}^{2}}-24x+22=0\text{  }\left| :2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-12x+11=0 \right.\)

Отлично. Тогда сумма корней равна \(\displaystyle \mathbf{12}\), а произведение \(\displaystyle \mathbf{11}\).

Тут подобрать проще простого: ведь \(\displaystyle \mathbf{11}\) – простое число (извини за тавтологию).

\(\displaystyle 11=11\cdot 1\)

\(\displaystyle 11+1=12\)

Ответ: \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 11\).

Задание 4. \(\displaystyle {{x}^{2}}-11{x}-26=0\)

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна \(\displaystyle 11\), а произведение \(\displaystyle 26\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}26=26\cdot 1=13\cdot 2\\26-1=25\\13-2=11\end{array}\)

Итак, корни равны \(\displaystyle 13\) и \(\displaystyle 2\), но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть \(\displaystyle +\mathbf{11}\). Значит, минус будет у меньшего корня: \(\displaystyle \mathbf{13}\) и \(\displaystyle -2\), так как  \(\displaystyle 13+\left( -2 \right)=11\).

Ответ: \(\displaystyle -2\); \(\displaystyle 13\).

Задание 5. \(\displaystyle 2{{x}^{2}}=56-6x\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\)

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

\(\displaystyle 2{{x}^{2}}+6{x}-56=0\left| :2 \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}+3{x}-28=0\)

Снова: подбираем множители числа \(\displaystyle 28\), и их разность должна равняться \(\displaystyle 3\):

\(\displaystyle \begin{array}{l}28=28\cdot 1=14\cdot 2=7\cdot 4\\28-1=27\\14-2=12\\7-4=3\end{array}\)

Корни равны \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 7\), но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна \(\displaystyle -3\), значит, с минусом будет больший корень.

Ответ: \(\displaystyle -7\); \(\displaystyle 4\).

Подведу итог:
  1. Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
  2. Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
  3. Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

3. Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное \(x\), представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения – квадрата суммы или разности – то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа \(a{{y}^{2}}+c=0\).

Например:

\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0\Leftrightarrow \underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 3+9}_{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x+3=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-2,\\x=-4.\end{array} \right.\)

Пример 1:

Решите уравнение: \(4{{x}^{2}}+12{x}-7=0\).

Решение:

\(4{{x}^{2}}+12{x}-7=\left( {{\left( 2x \right)}^{2}}+2\cdot 2x\cdot 3+9 \right)-9-7={{\left( 2x+3 \right)}^{2}}-16;\)

\({{\left( 2x+3 \right)}^{2}}-16=0\Leftrightarrow {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+3=4\\2x+3=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{1}{2},\\x=-\frac{7}{2}.\end{array} \right.\)

Ответ: \(0,5;-3,5\)

Пример 2:

Решите уравнение: \(3{{x}^{2}}+12x+8=0\).

Решение:

\(3{{x}^{2}}+12x+8=3\left( {{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 2+4 \right)-12+8=3{{\left( x+2 \right)}^{2}}-4;\)

\(3{{\left( x+2 \right)}^{2}}-4=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\x+2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-2,\\x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-2.\end{array} \right.\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}-2;\text{ }-\frac{2\sqrt{3}}{3}-2\)

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

\(a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x \right)+c=a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x \right)+c=\) \(a\left( {{x}^{2}}+2\frac{b}{2a}x+{{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}} \right)+c-a\cdot {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}=a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}.\)

Значит, \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\Leftrightarrow a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\frac{{{b}^{2}}}{4a}=0\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}\).

Отсюда следует: \(x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\).

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

Проверь себя — реши задачи на квадратные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий