Квадратные уравнения

Содержание

Коротко о главном

Квадратное уравнение — это уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\) — коэффициенты квадратного уравнения, \(c\) – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты \(a\), \(b\), \(\displaystyle c\) не равны нулю. 

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(a=1\), то есть: \({x}^{2}+bx+c=0\).

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(b\) и или свободный член с равны нулю:

  • если коэффициент \(b=0\), уравнение имеет вид: \(a{{x}^{2}}+c=0\),
  • если свободный член \(\displaystyle c=0\), уравнение имеет вид: \(a{{x}^{2}}+bx=0\),
  • если \(b=0\) и \(\displaystyle c=0\), уравнение имеет вид: \(a{{x}^{2}}=0\).

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

      1.1. Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+c=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle c\ne 0\):

1) Выразим неизвестное: \({{x}^{2}}=\)\(\displaystyle -\frac{c}{a}\),

2) Проверяем знак выражения \(\displaystyle -\frac{c}{a}\):

  • если \(\displaystyle -\frac{c}{a}<0\), то уравнение не имеет решений,
  • если \(\displaystyle -\frac{c}{a}>0\), то уравнение имеет два корня \(x=\sqrt{(-\frac{c}{a})}\).

      1.2. Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+bx=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle b\ne 0\):

1) Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки: \(x\left( ax+b \right)=0\),

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: \(\left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.\)

      1.3. Неполное квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\):

Данное уравнение всегда имеет только один корень: \(x=0\).

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида \(a{{x}^{2}}+by+c=0,\) где \(a,b,c\ne 0\)

     2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: \(a{{x}^{2}}+by+c=0\),

2) Вычислим дискриминант по формуле: \(D={{b}^{2}}-4ac\), который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

  • если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня, которые находятся по формуле: \(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.\)
  • если \(D=0\), то уравнение имеет \(1\) корень, который находится по формуле: \(x=\frac{-b}{2a}\)
  • если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

     2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида \({x}^{2}+bx+c=0\), где \(a=1\)) равна \(-b\), а произведение корней равно \(c\), т.е. \(\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\), а \(\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c\).

      2.3. Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида \(a{{x}^{2}}+by+c=0\) имеет корни \(\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\), то его можно записать в виде : \(\displaystyle a\cdot (x-~{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\).

Проверь себя — реши задачи на квадратные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.