Квадратные уравнения

Содержание

Коротко о главном

Квадратное уравнение — это уравнение вида $latex a{{x}^{2}}+bx+c=0$, где $latex x$ – неизвестное, $latex a$, $latex b$ — коэффициенты квадратного уравнения, $latex c$ – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты $latex a$, $latex b$, $latex \displaystyle c$ не равны нулю. 

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент $latex a=1$, то есть: $latex {x}^{2}+bx+c=0$.

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент $latex b$ и или свободный член с равны нулю:

  • если коэффициент $latex b=0$, уравнение имеет вид: $latex a{{x}^{2}}+c=0$,
  • если свободный член $latex \displaystyle c=0$, уравнение имеет вид: $latex a{{x}^{2}}+bx=0$,
  • если $latex b=0$ и $latex \displaystyle c=0$, уравнение имеет вид: $latex a{{x}^{2}}=0$.

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

      1.1. Неполное квадратное уравнение вида $latex a{{x}^{2}}+c=0$, где $latex \displaystyle a\ne 0$, $latex \displaystyle c\ne 0$:

1) Выразим неизвестное: $latex {{x}^{2}}=$$latex \displaystyle -\frac{c}{a}$,

2) Проверяем знак выражения $latex \displaystyle -\frac{c}{a}$:

  • если $latex \displaystyle -\frac{c}{a}<0$, то уравнение не имеет решений,
  • если $latex \displaystyle -\frac{c}{a}>0$, то уравнение имеет два корня $latex x=\sqrt{(-\frac{c}{a})}$.

      1.2. Неполное квадратное уравнение вида $latex a{{x}^{2}}+bx=0$, где $latex \displaystyle a\ne 0$, $latex \displaystyle b\ne 0$:

1) Вынесем общим множитель $latex \displaystyle x$ за скобки: $latex x\left( ax+b \right)=0$,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: $latex \left[ \begin{array}{l}x=0,\\ax+b=0,\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0,\\x=-\frac{b}{a}.\end{array} \right.$

      1.3. Неполное квадратное уравнение вида $latex a{{x}^{2}}=0$, где $latex \displaystyle a\ne 0$:

Данное уравнение всегда имеет только один корень: $latex x=0$.

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида $latex a{{x}^{2}}+by+c=0,$ где $latex a,b,c\ne 0$

     2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: $latex a{{x}^{2}}+by+c=0$,

2) Вычислим дискриминант по формуле: $latex D={{b}^{2}}-4ac$, который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

  • если $latex D>0$, то уравнение имеет $latex \displaystyle 2$ корня, которые находятся по формуле: $latex x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{array} \right.$
  • если $latex D=0$, то уравнение имеет $latex 1$ корень, который находится по формуле: $latex x=\frac{-b}{2a}$
  • если $latex D<0$, то уравнение не имеет корней.

     2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида $latex {x}^{2}+bx+c=0$, где $latex a=1$) равна $latex -b$, а произведение корней равно $latex c$, т.е. $latex \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b$, а $latex \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c$.

      2.3. Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида $latex a{{x}^{2}}+by+c=0$ имеет корни $latex \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$, то его можно записать в виде : $latex \displaystyle a\cdot (x-~{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})$.

Проверь себя — реши задачи на квадратные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.