Квадратный корень. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Введение понятия арифметического квадратного корня

Давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «корень» и «с чем его едят». Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение $latex \displaystyle {{x}^{2}}=4$. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом $latex \displaystyle 4$? Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: $latex \displaystyle 2$ и $latex \displaystyle -2$ (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)! Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ$latex \displaystyle \sqrt{\ }$.

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа $latex \displaystyle a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $latex \displaystyle a$.
$latex \displaystyle (\sqrt{a}=x,\ {{x}^{2}}=a;\ x,\ a\ge 0)$.

А почему же число $latex a$ должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен $latex \sqrt{-9}$? Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: $latex {{3}^{2}}=9$, а не $latex -9$. Может, $latex \displaystyle \left( -3 \right)$? Опять же, проверяем: $latex {{\left( -3 \right)}^{2}}=9$. Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа $latex a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $latex a$». А в самом начале мы разбирали пример $latex {{x}^{2}}=4$, подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом $latex \displaystyle 4$, ответом были $latex \displaystyle 2$ и $latex \displaystyle -2$, а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, $latex \displaystyle {{x}^{2}}=4$ не равносильно выражению $latex x=\sqrt{4}$.

Из $latex {{x}^{2}}=4$ следует, что

$latex \left| x \right|=\sqrt{4}$, то есть $latex x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$ или $latex {{x}_{1}}=2$; $latex {{x}_{2}}=-2$ (не помнишь почему так? Почитай тему про модули!)

А из $latex x=\sqrt{4}$ следует, что $latex x=2$.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как $latex 2$, так и $latex x=-2$.

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение $latex {{x}^{2}}=3$. Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: $latex {{0}^{2}}=0$ – не подходит, двигаемся дальше $latex \displaystyle x=1$; $latex \displaystyle {{1}^{2}}=1$ – меньше трех, тоже отметаем, а что если $latex \displaystyle x=2$? Проверим: $latex \displaystyle {{2}^{2}}=4$ – тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между $latex \displaystyle 1$ и $latex \displaystyle 2$, а также между $latex \displaystyle -2$ и $latex \displaystyle -1$. Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции $latex \displaystyle y={{x}^{2}}$ и отметим на нем решения.

Нахождение квадратного корня графическим методом

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из $latex \displaystyle 3$, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что $latex \sqrt{3}=1,732050807568\ldots $ Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. $latex \sqrt{3}$ и $latex -\sqrt{3}$ уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.
Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной $latex \displaystyle 1$ км, сколько км тебе предстоит пройти?

Иллюстрация к задаче на нахождение квадратного корня

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: $latex {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}$. Таким образом, $latex {{c}^{2}}=1+1=2$. Так чему же здесь равно искомое расстояние? Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что $latex c=\sqrt{2}$. Корень из двух приблизительно равен $latex \displaystyle 1,41$, но, как мы заметили раньше, $latex c=\sqrt{2}$ -уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от $latex \displaystyle 1$ до $latex \displaystyle 20$, а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что $latex \displaystyle 15$ в квадрате равно $latex \displaystyle 225$, а также, наоборот, что $latex \displaystyle 225$ – это $latex \displaystyle 15$ в квадрате. Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Таблица: квадратный корень двузначных чисел

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.
Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

  1. $latex \sqrt{0}=?$;
  2. $latex \sqrt{64}=?$;
  3. $latex \sqrt{121}=?$;
  4. $latex \sqrt{289}=?$;
    Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:
  5. $latex \sqrt{0,0196}=?$;
  6. $latex \sqrt{0,0961}=?$;
  7. $latex \sqrt{0,0144}=?$.

Ответы:

  1. $latex \displaystyle 0$;
  2. $latex \displaystyle 8$;
  3. $latex \displaystyle 11$;
  4. $latex \displaystyle 17$;
  5. $latex \displaystyle 0,14$;
  6. $latex \displaystyle 0,31$;
  7. $latex \displaystyle 0,12$.

Больше задач — после регистрации.

 Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Свойство Пример
Корень произведения равен произведению корней$latex \displaystyle \sqrt[{}]{ab}=\sqrt[{}]{a}\cdot \sqrt[{}]{b}$, если $latex \displaystyle a\ge 0\ ,\ b\ge 0$ $latex \displaystyle \sqrt[{}]{64\cdot 9}=\sqrt[{}]{64}\cdot \sqrt[{}]{9}=8\cdot 3=24$
Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя.$latex \displaystyle \sqrt[{}]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[{}]{a}}{\sqrt[{}]{b}}$, если $latex \displaystyle a\ge 0\ ,\ b > 0$ $latex \displaystyle \sqrt[{}]{\frac{64}{9}}=\frac{\sqrt[{}]{64}}{\sqrt[{}]{9}}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$
Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение$latex \displaystyle {{\left( \sqrt{a} \right)}^{n}}={{\left( \sqrt{{{a}^{n}}} \right)}^{{}}}$, при $latex \displaystyle a\ge 0$ $latex \displaystyle {{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16}=4$

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

$latex \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{15}$

$latex \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}$

Минуууточку. $latex 12$ это $latex \displaystyle 4\cdot 3$, а это значит, что мы можем записать вот так:

$latex \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Усвоил? Вот тебе следующий:

$latex \sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}$

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

$latex \sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$

$latex \sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6$

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

$latex \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{10\cdot 3}=30$

Теперь полностью самостоятельно:

  1. $latex \sqrt{4}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{5}$
  2. $latex \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{7}$
  3. $latex \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}$

Ответы:

  1. $latex \sqrt{4}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 6\cdot 5}=\sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=2\sqrt{30}$;
  2. $latex \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{3\cdot 6\cdot 7}=\sqrt{126}$;
  3. $latex \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8$.

Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

$latex \displaystyle \sqrt[{}]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[{}]{a}}{\sqrt[{}]{b}}$, если $latex \displaystyle a\ge 0\ ,\ b\ge 0$.

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

$latex \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$

Вот и вся наука. А вот такой пример:

$latex \frac{\sqrt{12}}{3}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{12}{9}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

$latex \sqrt{\frac{144}{225}}=?$

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

$latex \sqrt{\frac{144}{225}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{225}}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8$

А вот такой примерчик:

$latex \sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{100}}=\frac{4}{10}=0,4$

Еще ты можешь встретить такое выражение:

$latex \sqrt{5\frac{19}{25}}=?$

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

$latex \sqrt{5\frac{19}{25}}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}=2,4$

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа $latex \displaystyle a$ – это число, квадратный корень которого равен $latex \displaystyle a$. Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен $latex \displaystyle a$, в квадрат, то что получаем? Ну, конечно, $latex \displaystyle a$!

Рассмотрим на примерах:
$latex {{\left( \sqrt{12} \right)}^{2}}=12$
$latex {{\left( \sqrt{17} \right)}^{2}}=17$
Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного! Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями (забыл? почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно).

Вот, к примеру, такое выражение:

$latex {{\left( \sqrt{5} \right)}^{6}}={{\left( {{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}} \right)}^{3}}={{5}^{3}}=125$

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

$latex {{\left( \sqrt{5} \right)}^{7}}={{\left( \sqrt{5} \right)}^{6}}\cdot \sqrt{5}=125\sqrt{5}$

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

$latex \sqrt{{{3}^{2}}}=\sqrt{9}=3$

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:
$latex \sqrt{{{3}^{6}}}=\sqrt{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{2}}}={{3}^{3}}=27$
$latex \sqrt{{{3}^{5}}}=\sqrt{{{3}^{4}}\cdot 3}=\sqrt{{{\left( {{3}^{2}} \right)}^{2}}\cdot 3}={{3}^{2}}\cdot \sqrt{3}=9\sqrt{3}$
Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

  1. $latex \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}}$
  2. $latex \sqrt{{{6}^{6}}}$
  3. $latex {{\left( \sqrt{8} \right)}^{7}}$

А вот и ответы:

  1. $latex \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{9}=3$
  2. $latex \sqrt{{{6}^{6}}}=\sqrt{{{\left( {{6}^{3}} \right)}^{2}}}={{6}^{3}}=216$
  3. $latex {{\left( \sqrt{8} \right)}^{7}}={{\left( \sqrt{8} \right)}^{6}}\cdot \sqrt{8}=512\sqrt{8}$

Больше задач — после регистрации.

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня! Это совсем легко!

Допустим, у нас записано число $latex 3\sqrt{5}$

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из $latex 9$!

$latex 3\sqrt{5}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{45}$

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

$latex 3\sqrt{10}-\sqrt{45}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{90}-\sqrt{90}=0$
Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример — $latex 4\sqrt{6}-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}$
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

$latex 4\sqrt{6}-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16\cdot 6}-\sqrt{4\cdot 3\cdot 8}=\sqrt{96}-\sqrt{96}=0$

Молодец! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень? Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!) Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: $latex 3\sqrt{7}$ или $latex 2\sqrt{17}$?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня? Тогда вперед:

$latex 3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}$

$latex 2\sqrt{17}=\sqrt{4\cdot 17}=\sqrt{68}$

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень! Т.е. если $latex \displaystyle 68>63$, значит, $latex \sqrt{68}>\sqrt{63}$. Отсюда твердо делаем вывод, что $latex 3\sqrt{7}<2\sqrt{17}$. И никто не убедит нас в обратном!

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

$latex \sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{49}\cdot \sqrt{2}=7\sqrt{2}$

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

$latex \sqrt{98}=\sqrt{7\cdot 14}$

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

$latex \sqrt{98}=\sqrt{7\cdot 14}=\sqrt{7\cdot 7\cdot 2}=\sqrt{{{7}^{2}}\cdot 2}=7\sqrt{2}$

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

$latex \sqrt{15}\cdot \sqrt{180}\cdot \sqrt{12}$

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

$latex \sqrt{15}\cdot \sqrt{180}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{36\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 6}$

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

$latex \begin{array}{l}\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{36\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 6}=\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{3\cdot 12\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 3\cdot 2}=\\=\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{3\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 3\cdot 2}\end{array}$

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

$latex \begin{array}{l}\sqrt{5\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{5\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\\=\sqrt{25}\cdot \sqrt{81}\cdot \sqrt{16}=5\cdot 9\cdot 4=180\end{array}$

Вот и все, не так все и страшно, правда?

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

$latex \sqrt{15}\cdot \sqrt{54}\cdot \sqrt{10}=?$

Получилось $latex 90$? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

$latex \sqrt{4225}=?$

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам. Ну что, начнем раскладывать $latex 4225$ на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на $latex 5$ (вспоминаем признаки делимости):

$latex \begin{array}{l}\sqrt{4225}=\sqrt{845\cdot 5}=\sqrt{169\cdot 5\cdot 5}=\\=\sqrt{13\cdot 13\cdot 5\cdot 5}=5\cdot 13=65\end{array}$

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

$latex \sqrt{2304}=?$

Ну что, получилось $latex 48$? Молодец, все верно!

Больше задач — после регистрации.

Подведем итоги

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа $latex a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $latex a$.
    $latex \displaystyle (\sqrt{a}=x,\ {{x}^{2}}=a;\ x,\ a\ge 0)$.
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  3. Свойства арифметического корня:
    Свойство Пример
    Корень произведения равен произведению корней$latex \displaystyle \sqrt[{}]{ab}=\sqrt[{}]{a}\cdot \sqrt[{}]{b}$, если $latex \displaystyle a\ge 0\ ,\ b\ge 0$ $latex \displaystyle \sqrt[{}]{64\cdot 9}=\sqrt[{}]{64}\cdot \sqrt[{}]{9}=8\cdot 3=24$
    Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя.$latex \displaystyle \sqrt[{}]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[{}]{a}}{\sqrt[{}]{b}}$, если $latex \displaystyle a\ge 0\ ,\ b\ge 0$ $latex \displaystyle \sqrt[{}]{\frac{64}{9}}=\frac{\sqrt[{}]{64}}{\sqrt[{}]{9}}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$
    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение$latex \displaystyle {{\left( \sqrt{a} \right)}^{n}}={{\left( \sqrt{{{a}^{n}}} \right)}^{{}}}$, при $latex \displaystyle a\ge 0$ $latex \displaystyle {{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16}=4$
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Проверь себя — реши задачи на квадратный корень.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий