Линейная функция. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция.

Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция \(y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \(x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \(y\) (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции \(y=\sqrt{x}\) отрицательные значения аргумента \(x\) – недопустимы.

Линейная функция

Вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной? Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \(D\left( y \right)\) и область значений \(E\left( y \right)\).

Какими могут быть значения аргумента линейной функции \(y=kx+b\)? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

\(D\left( y \right)=\mathbb{R}\)

или \(D\left( y \right)=\left( -\infty ;+\infty  \right)\).

А множество значений? Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент \(x\), тем больше значение функции \(y\). Значит, \(y\) так же как и \(x\) может принимать все возможные значения, то есть \(E\left( y \right)=\mathbb{R}\), верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: \(y=kx+b\). Какие нужно выбрать коэффициенты \(k\) и \(b\), чтобы значение функции y не зависело от аргумента \(x\)? А вот какие: \(b\) – любое, но \(k=0\). И правда, каким бы ни был аргумент \(x\), при умножении на \(k=0\) получится \(0\)! Тогда функция станет равна \(y=0\cdot x+b=b\), то есть она принимает одно и то же значение при всех \(x\):

\(y = kx + b:{\rm{  }}\left[ \begin{array}{l}E\left( y \right) = \mathbb{R}{\rm{ при }}k \ne 0\\E\left( y \right) = \left\{ b \right\}{\rm{ при }}k = 0.\end{array} \right.\)

Теперь рассмотрим пару задач на линейную функцию.

  1. При увеличении аргумента функции \(y=kx+b\) на \(2\), функция увеличилась на \(4\). Найдите коэффициент \(k\).
  2. При увеличении аргумента функции \(y=kx+b\) на \(1\), функция уменьшилась на \(3\). Найдите коэффициент \(k\).
  3. Дана функция \(y=kx+b\). При \(x=3:y=1\), а при \(x=5:y=-1\). Определите коэффициенты \(k\) и \(b\) функции.

Решения:

1. Пусть начальное значение аргумента равно некому числу \({{x}_{1}}\). После увеличения на \(2\) аргумент стал равен: \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\).

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

\({{y}_{1}}=k\cdot {{x}_{1}}+b\)

После увеличения: \({{y}_{2}}=k\cdot {{x}_{2}}+b=k\left( {{x}_{1}}+2 \right)+b=k\cdot {{x}_{1}}+2k+b\).

Функция увеличилась на \(4\). Как это записать на «математическом языке» (в виде уравнения)? Изменение – это разность конечного и начального значений. Значит, нужно из конечного значения функции \(y\) вычесть начальное:

\(4={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=\left( k\cdot {{x}_{1}}+2k+b \right)-\left( k\cdot {{x}_{1}}+b \right)=\underline{k\cdot {{x}_{1}}}+2k+\underline{\underline{b}}-\underline{k\cdot {{x}_{1}}}-\underline{\underline{b}}=2k\)

\(4=2k\text{  }\Rightarrow \text{  }k=2\)

Ответ: \(2\).

2. Аналогично предыдущей задаче:

Начальное значение аргумента равно \({{x}_{1}}\), конечное – \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+1\).

Начальное значение функции: \({{y}_{1}}=k{{x}_{1}}+b\);

конечное значение функции: \({{y}_{2}}=k{{x}_{2}}+b=k\left( {{x}_{1}}+1 \right)+b=k{{x}_{1}}+k+b\).

В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:

\(-3={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=\left( k\cdot {{x}_{1}}+k+b \right)-\left( k\cdot {{x}_{1}}+b \right)=\underline{k\cdot {{x}_{1}}}+k+\underline{\underline{b}}-\underline{k\cdot {{x}_{1}}}-\underline{\underline{b}}=k\)

\(-3=k\)

Ответ: \(-3\).

Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу:

При изменении аргумента линейной функции на \(\Delta x\) функция изменяется на \(k\cdot \Delta x\). То есть изменение функции всегда ровно в \(\mathbf{k}\) раз больше изменения аргумента.

По-сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.

3. Подставим известные значения аргумента и функции в формулу \(y=kx+b\):

\(1=k\cdot 3+b\)

\(-1=k\cdot 5+b\)

Получили два уравнения относительно \(k\) и \(b\). Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 3k + b\\ — 1 = 5k + b\end{array} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\(1-\left( -1 \right)=3k+b-\left( 5k+b \right)\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2=-2k\text{  }\Rightarrow \text{  }k=-1\)

Подставим найденное значение k в первое уравнение:

\(1=3\cdot \left( -1 \right)+b\text{  }\Rightarrow \text{  }b=4\)

Вот и все.

Ответ: \(-1;\text{ }4.\)

Больше задач — после регистрации.

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия. Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция  \(y=2x+1\). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек. То есть нужно взять любые два значения аргумента \(x\) и вычислить соответствующие два значения функции. Затем для каждой пары \(\left( x;y \right)\) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент \(x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1\).

Итак, первая точка имеет координаты \(\left( 0;1 \right)\).

Теперь возьмем любое другое число в качестве \(x\), например, \(x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3\).

Вторая точка имеет координаты \(\left( 1;3 \right)\).

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Линейная функция 1

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Линейная функция y=2x+1

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: \(y={x} -1\) и \(y=-x+2\). Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений \(x\), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую. Должно получиться так:

Линейная функция 3

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\). Давай разберемся, на что они влияют.

Для начала выясним, что делает коэффициент \(\displaystyle b\). Рассмотрим функцию \(\displaystyle y=x+b\), то есть \(\displaystyle k=1\). Меняя \(\displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений \(\displaystyle b:b=-2,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2\):

Линейная функция 4

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики? Это сразу видно: чем больше \(\displaystyle b\), тем выше располагается прямая. Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \(\displaystyle \mathbf{y}\) в точке с координатой, равной \(\displaystyle \mathbf{b}\)!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \(\displaystyle y\)? Чему равен \(\displaystyle x\) в такой точке? В любой точке оси ординат (это название оси \(\displaystyle y\), если ты забыл) \(\displaystyle x=0\). Значит достаточно подставить \(\displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \(\displaystyle y\):

\(\displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)

Теперь по поводу \(\displaystyle k\). Рассмотрим функцию \(\displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \(\displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком. Построим графики для \(\displaystyle k=-3,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2:\)

Линейная функция 5

Так, теперь ясно: \(\displaystyle k\) влияет на наклон графика. Чем больше \(\displaystyle k\) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – \(\displaystyle Ox\)) расположена прямая. Если \(\displaystyle k>0\), график наклонен «вправо», при \(\displaystyle k<0\) – «влево». А когда \(\displaystyle k=0\), прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график \(\displaystyle y=kx+b\):

Линейная функция y=kx+b

Выберем на графике две точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\). Для простоты выберем точку \(\displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \(\displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \(\displaystyle \left( x;y \right)\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABC\), построенный на отрезке \(\displaystyle AB\) как на гипотенузе. Из рисунка видно, что \(\displaystyle AC=x\), \(\displaystyle BC=y-b\).

Подставим \(\displaystyle y=kx+b\) в  \(\displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).

Получается, что \(BC = k \cdot AC{\rm{  }} \Rightarrow {\rm{  }}k = \frac{{BC}}{{AC}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \).

Итак, коэффициент \(\displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс. Именно поэтому его (коэффициент \(\displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда \(k < 0,{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  < 0,\) что соответствует тупому углу:

Линейная функция 7

Если же \(\displaystyle k=0\), тогда и \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  = 0,\) следовательно \(\displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсциссс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Например:

1. Найдите коэффициенты \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

Линейная функция 8

2. Найдите коэффициенты \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

Линейная функция 9

3. График какой из функций избражен на рисунке?

a) \(y=-2x+3\)

b) \(y=2x+3\)

c) \(y=3x+2\)

d) \(y=-3x+3\)

Линейная функция 10

Решения:

1. Коэффициент \(b\) найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью \(\displaystyle Oy\):

\(\displaystyle b=-1\)

Угловой коэффициент \(\displaystyle k\) – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AB\):

Линейная функция 11

\(k = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{2}{1} = 2\)

Теперь можно составить уравнение этой прямой:

\(y=2{x} -1\)

2. Все аналогично предыдущей задаче.

\(b=2\)

Поскольку график наклонен «влево», угол межну ним и осью абсцисс тупой, а значит, угловой коэффициент отрицательный.

Линейная функция 12

Чтобы было проще найти тангенс угла наклона \(\alpha \), рассмотрим смежный с ним угол \(\beta \). Тангенсы смежных углов равны по модулю, и противоположны по знаку:

\({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  =  — {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta \)

\(\Delta ABC:{\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta  = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{1} = 3{\rm{  }} \Rightarrow {\rm{  }}k = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  =  — 3\)

Уравнение этой прямой выглядит так:

\(\displaystyle y=-3x+2\)

3. И снова в первую очередь смотрим на \(\displaystyle b:b=3\). Значит, есть смысл рассматривать только функции a), b) и d). Теперь посмотрим, каким должен быть угловой коэффициент? Во-первых, он должен быть отрицательным, значит, выбрасываем ответ b). Остается a) и d).

Чтобы выбрать из них, придется найти тангенс угла наклона графика:

Линейная функция 13

\(\begin{array}{l}k = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  =  — {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta ;\\tg\beta  = \frac{{AC}}{{BC}} = 2{\rm{  }} \Rightarrow {\rm{  }}k =  — 2\end{array}\)

Отлично, значит уравнение этой прямой выглядит так:

\(y=-2x+3\)

То есть правильный ответ: a.

Точка пересечения графика с осью ординат – это коэффициент \(b\). А что можно сказать про точку пересечения с осью абсцисс?

В случае пересечения с осью \(Oy\) координата \(x=0\). При пересечении оси \(Ox\) – аналогично, координата \(y=0\):

\(0=kx+b\)

Да это же простое линейное уравнение! И действительно, такое линейное уравнение говорит нам, при каких значениях аргумента \(x\) функция \(y=0\), то есть корни такого уравнения – это координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Это справедливо, кстати, для любой функции/уравнения. Например, корни квадратного уравнения – это точки пересечения графика квадратичной функции – параболы – с осью \(Ox\). Но подробнее об этом ты узнаешь в темах «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция».

Проверь себя — реши задачи на линейную функцию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *