Линейная функция. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция.

Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция $latex y=f\left( x \right)$, это значит что каждому допустимому значению переменной $latex x$ (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной $latex y$ (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции $latex y=\sqrt{x}$ отрицательные значения аргумента $latex x$ – недопустимы.

Линейная функция

Вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида $latex y=kx+b$, где $latex k$ и $latex b$ ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной? Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения $latex D\left( y \right)$ и область значений $latex E\left( y \right)$.

Какими могут быть значения аргумента линейной функции $latex y=kx+b$? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

$latex D\left( y \right)=\mathbb{R}$

или $latex D\left( y \right)=\left( -\infty ;+\infty  \right)$.

А множество значений? Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент $latex x$, тем больше значение функции $latex y$. Значит, $latex y$ так же как и $latex x$ может принимать все возможные значения, то есть $latex E\left( y \right)=\mathbb{R}$, верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: $latex y=kx+b$. Какие нужно выбрать коэффициенты $latex k$ и $latex b$, чтобы значение функции y не зависело от аргумента $latex x$? А вот какие: $latex b$ – любое, но $latex k=0$. И правда, каким бы ни был аргумент $latex x$, при умножении на $latex k=0$ получится $latex 0$! Тогда функция станет равна $latex y=0\cdot x+b=b$, то есть она принимает одно и то же значение при всех $latex x$:

\(y = kx + b:{\rm{  }}\left[ \begin{array}{l}E\left( y \right) = \mathbb{R}{\rm{ при }}k \ne 0\\E\left( y \right) = \left\{ b \right\}{\rm{ при }}k = 0.\end{array} \right.\)

Теперь рассмотрим пару задач на линейную функцию.

  1. При увеличении аргумента функции $latex y=kx+b$ на $latex 2$, функция увеличилась на $latex 4$. Найдите коэффициент $latex k$.
  2. При увеличении аргумента функции $latex y=kx+b$ на $latex 1$, функция уменьшилась на $latex 3$. Найдите коэффициент $latex k$.
  3. Дана функция $latex y=kx+b$. При $latex x=3:y=1$, а при $latex x=5:y=-1$. Определите коэффициенты $latex k$ и $latex b$ функции.

Решения:

1. Пусть начальное значение аргумента равно некому числу $latex {{x}_{1}}$. После увеличения на $latex 2$ аргумент стал равен: $latex {{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$.

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

$latex {{y}_{1}}=k\cdot {{x}_{1}}+b$

После увеличения: $latex {{y}_{2}}=k\cdot {{x}_{2}}+b=k\left( {{x}_{1}}+2 \right)+b=k\cdot {{x}_{1}}+2k+b$.

Функция увеличилась на $latex 4$. Как это записать на «математическом языке» (в виде уравнения)? Изменение – это разность конечного и начального значений. Значит, нужно из конечного значения функции $latex y$ вычесть начальное:

$latex 4={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=\left( k\cdot {{x}_{1}}+2k+b \right)-\left( k\cdot {{x}_{1}}+b \right)=\underline{k\cdot {{x}_{1}}}+2k+\underline{\underline{b}}-\underline{k\cdot {{x}_{1}}}-\underline{\underline{b}}=2k$

$latex 4=2k\text{  }\Rightarrow \text{  }k=2$

Ответ: $latex 2$.

2. Аналогично предыдущей задаче:

Начальное значение аргумента равно $latex {{x}_{1}}$, конечное – $latex {{x}_{2}}={{x}_{1}}+1$.

Начальное значение функции: $latex {{y}_{1}}=k{{x}_{1}}+b$;

конечное значение функции: $latex {{y}_{2}}=k{{x}_{2}}+b=k\left( {{x}_{1}}+1 \right)+b=k{{x}_{1}}+k+b$.

В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:

$latex -3={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=\left( k\cdot {{x}_{1}}+k+b \right)-\left( k\cdot {{x}_{1}}+b \right)=\underline{k\cdot {{x}_{1}}}+k+\underline{\underline{b}}-\underline{k\cdot {{x}_{1}}}-\underline{\underline{b}}=k$

$latex -3=k$

Ответ: $latex -3$.

Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу:

При изменении аргумента линейной функции на $latex \Delta x$ функция изменяется на $latex k\cdot \Delta x$. То есть изменение функции всегда ровно в $latex \mathbf{k}$ раз больше изменения аргумента.

По-сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.

3. Подставим известные значения аргумента и функции в формулу $latex y=kx+b$:

$latex 1=k\cdot 3+b$

$latex -1=k\cdot 5+b$

Получили два уравнения относительно $latex k$ и $latex b$. Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 3k + b\\ — 1 = 5k + b\end{array} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:

$latex 1-\left( -1 \right)=3k+b-\left( 5k+b \right)\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2=-2k\text{  }\Rightarrow \text{  }k=-1$

Подставим найденное значение k в первое уравнение:

$latex 1=3\cdot \left( -1 \right)+b\text{  }\Rightarrow \text{  }b=4$

Вот и все.

Ответ: $latex -1;\text{ }4.$

Больше задач — после регистрации.

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия. Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция  $latex y=2x+1$. Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек. То есть нужно взять любые два значения аргумента $latex x$ и вычислить соответствующие два значения функции. Затем для каждой пары $latex \left( x;y \right)$ найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент $latex x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1$.

Итак, первая точка имеет координаты $latex \left( 0;1 \right)$.

Теперь возьмем любое другое число в качестве $latex x$, например, $latex x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3$.

Вторая точка имеет координаты $latex \left( 1;3 \right)$.

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Линейная функция 1

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Линейная функция y=2x+1

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: $latex y={x} -1$ и $latex y=-x+2$. Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений $latex x$, отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую. Должно получиться так:

Линейная функция 3

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах $latex \displaystyle k$ и $latex \displaystyle b$. Давай разберемся, на что они влияют.

Для начала выясним, что делает коэффициент $latex \displaystyle b$. Рассмотрим функцию $latex \displaystyle y=x+b$, то есть $latex \displaystyle k=1$. Меняя $latex \displaystyle b$ будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений $latex \displaystyle b:b=-2,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2$:

Линейная функция 4

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики? Это сразу видно: чем больше $latex \displaystyle b$, тем выше располагается прямая. Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось $latex \displaystyle \mathbf{y}$ в точке с координатой, равной $latex \displaystyle \mathbf{b}$!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью $latex \displaystyle y$? Чему равен $latex \displaystyle x$ в такой точке? В любой точке оси ординат (это название оси $latex \displaystyle y$, если ты забыл) $latex \displaystyle x=0$. Значит достаточно подставить $latex \displaystyle x=0$ в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью $latex \displaystyle y$:

$latex \displaystyle y=k\cdot 0+b=b$

Теперь по поводу $latex \displaystyle k$. Рассмотрим функцию $latex \displaystyle \left( b=0 \right).$ Будем менять $latex \displaystyle k$ и смотреть, что происходит с графиком. Построим графики для $latex \displaystyle k=-3,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2:$

Линейная функция 5

Так, теперь ясно: $latex \displaystyle k$ влияет на наклон графика. Чем больше $latex \displaystyle k$ по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – $latex \displaystyle Ox$) расположена прямая. Если $latex \displaystyle k>0$, график наклонен «вправо», при $latex \displaystyle k<0$ – «влево». А когда $latex \displaystyle k=0$, прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график $latex \displaystyle y=kx+b$:

Линейная функция y=kx+b

Выберем на графике две точки $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle B$. Для простоты выберем точку $latex \displaystyle A$ на пересечении графика с осью ординат. Точка $latex \displaystyle B$ – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны $latex \displaystyle \left( x;y \right)$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $latex \displaystyle ABC$, построенный на отрезке $latex \displaystyle AB$ как на гипотенузе. Из рисунка видно, что $latex \displaystyle AC=x$, $latex \displaystyle BC=y-b$.

Подставим $latex \displaystyle y=kx+b$ в  $latex \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx$.

Получается, что \(BC = k \cdot AC{\rm{  }} \Rightarrow {\rm{  }}k = \frac{{BC}}{{AC}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \).

Итак, коэффициент $latex \displaystyle k$ равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс. Именно поэтому его (коэффициент $latex \displaystyle k$) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда \(k < 0,{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  < 0,\) что соответствует тупому углу:

Линейная функция 7

Если же $latex \displaystyle k=0$, тогда и \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  = 0,\) следовательно $latex \displaystyle \alpha =0$, то есть прямая параллельна оси абсциссс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Например:

1. Найдите коэффициенты $latex \displaystyle k$ и $latex \displaystyle b$ линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

Линейная функция 8

2. Найдите коэффициенты $latex \displaystyle k$ и $latex \displaystyle b$ линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

Линейная функция 9

3. График какой из функций избражен на рисунке?

a) $latex y=-2x+3$

b) $latex y=2x+3$

c) $latex y=3x+2$

d) $latex y=-3x+3$

Линейная функция 10

Решения:

1. Коэффициент $latex b$ найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью $latex \displaystyle Oy$:

$latex \displaystyle b=-1$

Угловой коэффициент $latex \displaystyle k$ – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle B$ на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $latex \displaystyle AB$:

Линейная функция 11

\(k = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{2}{1} = 2\)

Теперь можно составить уравнение этой прямой:

$latex y=2{x} -1$

2. Все аналогично предыдущей задаче.

$latex b=2$

Поскольку график наклонен «влево», угол межну ним и осью абсцисс тупой, а значит, угловой коэффициент отрицательный.

Линейная функция 12

Чтобы было проще найти тангенс угла наклона $latex \alpha $, рассмотрим смежный с ним угол $latex \beta $. Тангенсы смежных углов равны по модулю, и противоположны по знаку:

\({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  =  — {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta \)

\(\Delta ABC:{\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta  = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{1} = 3{\rm{  }} \Rightarrow {\rm{  }}k = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  =  — 3\)

Уравнение этой прямой выглядит так:

$latex \displaystyle y=-3x+2$

3. И снова в первую очередь смотрим на $latex \displaystyle b:b=3$. Значит, есть смысл рассматривать только функции a), b) и d). Теперь посмотрим, каким должен быть угловой коэффициент? Во-первых, он должен быть отрицательным, значит, выбрасываем ответ b). Остается a) и d).

Чтобы выбрать из них, придется найти тангенс угла наклона графика:

Линейная функция 13

\(\begin{array}{l}k = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  =  — {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta ;\\tg\beta  = \frac{{AC}}{{BC}} = 2{\rm{  }} \Rightarrow {\rm{  }}k =  — 2\end{array}\)

Отлично, значит уравнение этой прямой выглядит так:

$latex y=-2x+3$

То есть правильный ответ: a.

Точка пересечения графика с осью ординат – это коэффициент $latex b$. А что можно сказать про точку пересечения с осью абсцисс?

В случае пересечения с осью $latex Oy$ координата $latex x=0$. При пересечении оси $latex Ox$ – аналогично, координата $latex y=0$:

$latex 0=kx+b$

Да это же простое линейное уравнение! И действительно, такое линейное уравнение говорит нам, при каких значениях аргумента $latex x$ функция $latex y=0$, то есть корни такого уравнения – это координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Это справедливо, кстати, для любой функции/уравнения. Например, корни квадратного уравнения – это точки пересечения графика квадратичной функции – параболы – с осью $latex Ox$. Но подробнее об этом ты узнаешь в темах «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция».

Проверь себя — реши задачи на линейную функцию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий