Логарифмические неравенства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В базовом уровне теории мы с тобой разобрали, как решать простейшие логарифмические неравенства вида:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}f(x)<{{\log }_{a}}g(x)\)

Мы сформулировали основное правило их решения, которое гласит, что:

решение логарифмического неравенства вида
\(\displaystyle {{\log }_{a}}f(x)<{{\log }_{a}}g(x)\)

равносильно решению следующих систем:

а) \(\displaystyle 0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f(x)>g(x)\\g(x)>0\end{array} \right.\)

б) \(\displaystyle a>1:\left\{ \begin{array}{l}f(x)<g(x)\\g(x)>0\end{array} \right.\)

 

Неравенство \(\displaystyle {{\log }_{a}}f(x)>{{\log }_{a}}g(x)\) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

а) \(\displaystyle 0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f(x)<g(x)\\g(x)>0\end{array} \right.\)

б) \(\displaystyle a>1:\left\{ \begin{array}{l}f(x)>g(x)\\g(x)<0\end{array} \right.\)

Также мы привели несколько примеров таких неравенств, которые некоторыми (не очень обременительными) процедурами приводятся к простейшему виду. Так что при изложении дальнейшего материала в этой статье, я буду уже предполагать, что с базовыми навыками решения логарифмических неравенств ты знаком.

Однако за бортом у нас осталось несколько случаев:

1. А что, если нет такого метода, когда неравенство можно привести к простейшему виду, описанному выше?

2. А что, если основание у логарифма не постоянное число, а некоторая функция, зависящая от переменной \(\displaystyle x\)?

3. А что, если основания в логарифмических неравенствах разные?

Ответы на эти вопросы дадут нам с тобой ключи, необходимые для решения более сложных логарифмических неравенств, нежели простейшие.

Я начну с первого метода, который мы используем не только при решении неравенств, но также и при отыскании корней некоторых уравнений: метод замены переменной.

Давай рассмотрим следующий пример:

\(\displaystyle {{\log }_{2}}^{2}x+{{\log }_{2}}x\ge 12\)

Что мне видно сразу? А то, что \(\displaystyle 0,5={{2}^{-1}}\), и поскольку

\(\displaystyle \frac{1}{r}\cdot {{\log }_{a}}b={{\log }_{{{a}^{r}}}}b\),

То я перейду к равносильному неравенству вида:

\(\displaystyle {{\log }_{2}}^{2}x-{{\log }_{2}}x>12\)

Мы с тобой видим, что такое неравенство уже нельзя назвать элементарным. Почему? Да потому, что логарифм в него входит во второй степени. А разве такие неравенства мы называли элементарными? Вот и я думаю, что нет. Как же нам поступить? Я думаю, что замена здесь напрашивается сама собой: \(\displaystyle t={{\log }_{2}}x\), тогда наше исходное неравенство будет равносильно следующему:

\(\displaystyle {{t}^{2}}-t-12>0\).

Его ты без проблем решишь методом интервалов. Тогда ты можешь сделать вывод, что:

\(\displaystyle t\in (-\infty ;-3)\cup (4;+\infty )\)

Или я могу записать решение в виде совокупности (я напомню, что решением совокупности есть те числа, которые являются решением первого ИЛИ второго неравенства, то есть их объединение):

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}t<-3\\t>4\end{array} \right.\)

Сделаю обратную замену:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x<-3\\{{\log }_{2}}x>4\end{array} \right.\)

Учитывая, что из ОДЗ следует, что \(\displaystyle x>0\), то получу следующую систему относительно \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\\left[ \begin{array}{l}x<\frac{1}{8}\\x>16\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Говоря русским языком, моему неравенству принадлежат те \(\displaystyle x\), которые меньше одной восьмой ИЛИ больше \(\displaystyle 16\), И одновременно при этом больше нуля:

\(\displaystyle x\in \left( 0;\frac{1}{8} \right)\cup (16;+\infty )\)

Все не так уж и сложно, правда? Вот еще один пример на замену переменных в неравенстве:

\(\displaystyle \frac{lgx-1}{\lg x\cdot (\lg x+1)}>0\)

Мне кажется, здесь опять замена напрашивается сама собой: \(\displaystyle t=\lg x\)

Тогда я получу:

\(\displaystyle \frac{t-1}{t\cdot (t+1)}>0\)

Решу данное неравенство методом интервалов (ну а ты, конечно, проделаешь это самостоятельно!) Давай сравним? У меня получилось:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}-1<t<0\\t>1\end{array} \right.\)

Эта запись эквивалентна вот такой: \(\displaystyle t\in (1;0)\cup (1;+\infty )\) но пока я не вернулся к исходной переменной x мне удобнее «думать» в терминах систем и совокупностей решений.

Теперь я вспоминаю, что у меня \(\displaystyle t=\lg x\) и \(\displaystyle x>0\), тогда исходное неравенство будет равносильна вот такой системе:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\\left[ \begin{array}{l}-1<\lg x<0\\\lg x>1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Первое неравенство совокупности я опять-таки представлю как систему:

\(\displaystyle -1<\lg x<0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\lg x<0\\\lg x>-1\end{array} \right.\)

Ее решениями будут: \(\displaystyle x\in \left( \frac{1}{10};1 \right)\). (Ты ведь сам сможешь это без проблем получить, решив два простейших логарифмических неравенства?).

Решением неравенства \(\displaystyle \lg x>1\) будет : \(\displaystyle x\in (10;+\infty )\).

Тогда мою систему относительно \(\displaystyle lgx\) я запишу вот в таком виде уже относительно просто \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\\left[ \begin{array}{l}x\in \left( \frac{1}{10};1 \right)\\x\in (10;+\infty )\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Тебе осталось лишь пожинать плоды, записав правильный ответ

\(\displaystyle x\in \left( \frac{1}{10};1 \right)\cup \left( 10;+\infty  \right)\)

Я так думаю, что метод замены переменной тебе вполне ясен? Здесь нет ничего сложного: ты просто подбираешь удобную замену (ах, если бы это всегда было так просто на практике, затем решаешь новое неравенство уже относительно введенной переменной, а потом делаешь обратную замену, пристально следя за «судьбой» того, что ты заменял. В любом случае, в конце статьи я приведу задачи, чтобы ты мог потренироваться в их решении.

Больше задач — после регистрации.

Теперь я хочу «вывалить» несколько видов неравенств, которые повергают неподготовленного ученика если не в ужас, то в некоторое смятение.

Например, менее тривиальным является случай, когда неравенство имеют переменное основание:

\(\displaystyle {{\log }_{h(x)}}f(x)V{{\log }_{h(x)}}g(x)\) (1)

где \(\displaystyle h(x),g(x),f(x)\) – некоторые функции, зависящие от \(\displaystyle x\), а \(\displaystyle V\) – один из знаков: \(\displaystyle >,<,\le ,\ge \). Хитрые математики, когда видят логарифмы, сразу же стараются от них избавиться, переходя к равносильным неравенствам. В частности для неравенства выше равносильным будет вот такое:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(f(x)-g(x))\cdot (h(x)-1)V0\\f(x)>0\\g(x)>0\\h(x)>0\\h(x)\ne 1\end{array} \right.\)

Бывают еще более печальные случаи, когда неравенство имеет вид:

\(\displaystyle {{\log }_{f(x)}}h(x)V{{\log }_{g(x)}}h(x)\), (2)

то есть представляет собой логарифмическое неравенство с РАЗНЫМИ основаниями, но одинаковыми выражениями «сверху». Для него равносильной системой будет следующая:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(f(x)-1)(g(x)-1)\cdot (h(x)-1)(g(x)-f(x))V0\\f(x)>0\\g(x)>0\\h(x)>0\\g(x)\ne 1\\h(x)\ne 1\end{array} \right.\)

Все становится все ужаснее и ужаснее, правда? Но ничего, скоро мы перейдем к примерам (очень важным!) и все встанет на свои места!

Вот последний вид «сложного» неравенства:

\(\displaystyle \text{lo}{{\text{g}}_{\text{t}\left( \text{x} \right)}}\text{f}\left( \text{x} \right)\cdot \text{lo}{{\text{g}}_{\text{h}\left( \text{x} \right)}}\text{g}\left( \text{x} \right)\text{V }\!\!~\!\!\text{ }0\) (3)

Ему равносильна следующая система:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(f(x)-1)(g(x)-1)\cdot (h(x)-1)(g(x)-1)V0\\f(x)>0\\g(x)>0\\h(x)>0\\t(x)>0\\t(x)\ne 1\\h(x)\ne 1\end{array} \right.\)

Представленный метод решения неравенств (1), (2), (3) говорит нам о том, как от сложного логарифмического неравенства (но одного!) перейти к простым неравенствам (но к целой системе!). По сути этот метод позволяет одно сложное свести к системе простых. Этот метод получил название декомпозиции (или рационализации). На самом деле, можно и не запоминать все формулы в каждой системе. Все, кроме первой – это просто-напросто ОДЗ (ну в самом деле, просто взгляни на них), а первое – это так называемое условие сохранения знака. К нему ты всегда можешь прийти, рассматривая случаи, когда \(\displaystyle 0<h\left( x \right)<1\) и когда \(\displaystyle h\left( x \right)>1\). В частности, если \(\displaystyle 0<h\left( x \right)<1\), то неравенство \(\displaystyle lo{{g}_{h\left( x \right)}}f\left( x \right)>~lo{{g}_{h\left( x \right)}}g\left( x \right)\) влечет за собой \(\displaystyle f\left( x \right)<g\left( x \right)\). С другой стороны, так как \(\displaystyle h\left( x \right)-1<0\) неравенство \(\displaystyle \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left( h\left( x \right)-1 \right)>0\) имеет место только тогда, когда \(\displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)<0\) или \(\displaystyle f\left( x \right)<g\left( x \right)\). Получили, что при \(\displaystyle 0<h\left( x \right)<1\) неравенства \(\displaystyle lo{{g}_{h\left( x \right)}}f\left( x \right)>~lo{{g}_{h\left( x \right)}}g\left( x \right)\) и \(\displaystyle \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left( h\left( x \right)-1 \right)>0\) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ). Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при \(\displaystyle h\left( x \right)>1\). Но если ты и эту формулу забыл, то ничего страшного, просто придется дольше поработать. Ты всегда можешь решить логарифмическое неравенство, опираясь только на определение логарифмической функции. В частности, неравенство

\(\displaystyle lo{{g}_{h\left( x \right)}}f\left( x \right)>~lo{{g}_{h\left( x \right)}}g\left( x \right)\)

Равносильно следующей системе:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f(x)>g(x)\\h(x)>1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(x)<g(x)\\0<h(x)<1\end{array} \right.\end{array} \right.\\f(x)>0\\g(x)>0\\h(x)>0\\h(x)\ne 0\end{array} \right.\)

Где сложное условие \(\displaystyle \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left( h\left( x \right)-1 \right)>0\) я заменил совокупностью из двух систем. Решение любого сложного логарифмического уравнения я рекомендую начинать с ОДЗ. В некоторых случаях это позволит тебе не решать одну из двух систем, поскольку будет заведомо известно, что ее решение не лежит в ОДЗ.

Ты уже в трепете перед этими сложными формулами? Я тебя понимаю. Однако, все, что я могу сказать: аппетит приходит во время еды. И большинство «монструозных» задач С3, имеющих в своем составе логарифмы, сводятся в конечном счете к одному из неравенств вида (1)-(3), либо решаются при помощи некоторой замены переменной. Я не хочу быть более голословным, поэтому перейду к примерам прямо сейчас. Обрати внимание, все следущие примеры взяты из ЕГЭ предыдущих лет!

Пример 1: (на хорошую замену)

\(\displaystyle lo{{g}_{x}}3+2lo{{g}_{3x}}3-6lo{{g}_{9x}}3\le 0\)

Во многих случаях, при решении «сложных» неравенств, может полезной оказаться одна из следующих формул:

\(\displaystyle lo{{g}_{a}}b=\frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}\), \(\displaystyle lo{{g}_{a}}b=\frac{1}{lo{{g}_{b}}a}\).

В данном случае мне удобно воспользоваться второй формулой. Понимаешь, почему? Да все потому, что все три логарифма содержат в себе тройку «наверху»!!

Если я преобразую исходное неравенство, то у меня получится:

\(\displaystyle \frac{1}{lo{{g}_{3}}x}+\frac{2}{lo{{g}_{3}}3x}-\frac{6}{lo{{g}_{3}}9x}\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{lo{{g}_{3}}x}+\frac{2}{1+lo{{g}_{3}}x}-\frac{6}{2+lo{{g}_{3}}x}\le 0\)

Теперь нам стала видна замена: \(\displaystyle y=lo{{g}_{3}}x\). Тогда исходное неравенство преобразуется к виду:

\(\displaystyle \frac{1}{y}+\frac{2}{1+y}-\frac{6}{2+y}\le 0\Leftrightarrow \frac{{{y}^{2}}+3y+2+2{{y}^{2}}+4y-6{{y}^{2}}-6y}{y\left( y+1 \right)\left( y+2 \right)}\le 0\)

\(\displaystyle \frac{-3{{y}^{2}}+y-2}{y\left( y+1 \right)\left( y+2 \right)}\le 0\Leftrightarrow ~\frac{\left( y-1 \right)\left( 3y+2 \right)}{y\left( y+1 \right)\left( y+2 \right)}\ge 0~\)

Теперь все, что мне осталось – это решить данное неравенство методом интервалов. (не забываем, что те числа, которые «нулят» числитель будут «закрашенными», а нулящие знаменатель – «выколотые», так как не принадлежат ОДЗ.)

Решением неравенства относительно \(\displaystyle y\) будет вот такое множество:

\(\displaystyle \left( -2,-1 \right)\mathop{\cup }^{}\left[ -\frac{2}{3},0 \right)\mathop{\cup }^{}\left[ 1,+\infty  \right)\)

Теперь вернусь к переменной \(\displaystyle x:\ {{\log }_{3}}x=y\Rightarrow \ x={{3}^{y}}\), тогда границы моего решения относительно y для переменной x будут следующие:

\(\displaystyle \left( \frac{1}{9},\frac{1}{3} \right)\mathop{\cup }^{}\left[ {{3}^{-\frac{2}{3}}},1 \right)\mathop{\cup }^{}\left[ 3,+\infty  \right)\)

А вот еще один пример на «сложную» замену переменной:

Пример 2:

\(\displaystyle \frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}\left( -49x \right)}\le \frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{\frac{1}{7}}}{{7}^{x}}}\)

Вначале найдем ОДЗ:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ne -1\\x\ne -\frac{1}{49}\\x\ne -3\\x<0\end{array} \right.\)

Вы можете оспорить второе выражение системы: В самом деле, откуда оно берется? А во всем виновато соотношение: \(\displaystyle lo{{g}_{a}}b=\frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}\), которое применимо к нашему случаю даст:

\(\displaystyle \frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}\left( -49x \right)}=lo{{g}_{\left( -49x \right)}}49=\frac{1}{lo{{g}_{49}}\left( -49x \right)}=\frac{1}{1+lo{{g}_{49}}\left( -x \right)}=\frac{2}{2+lo{{g}_{7}}\left( -x \right)}\)

Второе выражение преобразуем вот так:

\(\displaystyle \frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{\frac{1}{7}}}{{7}^{x}}}=\frac{1}{lo{{g}_{7}}\left( -lo{{g}_{7}}{{7}^{x}} \right)}=\frac{1}{lo{{g}_{7}}\left( -xlo{{g}_{7}}7 \right)}=\frac{1}{lo{{g}_{7}}\left( -x \right)}.\)

Тогда наше неравенство преобразуется к вот такому виду:

\(\displaystyle \frac{2}{2+lo{{g}_{7}}\left( -x \right)}\le \frac{1}{lo{{g}_{7}}\left( -x \right)}.\)

Ага, теперь замена напрашивается сама собой!!

\(\displaystyle t=lo{{g}_{7}}\left( -x \right)\), в таком случае я получу:

\(\displaystyle \frac{2}{2+t}\le \frac{1}{t}\)

Откуда я получу следующее решение относительно \(\displaystyle t\):

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}-\infty <t<-2\\0<t\le 2\end{array} \right.\)

Теперь вернемся к исходной переменной \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}-49\le x<-1\\-\frac{1}{49}<x<0\end{array} \right.\)

Однако, нам с тобой надо учесть накладываемые ограничения на \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}-49\le x<-1\\-\frac{1}{49}<x<0\\-3<x<-1\end{array} \right.\)

Тогда я запишу ответ:

\(\displaystyle \left[ -49;-3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( -3;-1 \right)\mathop{\cup }^{}\left( -\frac{1}{49};0 \right)\)

Теперь приведем пример неравенства с переменным основанием:

Пример 3:

\(\displaystyle lo{{g}_{{{x}^{2}}+1}}10<1\)

Мы можем преобразовать его к виду:

\(\displaystyle lo{{g}_{{{x}^{2}}+1}}10<lo{{g}_{{{x}^{2}}+1}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)

Тогда, наше неравенство имеет вид (1). Я напомню, что в этом случае решить наше неравенство – это все равно, что решить вот такую систему:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( 10-{{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1-1 \right)<0\\10>0\\{{x}^{2}}+1>0\\{{x}^{2}}+1\ne 1\end{array} \right.\)

Второе и третье неравенства системы выполняются автоматически. Четвертое, очевидно, имеет место, если \(\displaystyle x\) не равно \(\displaystyle 0\).

Ну а первое неравенство равносильно вот такому уравнению:

\(\displaystyle \left( 3-x \right)\left( 3+x \right)\cdot {{x}^{2}}<0\)

Решение этого неравенства – множество

\(\displaystyle x~\in ~\left( -\infty ~-3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 3;~+\infty  \right).\)

Ноль, которую вы должны отбросить, не принадлежит решению. Тогда ответ совпадет с решением неравенства \(\displaystyle \left( 3-x \right)\left( 3+x \right){{x}^{2}}<0.\)

Запишем ответ:

\(\displaystyle x~\in ~\left( -\infty ~-3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 3;~+\infty  \right).\)

Пример 4:

\(\displaystyle lo{{g}_{12{{x}^{2}}-41x+34}}\left( 3-x \right)\ge lo{{g}_{2{{x}^{2}}-5x+2}}\left( 3-x \right)\)

Данное неравенство имеет вид (2). Значит перейдем к равносильной ему системе:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( 12{{x}^{2}}-41x+34 \right)\left( 2-x \right)\left( 2{{x}^{2}}-5x+2 \right)\left( 10{{x}^{2}}-46x+38 \right)\ge 0\\12{{x}^{2}}-41x+35>0\\2{{x}^{2}}-5x+2>0\\3-x>0\\12{{x}^{2}}-41x+35\ne 1\\2{{x}^{2}}-5x+2\ne 1\end{array} \right.\)

Теперь твоя цель – решить методом интервалов каждое из указанных в системе неравенств, а затем найти область их пересечения. Я самоустраняюсь от этой (хоть и тривиальной, но достаточно трудоемкой) задачи, и доверяю ее тебе. Окончательный ответ будет вот таким:

\(\displaystyle \left( \frac{1}{2};1 \right)\mathop{\cup }^{}\left[ \frac{8}{5};\frac{5}{3} \right)\mathop{\cup }^{}\left( \frac{7}{4};2 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 2;3 \right)\)

В данной статье я постарался объяснить тебе подходы к решению одних из самых трудных задач, встречающихся в школьном курсе – решению логарифмических неравенств. Я надеюсь, чтение и разбор примеров оказались для тебя полезными и время ты потратил не зря. Опять-таки повторюсь: чтобы освоить методы решения, тебе нужно совсем немного: всего три вещи: практика, практика и практика.

Проверь себя — реши логарифмические неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий