Логарифмические неравенства. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение к уже изложенному материалу (который, увы, не охватывает и не может охватывать весь спектр способов решения логарифмических неравенств), я рассмотрю еще один способ, который может быть полезен там, где ничего больше не помогает (но опять-таки, я сразу оговорюсь, что изложенный метод не является панацеей). Данный метод будет основан на некоторых свойствах логарифмической функции: на ее монотонности и на наибольших и наименьших значениях на интервале ее существования.

Прежде чем приступать к рассмотрению метода, я напомню тебе, что такое монотонность функции:

Определение:

$latex f\left( x \right)$ монотонно возрастает на $latex \left[ a,b \right]$, если для любых $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ из этого промежутка из того, что $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ следует, что $latex f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ и наоборот, из того, что $latex {{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ следует, что $latex f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right).$

Определение:

$latex f\left( x \right)$ монотонно убывает на $latex \left[ a,b \right]$, если для любых $latex {{x}_{1}},~{{x}_{2}}$ из этого промежутка из того, что $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ следует, что $latex f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$ и наоборот, из того, что $latex {{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ следует, что $latex f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right).$

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

1

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции $latex \displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x4$, известно, что выполняется следующая:

Теорема: если $latex \displaystyle a>1$, то функция $latex \displaystyle f\left( x \right)=~lo{{g}_{a}}x$ является монотонно возрастающей, если $latex \displaystyle 0<a<1$, то функция $latex \displaystyle f\left( x \right)=~lo{{g}_{a}}x$ является монотонно убывающей.

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

4

Теперь я могу приступать к рассмотрению одного из приемов решения логарифмических неравенств. Рассмотренный здесь метод называется мини-максным. Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

$latex \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)\le g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=A\\g\left( x \right)=A\end{array} \right.$

Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде

$latex lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)\ge {{7}^{\left| x-3 \right|}}$

Давай введем в рассмотрение две функции

$latex f\left( x \right)=~lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)$, $latex g\left( x \right)=~{{7}^{\left| x-3 \right|}}$

Найдем для каждой из них область значений $latex E\left( f \right),E\left( g \right)$:

Пусть $latex t=6x-{{x}^{2}}-7$

$latex 6x-{{x}^{2}}-7=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}+2,~$ то есть $latex t\le 2$, с другой стороны, по определению логарифма $latex t>0$.

Так как $latex y=f\left( t \right)$ возрастает на $latex \left( 0;2 \right]$.

Причем, при $latex t$ стремящемся к нулю, $latex f\left( t \right)$ стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при $latex t=2,~f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=1$.

Таким образом, область значений $latex f(x)$ есть множество:

$latex E\left( f \right)=\left( -\infty ;1 \right].$

Теперь найдем область значений $latex \displaystyle g(x)$: вновь введем замену $latex \displaystyle z=\left| x-3 \right|,$ $latex \displaystyle z\ge 0$ (по определению модуля), так как $latex \displaystyle g\left( z \right)={{7}^{z}}$ возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение $latex \displaystyle g\left( z \right)$ при $latex \displaystyle z\ge 0$ достигается при $latex \displaystyle z=0$, $latex \displaystyle g\left( 0 \right)=1$, $latex \displaystyle g\left( z \right)>1$ при $latex \displaystyle z>0$. Таким образом:

$latex \displaystyle E\left( g \right)=\left[ 1;+\infty  \right).$

Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при

$latex \displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)=A$. В нашем случае $latex \displaystyle A=1.$

Тогда $latex \displaystyle f\left( x \right)=1$ эквивалентно: $latex \displaystyle lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)=1$ а из $latex \displaystyle g\left( x \right)=1$ получится $latex \displaystyle {{7}^{\left| x-3 \right|}}=1.$ Первое уравнение имеет корень: $latex \displaystyle x=3$, это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при $latex \displaystyle x=3$.

Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:

$latex \left\{ \begin{array}{l}lo{{g}_{\frac{1}{3}}}\left( 3+\left| sinx \right| \right)\ge {{2}^{\left| x \right|}}-2\\lo{{g}_{\left( x+2.5 \right)}}{{\left( \frac{x-5}{2x-3} \right)}^{2}}>0\end{array} \right.$

Давай посмотрим, что у нас получилось:

Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с $latex f\left( x \right)=lo{{g}_{\frac{1}{3}}}\left( 3+\left| sinx \right| \right)$, пусть $latex t=3+\left| sinx \right|$, тогда из того, что $latex 0\le \left| sinx \right|\le 1$, следует, что $latex 3\le t\le 4$. Функция $latex f\left( t \right)$ является монотонно убывающей при $latex 3\le t\le 4$, тогда своего наибольшего значения она достигает при $latex t=3$, а наименьшего – при $latex t=4$. Тогда

$latex -lo{{g}_{3}}4\le f\left( t \right)\le -1$

Теперь рассмотрим $latex g\left( x \right)={{2}^{\left| x \right|}}-2$, сделаем замену $latex t=\left| x \right|,~t\ge 0$. Тогда $latex g\left( t \right)={{2}^{t}}-2$ монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при $latex t=0.$ Это значение будет равно $latex g\left( 0 \right)=-1.$ При $latex t>0~g\left( t \right)>-1.$

Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при $latex f\left( x \right)=g\left( x \right)=-1$. Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой

$latex x=\pi n,~n\in Z.$

Тогда как второе имеет только один корень $latex x=0$. Ясно, что при подстановке $latex n=0$ в формулу корней первого уравнения, я получу, что $latex x=0$. Тогда первое неравенство выполняется только при $latex x=0$.

Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство $latex 0$ и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.

$latex lo{{g}_{\left( 0+2.5 \right)}}{{\left( \frac{0-5}{2*0-3} \right)}^{2}}=lo{{g}_{2.5}}\left( \frac{25}{9} \right)>lo{{g}_{2.5}}1>0$

Тогда с чистой совестью записываю ответ: $latex x=0$.

Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).

Проверь себя — реши логарифмические неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий