Логарифмические неравенства. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение к уже изложенному материалу (который, увы, не охватывает и не может охватывать весь спектр способов решения логарифмических неравенств), я рассмотрю еще один способ, который может быть полезен там, где ничего больше не помогает (но опять-таки, я сразу оговорюсь, что изложенный метод не является панацеей). Данный метод будет основан на некоторых свойствах логарифмической функции: на ее монотонности и на наибольших и наименьших значениях на интервале ее существования.

Прежде чем приступать к рассмотрению метода, я напомню тебе, что такое монотонность функции:

Определение:

\(f\left( x \right)\) монотонно возрастает на \(\left[ a,b \right]\), если для любых \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) из этого промежутка из того, что \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) следует, что \(f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)\) и наоборот, из того, что \({{x}_{1}}>{{x}_{2}}\) следует, что \(f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right).\)

Определение:

\(f\left( x \right)\) монотонно убывает на \(\left[ a,b \right]\), если для любых \({{x}_{1}},~{{x}_{2}}\) из этого промежутка из того, что \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) следует, что \(f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)\) и наоборот, из того, что \({{x}_{1}}>{{x}_{2}}\) следует, что \(f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right).\)

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

1

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции \(\displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x4\), известно, что выполняется следующая:

Теорема: если \(\displaystyle a>1\), то функция \(\displaystyle f\left( x \right)=~lo{{g}_{a}}x\) является монотонно возрастающей, если \(\displaystyle 0<a<1\), то функция \(\displaystyle f\left( x \right)=~lo{{g}_{a}}x\) является монотонно убывающей.

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

4

Теперь я могу приступать к рассмотрению одного из приемов решения логарифмических неравенств. Рассмотренный здесь метод называется мини-максным. Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)\le g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=A\\g\left( x \right)=A\end{array} \right.\)

Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде

\(lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)\ge {{7}^{\left| x-3 \right|}}\)

Давай введем в рассмотрение две функции

\(f\left( x \right)=~lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)\), \(g\left( x \right)=~{{7}^{\left| x-3 \right|}}\)

Найдем для каждой из них область значений \(E\left( f \right),E\left( g \right)\):

Пусть \(t=6x-{{x}^{2}}-7\)

\(6x-{{x}^{2}}-7=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}+2,~\) то есть \(t\le 2\), с другой стороны, по определению логарифма \(t>0\).

Так как \(y=f\left( t \right)\) возрастает на \(\left( 0;2 \right]\).

Причем, при \(t\) стремящемся к нулю, \(f\left( t \right)\) стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при \(t=2,~f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=1\).

Таким образом, область значений \(f(x)\) есть множество:

\(E\left( f \right)=\left( -\infty ;1 \right].\)

Теперь найдем область значений \(\displaystyle g(x)\): вновь введем замену \(\displaystyle z=\left| x-3 \right|,\) \(\displaystyle z\ge 0\) (по определению модуля), так как \(\displaystyle g\left( z \right)={{7}^{z}}\) возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение \(\displaystyle g\left( z \right)\) при \(\displaystyle z\ge 0\) достигается при \(\displaystyle z=0\), \(\displaystyle g\left( 0 \right)=1\), \(\displaystyle g\left( z \right)>1\) при \(\displaystyle z>0\). Таким образом:

\(\displaystyle E\left( g \right)=\left[ 1;+\infty  \right).\)

Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при

\(\displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)=A\). В нашем случае \(\displaystyle A=1.\)

Тогда \(\displaystyle f\left( x \right)=1\) эквивалентно: \(\displaystyle lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)=1\) а из \(\displaystyle g\left( x \right)=1\) получится \(\displaystyle {{7}^{\left| x-3 \right|}}=1.\) Первое уравнение имеет корень: \(\displaystyle x=3\), это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при \(\displaystyle x=3\).

Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:

\(\left\{ \begin{array}{l}lo{{g}_{\frac{1}{3}}}\left( 3+\left| sinx \right| \right)\ge {{2}^{\left| x \right|}}-2\\lo{{g}_{\left( x+2.5 \right)}}{{\left( \frac{x-5}{2x-3} \right)}^{2}}>0\end{array} \right.\)

Давай посмотрим, что у нас получилось:

Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с \(f\left( x \right)=lo{{g}_{\frac{1}{3}}}\left( 3+\left| sinx \right| \right)\), пусть \(t=3+\left| sinx \right|\), тогда из того, что \(0\le \left| sinx \right|\le 1\), следует, что \(3\le t\le 4\). Функция \(f\left( t \right)\) является монотонно убывающей при \(3\le t\le 4\), тогда своего наибольшего значения она достигает при \(t=3\), а наименьшего – при \(t=4\). Тогда

\(-lo{{g}_{3}}4\le f\left( t \right)\le -1\)

Теперь рассмотрим \(g\left( x \right)={{2}^{\left| x \right|}}-2\), сделаем замену \(t=\left| x \right|,~t\ge 0\). Тогда \(g\left( t \right)={{2}^{t}}-2\) монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при \(t=0.\) Это значение будет равно \(g\left( 0 \right)=-1.\) При \(t>0~g\left( t \right)>-1.\)

Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при \(f\left( x \right)=g\left( x \right)=-1\). Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой

\(x=\pi n,~n\in Z.\)

Тогда как второе имеет только один корень \(x=0\). Ясно, что при подстановке \(n=0\) в формулу корней первого уравнения, я получу, что \(x=0\). Тогда первое неравенство выполняется только при \(x=0\).

Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство \(0\) и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.

\(lo{{g}_{\left( 0+2.5 \right)}}{{\left( \frac{0-5}{2*0-3} \right)}^{2}}=lo{{g}_{2.5}}\left( \frac{25}{9} \right)>lo{{g}_{2.5}}1>0\)

Тогда с чистой совестью записываю ответ: \(x=0\).

Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).

Проверь себя — реши логарифмические неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий