Логарифмические неравенства

Содержание

Коротко о главном

Определение: Простейшим логарифмическим неравенством является соотношение вида:

\(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>~lo{{g}_{a}}g\left( x \right)\),

где \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) – некоторое выражение, зависящее от \(x\) (например, \(f\left( x \right)=1+2x+{{x}^{2}},~g\left( x \right)=3{x}-1).\)

знак \(>\) можно заменить на один из трех знаков: \(~\ge ,~\le ,~<\).

  • \(\displaystyle lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~=>~f\left( x \right)>g\left( x \right)\) при \(\displaystyle a>1\)
  • \(\displaystyle lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~=>~f\left( x \right)<g\left( x \right)\) при \(\displaystyle 0<a<1\)

Алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида \(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>~lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~\):

  1. Находим ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>0\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.\) (знак системы (фигурная скобка) означает, что должны выполняться одновременно оба неравенства.
  2. Смотрим на основание: если \(a>1\), то решаем неравенство \(f\left( x \right)>g\left( x \right).\) Если же \(0<a<1\), то решаем \(f\left( x \right)<g\left( x \right)\).
  3. Совмещаем полученное решение неравенства из пункта 2 с  ОДЗ из пункта 1.

Алгоритм решения логарифмического неравенства вида \(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)<lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)\) равносильно решению следующих систем:

  • \(0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>g\left( x \right)\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.\)
  • \(a>1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)<g\left( x \right)\\f\left( x \right)>0\end{array} \right.\)

Алгоритм решения логарифмического неравенства вида

\(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)\) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

  • \(0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)<g\left( x \right)\\f\left( x \right)>0\end{array} \right.\)
  • \(a>1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>g\left( x \right)\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.\)

Проверь себя — реши логарифмические неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *