Логарифмические неравенства

Содержание

Коротко о главном

Определение: Простейшим логарифмическим неравенством является соотношение вида:

$latex lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>~lo{{g}_{a}}g\left( x \right)$,

где $latex f\left( x \right)$ и $latex g\left( x \right)$ – некоторое выражение, зависящее от $latex x$ (например, $latex f\left( x \right)=1+2x+{{x}^{2}},~g\left( x \right)=3{x}-1).$

знак $latex >$ можно заменить на один из трех знаков: $latex ~\ge ,~\le ,~<$.

  • $latex \displaystyle lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~=>~f\left( x \right)>g\left( x \right)$ при $latex \displaystyle a>1$
  • $latex \displaystyle lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~=>~f\left( x \right)<g\left( x \right)$ при $latex \displaystyle 0<a<1$

Алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида $latex lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>~lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~$:

  1. Находим ОДЗ: $latex \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>0\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.$ (знак системы (фигурная скобка) означает, что должны выполняться одновременно оба неравенства.
  2. Смотрим на основание: если $latex a>1$, то решаем неравенство $latex f\left( x \right)>g\left( x \right).$ Если же $latex 0<a<1$, то решаем $latex f\left( x \right)<g\left( x \right)$.
  3. Совмещаем полученное решение неравенства из пункта 2 с  ОДЗ из пункта 1.

Алгоритм решения логарифмического неравенства вида $latex lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)<lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)$ равносильно решению следующих систем:

  • $latex 0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>g\left( x \right)\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.$
  • $latex a>1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)<g\left( x \right)\\f\left( x \right)>0\end{array} \right.$

Алгоритм решения логарифмического неравенства вида

$latex lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)$ в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

  • $latex 0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)<g\left( x \right)\\f\left( x \right)>0\end{array} \right.$
  • $latex a>1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>g\left( x \right)\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.$

Проверь себя — реши логарифмические неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий