Логарифмические уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Теперь, после ознакомления с первой статьей по логарифмическим уравнениям, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров. Теперь я могу перейти к разбору еще трех методов решения логарифмических уравнений:

  • метод введения новой переменной (или замены)
  • метод логарифмирования
  • метод перехода к новому основанию.

Первый метод – один из наиболее часто употребляемых на практике. Им решается большинство «трудных» задач, связанных с решением логарифмических (и не только) уравнений.

Второй метод служит для решения смешанных показательно-логарифмических уравнений, в конечном счете сводя задачу к выбору хорошей замены переменной ( то есть к первому методу).

Третий метод пригоден для решения некоторых уравнений, в которых встречаются логарифмы с разными основаниями.

Я начну с рассмотрения первого метода. Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить. Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» — это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

\(\frac{1}{4-lgx}+\frac{2}{2+lgx}=1\)

В этом примере замена прямо напрашивается сама собой! Ведь ясно, что если мы заменим \(lgx\) на \(t\), то наше логарифмическое уравнение превратится в рациональное:

\(\frac{1}{4-t}+\frac{2}{2+t}=1\)

Его ты без проблем решишь, сведя к квадратному: \(\left( 2+t \right)+2\left( 4-t \right)=\left( 4-t \right)\left( 2+t \right)\)

\(t\ne 4,t\ne -2\) (дабы знаменатель не обнулился ненароком!)

Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:

\({{t}^{2}}-3t+2=0\)

\({{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=2\)

Теперь делаем обратную замену: \(t=lgx\), тогда из \(1=lgx\) следует, что \(x=10\), а из \(2=lgx\) получим \(x=100\)

Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:

Пусть вначале \(x=10\), так как \(\lg 10=1\), то \(\frac{1}{4-1}+\frac{2}{2+1}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\), верно!

Теперь \(x=100,\lg 100=2\), тогда \(\frac{1}{4-2}+\frac{2}{2+2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1\), все верно!

Таким образом, числа \(10\) и \(100\) являются корнями нашего исходного уравнения.

Ответ: \(10,100\).

Вот еще один пример с очевидной заменой:

1.\(3\log _{2}^{2}x-7{{\log }_{2}}x+2=0\)

В самом деле, сразу же давай заменим 

\(t={{\log }_{2}}x\)

тогда наше исходное логарифмическое уравнение превратится в квадратное:

\(3{{t}^{2}}-7t+2=0\)

\({{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=\frac{1}{3}\)

Обратная замена:

\(2={{\log }_{2}}x\), откуда \(x=4\), \(\frac{1}{3}={{\log }_{2}}x,x={{2}^{\frac{1}{3}}}\)

Проверку проведи самостоятельно, убедись, что в данном случае оба найденных нами числа являются корнями.

Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения. Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны. А пока что потренируйся в решении следующих примеров:

2. \(\frac{{{\log }_{2}}\frac{x}{2}}{{{\log }_{2}}x}-\frac{{{\log }_{2}}{{x}^{2}}}{{{\log }_{2}}x-1}=1\)

3. \(0.1{{\lg }^{4}}x-{{\lg }^{2}}x+0,9=0.\)

Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:

Вначале решим второй пример. Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб». Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй. Сделав это, ты получишь:

\(\frac{{{\log }_{2}}x-1}{{{\log }_{2}}x}-\frac{2{{\log }_{2}}x}{{{\log }_{2}}x-1}=1\)

Теперь замена стала очевидной, не так ли? Давай сделаем ее: \(t=lo{{g}_{2}}x\). Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим. Тогда мы получим:

\(\frac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}-2{{t}^{2}}}{t\left( t-1 \right)}=\frac{t\left( t-1 \right)}{t\left( t-1 \right)}\)

или

\(2{{t}^{2}}+t-1=0\)

при \(t\ne 1,t\ne 0.\)

Решив последнее уравнение, ты найдешь его корни: \({{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=0.5\) откуда \({{x}_{1}}=\frac{1}{2},{{x}_{2}}=\sqrt{2}\).

Самостоятельно сделай проверку и удостоверься в том, что \({{x}_{1}}\) и \({{x}_{2}}\) в самом деле являются корнями нашего первоначального уравнения.

Теперь давай попробуем решить третье уравнение. Ну, во-первых, ясно, что нам не повредит домножить обе части уравнения на \(\displaystyle 10\). Вреда никакого, а польза – очевидна.

Теперь сделаем замену. Ты ведь догадался о том, что мы будем заменять? Верно, положим \(\displaystyle t={{\left( lgx \right)}^{2}}\), \(\displaystyle t>0\). Тогда наше уравнение примет вот такой вид:

\(\displaystyle {{t}^{2}}-10t+9=0\)

\(\displaystyle {{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=9\) (оба корня нам подходят!)

Теперь обратная замена: \(\displaystyle 1={{\left( lgx \right)}^{2}}\), откуда \(\displaystyle {{x}_{1}}=10,{{x}_{2}}=0.1\), \(\displaystyle {{\left( lgx \right)}^{2}}=9\), откуда \(\displaystyle {{x}_{3}}=1000,{{x}_{4}}=0.001\). Наше исходное уравнение имеет сразу аж четыре корня! Убедись в этом, подставим полученные значения в уравнение. Записываем ответ:

Ответ: \(\displaystyle 0.001,\text{ }0.1,\text{ }10,\text{ }1000\).

Я так думаю, что теперь идея замены переменной тебе полностью ясна? Хорошо, тогда не будем останавливаться на достигнутом и перейдем к еще одному методу решения логарифмических уравнений: методу перехода к новому основанию.

Давай рассмотрим следующее уравнение:

\(2+{{\log }_{5}}2+{{\log }_{5}}x+2{{\log }_{x}}{{\log }_{x}}5=5\)

Что мы видим? Два логарифма будто бы «противоположны» друг другу. Что нужно делать? Все легко: нам достаточно прибегнуть к одной из двух формул:

\({{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\) или \({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\) \((для\ любого\ c>0,c\ne 1)\)

В принципе, мне ничего не мешает воспользоваться любой из этих двух формул, но из-за структуры уравнения, мне удобнее будет применить первую: я избавлюсь от переменного основания логарифма во втором слагаемом, заменив его на \(\frac{1}{{{\log }_{5}}x}\). Теперь легко заметить, что задача свелась к предыдущей: к выбору замены. Заменив \(t={{\log }_{5}}x\), я получу следующее уравнение:

\(2t+\frac{2}{t}=5\)

или

(при \(t\ne 0\))

\(2{{t}^{2}}-5t+2=0\)

\({{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=0.5\)

Отсюда \({{x}_{1}}=25,{{x}_{2}}=\sqrt{5}\). Тебе осталось подставить найденные числа в исходное уравнение и убедиться, что они в самом деле являются корнями.

Вот еще один пример, в котором разумно будет перейти к новому основанию:

\({{\log }_{{{x}^{2}}}}{{\log }_{{{x}^{2}}}}16+{{\log }_{2x}}{{\log }_{2x}}64=3\)

Однако, как ты можешь легко проверить, если мы с тобой перейдем к новому основанию сразу, это не даст должного эффекта. Что нам нужно сделать в этом случае? А давай все упростим донельзя, а дальше будь что будет.
Вот, что я хочу сделать: представить \(16\), как \({{2}^{4}}\), \(64\) как \({{2}^{6}}\), вынести эти степени перед логарифмами, а также вынести квадрат у икса в первом логарифме. Дальше уже посмотрим.

\(4\cdot \left( 0.5 \right)\cdot {{\log }_{x}}2+6{{\log }_{2x}}2=3\)

\(2{{\log }_{x}}2+6{{\log }_{2x}}2=3\)

Что делать дальше? Есть негласное правило: делай основание логарифма как можно проще! Запомни, с основанием бывает намного сложнее подружиться, чем с выражением, стоящим под знаком логарифма!

Следуя этому правилу, я заменю \(lo{{g}_{x}}2\) на \(\frac{1}{{{\log }_{2}}x}\) и \({{\log }_{2x}}2\) на \(1/{{\log }_{2}}2x=1/\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)\). Тогда я получу:

\(\frac{2}{{{\log }_{2}}x}+\frac{6}{1+{{\log }_{2}}x}=3\)

Ну дальнейшие шаги тебе уже знакомы! Заменяй и ищи корни!

В результате ты отыщешь два корня исходного уравнения:

\({{x}_{1}}=2,{{x}_{2}}=\sqrt[3]{4}\)

Пришла пора тебе показать, чему ты научился! Постарайся вначале самостоятельно решить следующие (не самые легкие) примеры:

  1. \(3{{\log }_{x}}{{\log }_{x}}16-4{{\log }_{16}}{{\log }_{16}}x=2{{\log }_{2}}{{\log }_{2}}x\)
  2. \({{\log }_{x}}(5{{x}^{2}})\cdot log\frac{2}{5}x=1\)
  3. \({{\log }_{\frac{x}{2}}}{{x}^{2}}-14{{\log }_{16x}}{{x}^{3}}+40{{\log }_{4x}}\sqrt{x}=0\)
  4. \(1+{{\log }_{x}}\frac{4-x}{10}=\left( \lg {{x}^{2}}-1 \right){{\log }_{x}}10\)

1. Здесь все достаточно стандартно: я буду стараться свести мое исходное уравнение к такому, чтобы была удобна замена \(t={{\log }_{2}}x\). Что мне для этого потребуется? Во-первых, преобразовать первое выражение слева (вынести четвертую степень двойки перед логарифмом) и вынести степень двойки из основания второго логарифма. Тогда я получу:

\(12{{\log }_{x}}2-{{\log }_{2}}x=2{{\log }_{2}}x\)

Осталось всего ничего: «перевернуть» первый логарифм!

\(12/{{\log }_{2}}x=3{{\log }_{2}}x\)

(для удобства я перенес второй логарифм слева в правую часть уравнения)

Задача почти решена: можно сделать замену \(t={{\log }_{2}}x\). После приведения к общему знаменателю я получу следующее уравнение:

\({{t}^{2}}-4=0\)

\({{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=-2.\)

Сделав обратную замену, тебе не составит труда сосчитать, что:

\({{x}_{1}}=4,{{x}_{2}}=\frac{1}{4}.\)

Убедись, что полученные значения являются корнями нашего уравнения.

2. Здесь я тоже буду стараться «подогнать» мое уравнение под приемлемую замену. Какую же? Пожалуй, мне подойдет \(t={{\log }_{5}}x\). Так давай не будем терять времени и приступим к преобразованиям!

\({{\log }_{x}}5{{x}^{2}}\cdot \log \frac{2}{5}x=1\)

\(({{\log }_{x}}5+{{\log }_{x}}{{x}^{2}})\cdot log\frac{2}{5}x=1\)

\(\left( \frac{1}{{{\log }_{5}}x}+2 \right)\log _{5}^{2}x=1\)

Ну вот, теперь можно смело заменять! Тогда, уже относительно новой переменной \(t\), мы получим следующее уравнение:

\(2{{t}^{2}}+t-1=0\)

\({{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=-0.5,\)

Откуда \({{x}_{1}}=5,{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\). Опять-таки, удостовериться, что оба эти числа являются в самом деле корнями, предоставляется тебе в качестве упражнения.

3. Здесь сразу даже не совсем очевидно, что мы будем заменять. Есть одно золотое правило – не знаешь, что делать – делай то, что можно! Вот им я и воспользуюсь!

\(2{{\log }_{\frac{x}{2}}}x-14\cdot 3{{\log }_{16x}}x+40\cdot 0,5{{\log }_{4x}}x=0\)

Теперь я «переверну» все логарифмы и применю к первому – формулу логарифма разности, а к двум последним – логарифм суммы:

\(\frac{2}{1-{{\log }_{x}}2}-\frac{42}{1+4{{\log }_{x}}2}+\frac{20}{1+2{{\log }_{x}}2}=0\).

Здесь я также пользовался тем, что \({{\log }_{x}}x=1\) (при \(x>0,x\ne 1\)) и свойством вынесения степени из логарифма. Ну вот, теперь нам можно применить подходящую замену: \(t={{\log }_{x}}2\). Я уверен, что ты уже умеешь решать рациональные уравнения, даже вот такого монструозного типа. Поэтому я позволю себе сразу записать результат:

\({{t}_{1}}=-2,{{t}_{2}}=0.5\)

Осталось решить два уравнения: \({{\log }_{x}}2=-2,{{\log }_{x}}2=0.5\). С методами решения таких «почти простейших» уравнений, ты уже ознакомился в предыдущем разделе. Таким образом, я сразу запишу окончательные решения:

\({{x}_{1}}=4,{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},{{x}_{3}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Убедись, что только два из этих чисел – корни моего уравнения! А именно – это \({{x}_{1}}\) и \({{x}_{2}}\), в то время как \({{x}_{3}}\) корнем не является!

4. \(1+{{\log }_{x}}\frac{4-x}{10}=\left( \lg {{x}^{2}}-1 \right){{\log }_{x}}10\)

Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной! Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:

\(1+{{\log }_{x}}\left( 4-x \right)-{{\log }_{x}}10=\left( 2lgx-1 \right){{\log }_{x}}10\)

Что будем делать дальше? Непонятно. А что делать можно? Можно перенести \({{\log }_{x}}10\) вправо и вынести его как общий множитель. Ура! У нас ушла минус единица!

\(1+{{\log }_{x}}\left( 4-x \right)=2lgx{{\log }_{x}}10\)

Ну а теперь та самая формула, которую мы уже применяли! Так как \({{\log }_{x}}10=\frac{1}{lgx}\), то сократим правую часть! Теперь там вообще просто стоит двойка! Перенесем к ней слева единицу, окончательно получим:

\({{\log }_{x}}\left( 4-x \right)=1\)

Как решать такие уравнения, ты уже знаешь. Корень находится без труда, и он равен \(2\). Напоминаю тебе о проверке!

Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:

\(\log {{~}_{2}}x~+{{\log }_{3}}~x~=1.\)

Здесь уже, увы, предыдущий способ решения не даст ощутимых результатов. Как ты думаешь, почему? Да, никакой «обратности» логарифмов здесь уже не наблюдается. Этот наиболее общий случай, конечно, тоже поддается решению, но мы уже применяем вот такую формулу:

\({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\)

Уж этой формуле все равно, имеется у вас «противоположность» или нет. Ты можешь спросить, а чему выбирать основание \(c\)? Мой ответ – это не имеет никакого значения. Ответ в итоге не будет зависеть от этого \(c\). Традиционно используют либо натуральный, либо десятичный логарифм. Хотя это и не принципиально. Я, например, буду применять десятичный:

\(\frac{lgx}{\lg 2}+\frac{lgx}{\lg 3}=1\)

\(lgx\left( \lg 2+\lg 3 \right)=\lg 2\lg 3\)

\(lgxlg6=\lg 2\lg 3\)

\(lgx=\frac{\lg 2\lg 3}{\lg 6}\)

Отставлять ответ в таком виде – форменное безобразие! Давайте я вначале запишу по определению, что

\(x={{10}^{\frac{\lg 2\lg 3}{\lg 6}}}={{\left( {{10}^{\lg 2}} \right)}^{\frac{lg3}{\lg 6}}}\)

Теперь пришло время воспользоваться: внутри скобок – основным логарифмическим тождеством, а снаружи (в степени) – превратить отношение в один логарифм: \({{10}^{\lg 2}}=2,\frac{\lg 3}{\lg 6}={{\log }_{6}}3\), тогда окончательно получим вот такой «странный» ответ: \(x={{2}^{{{\log }_{6}}3}}\).
Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.

Давай сделаем проверку вместе:

\({{\log }_{2}}{{2}^{{{\log }_{6}}3}}+{{\log }_{3}}{{2}^{{{\log }_{6}}3}}=1\)

\(\displaystyle {{\log }_{6}}3\cdot {{\log }_{2}}2+{{\log }_{6}}3\cdot {{\log }_{3}}2=1\)

\({{\log }_{6}}3\left( 1+{{\log }_{3}}2 \right)=1\)

\(\displaystyle {{\log }_{6}}3\cdot {{\log }_{3}}6=1\)

\(1=1\)

Верно! Кстати, еще раз вспомни, из чего следует предпоследнее равенство в цепочке!

\({{\log }_{3x+7}}~\left( 9+12x+4{{x}^{2}} \right)+{{\log }_{2x+3}}\left( 6{{x}^{2}}~+23x+21 \right)=4.\)

В принципе, решение этого примера тоже можно свести к переходу к логарифму по новому основанию, только тебя должно уже пугать то, что получится в итоге. Давай попробуем поступить разумнее: как можно лучше преобразуем левую часть.

\(9+12x+4{{x}^{2}}={{\left( 2x+3 \right)}^{2}}\),\(6{{x}^{2}}~+23x+21=\left( 3x+7 \right)\left( 2x+3 \right)\)

Кстати, а как по-твоему я получил последнее разложение? Верно, я применил теорему о разложении квадратного трехчлена на множители, а именно:

Если \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\)– корни уравнения \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\), то:

\(a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\)

Ну вот, теперь я перепишу мое исходное уравнение вот в таком виде:

\({{\log }_{3x+7}}~{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}+{{\log }_{2x+3}}~\left( 3x+7 \right)\left( 2x+3 \right)=4\)

\(2{{\log }_{3x+7}}~\left( 2x+3 \right)+{{\log }_{2x+3}}~\left( 3x+7 \right)=3\)

А вот решить такую задачу нам уже вполне по силам!

Так как \({{\log }_{2x+3}}~\left( 3x+7 \right)=1/{{\log }_{3x+7}}~\left( 2x+3 \right)\), то введем замену \(t={{\log }_{3x+7}}~\left( 2x+3 \right)\).

Тогда мое исходное уравнение примет вот такой простой вид: \(\frac{2}{t}+t-3=0\)

Его корни равны: \({{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=1\), тогда

\({{\log }_{3x+7}}~\left( 2x+3 \right)=1\), откуда \(3x+7=2x+3,{{x}_{1}}=-4\)

\({{\log }_{3x+7}}~\left( 2x+3 \right)=2\), откуда \({{\left( 3x+7 \right)}^{2}}=\left( 2x+3 \right)\) – данное уравнение корней не имеет.

Тебе осталось сделать проверку!

Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!

\({{\log }_{5}}\left( 5+3x \right)={{\log }_{5}}3\cdot {{\log }_{3}}\left( 2x+10 \right)\)

Готов? Давай посмотрим, что у нас получилось.

На самом деле, пример решается в два действия:

1. Преобразуем \({{\log }_{5}}3=\frac{1}{{{\log }_{3}}5}\)

2. теперь справа у меня стоит выражение \(\frac{{{\log }_{3}}\left( 2x+10 \right)}{{{\log }_{3}}5}\), которое равно \({{\log }_{5}}\left( 2x+10 \right)\)

Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:

\({{\log }_{5}}~\left( 5+3x \right)={{\log }_{5}}\left( 2x+10 \right)\)

\(x=5\).

Проверка говорит о том, что данное число в самом деле является корнем уравнения.

Ну и напоследок я очень кратко остановлюсь на методах решения некоторых смешанных уравнений. Само собой, я не берусь охватить все смешанные уравнения, а покажу приемы решения самых простых.

Например,

\({{x}^{{{\log }_{3}}{{\log }_{3}}x}}=3\)

Такое уравнение может быть решено методом логарифмирования. Все, что тебе нужно сделать, это взять логарифм от обеих частей. Ясно, что поскольку у нас уже есть логарифм по основанию \(3\), то логарифмировать я буду по тому же основанию:

\({{\log }_{3}}({{x}^{{{\log }_{3}}{{\log }_{3}}x}})={{\log }_{3}}3=1\)

Теперь я вынесу степень из выражения слева:

\({{\log }_{3}}x\cdot {{\log }_{3}}x=1\)

и разложу выражение на множители по формуле разности квадратов:

\(({{\log }_{3}}x-1)({{\log }_{3}}x+1)=0\)

\({{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=\frac{1}{3}\)

Проверка как всегда на твоей совести.

Последний пример данной статьи попробуй решить самостоятельно!

\({{x}^{2{{\lg }^{2}}x}}=0.1{{x}^{3}}\)

Проверяем: берем логарифм по основанию \(10\) от обеих частей уравнения:

\(\lg ({{x}^{2{{\lg }^{2}}x}})=\lg 0.1{{x}^{3}}\)

Выношу степень слева и раскалываю по формуле суммы справа:

\(2{{\lg }^{2}}x\cdot \lg x=\lg 0.1+\lg {{x}^{3}}\)

\(2{{\lg }^{3}}x=-1+3lgx\)

\(2{{\lg }^{3}}x-3lgx+1=0\)

Замена \(t=lgx\)

\(2{{t}^{3}}-3t+1=0\)

Угадываем один из корней: \({{t}_{1}}=1\) является корнем. В статье, посвященной решению показательных уравнений, я рассказывал о том, как делить один многочлен «уголком» на другой. Здесь нам понадобится поделить \(2{{t}^{3}}-3t+1\) на \(t-1\). В итоге мы получим:

\(2{{t}^{3}}-3t+1=\left( t-1 \right)\left( 2{{t}^{2}}+2t-1 \right)\)

\(2{{t}^{2}}+2t-1=0\)

\({{\text{t}}_{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2},{{t}_{3}}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\)

Тогда \({{x}_{1}}=10\), \({{x}_{2}}={{10}^{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}}\), \({{x}_{3}}={{10}^{\frac{-1-\sqrt{3}}{2}}}\).

Проверку проведи, по-возможности, сам (хотя в данном случае, особенно с последними двумя корнями, она будет непростой).

Проверь себя — реши задачи на логарифмические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий