Логарифмические уравнения. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение к уже изложенному материалу, я предлагаю нам с тобой рассмотреть еще один способ решения смешанных уравнений, содержащих логарифмы, однако здесь я буду рассматривать такие уравнения, которые не могут быть решены рассмотренным ранее методом логарифмирования обеих частей. Данный способ имеет название мини-максного.

Данный метод применим не только при решении смешанных уравнений, но также оказывается полезным при решении некоторых неравенств. Итак, вначале введем следующие основные определения, которые необходимы для применения мини-максного метода.

Определение: $latex f(x)$ монотонно возрастает на$latex [a,b]$, если для любых $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ из этого промежутка из того, что $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ следует, что $latex f\left( {{x}_{1}} \right)<f({{x}_{2}})$ и наоборот, из того, что $latex {{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ следует, что $latex f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}).$
Определение:$latex f(x)$ монотонно убывает на$latex [a,b]$, если для любых $latex {{x}_{1}},~{{x}_{2}}$ из этого промежутка из того, что $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ следует, что $latex f\left( {{x}_{1}} \right)>f({{x}_{2}})$ и наоборот, из того, что $latex {{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ следует, что $latex f\left( {{x}_{1}} \right)<f({{x}_{2}}).$

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

1

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции $latex f(x)=lo{{g}_{a}}x$, известно, что выполняется следующая:

Теорема: Если $latex a>1$, то функция $latex f(x)=lo{{g}_{a}}x$ является монотонно возрастающей, если $latex \displaystyle 0<a<1$, то функция$latex f(x)=lo{{g}_{a}}x$ является монотонно убывающей.

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

График логарифмической функции

Опишем непосредственно сам мини-максный метод. Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

$latex \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=A\\g\left( x \right)=A\end{array} \right.$

Наша самая главная цель – это найти вот эту самую константу $latex A$, чтобы далее свести уравнение к двум более простым. Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

  1. $latex {{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}} \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}$
  2. $latex {{\left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 \right)}^{2}}+\log _{5}^{5}\left( 2{{x}^{2}}-11x+15 \right)=0$
  3. $latex {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}$

1. Вначале рассмотрим левую часть.
Там стоит логарифм с основанием меньше $latex 0<a<1$. По теореме, сформулированной выше, какой оказывается функция $latex y={{\log }_{a}}t$? Она убывает. При этом, $latex t=1+{{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}}\ge 1$, а значит, $latex {{\log }_{a}}t\le 0$. С другой стороны, по определению корня:$latex \sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}\ge 0$. Таким образом, константа $latex A$ найдена и равна $latex 0$. Тогда исходное уравнение равносильно системе:

$latex \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}=0\\{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}} \right)=0\end{array} \right.$

Первое уравнение имеет корни $latex {{x}_{1}}=4,{{x}_{2}}=2$, а второе: $latex {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=2$. Таким образом, общий корень равен $latex 2$, и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.

Ответ: $latex 2$

2. $latex {{\left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 \right)}^{2}}+\log _{5}^{5}\left( 2{{x}^{2}}-11x+15 \right)=0$

Давай сразу задумаемся, что здесь написано? Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю. Когда это возможно? Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 \right)}^{2}}=0\\\log _{5}^{5}\left( 2{{x}^{2}}-11x+15 \right)=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=2;\\{{x}_{2}}=-0,25\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=3;\\{{x}_{2}}=2,5\end{array} \right.\end{array} \right.$

Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет решений.

3. $latex {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}$

Давай вначале рассмотрим правую часть – она попроще. По определению синуса:

$latex -1\le sint\le 1$, откуда $latex 0\le {{\sin }^{2}}t\le 1$, и тогда $latex 0\le 2{{\sin }^{2}}t\le 2.$ Поэтому $latex 0\le 2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}\le 2.$

Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:

$latex {{x}^{2}}+6x+18$

Попытка найти корни у уравнения $latex {{x}^{2}}+6x+18=0$ не приведет к положительному результату. Но тем не менее, мне надо как-то это выражение оценить. Ты, конечно, знаешь такой метод, как выделение полного квадрата. Его я здесь и применю.

$latex {{x}^{2}}+6x+18={{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9+9={{\left( x+3 \right)}^{2}}+9\ge 9$

Тогда $latex {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)={{\log }_{3}}\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9 \right)$

Так как $latex y={{\log }_{3}}t$ – функция возрастающая, то из $latex {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9\ge 9$ cледует, что $latex {{\log }_{3}}\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9 \right)\ge {{\log }_{3}}9=2$. Таким образом, $latex {{\log }_{3}}\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9 \right)\ge 2$

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

$latex \left\{ \begin{array}{l}{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2\\2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}=2\end{array} \right.$

Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:

$latex {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2$

$latex {{x}_{1}}=-3$ (можешь сделать проверку и убедиться, что это число является корнем первого уравнения системы)

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

$latex 2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}=2$

$latex 2{{\sin }^{2}}\frac{\pi \left( -3 \right)}{6}=2$

$latex {{\sin }^{2}}\frac{-\pi }{2}=1$

$latex 1=1.$

Ответ: $latex x=-3$

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

$latex 1+\left| {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right) \right|=\left| \cos \cos \left( {x} -2 \right)\cos \left( x \right) \right|$

Готов? Давай проверим:

Левая часть – сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

$latex \left| {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right) \right|=0$

В то же время правая часть – это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:

$latex \left| {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right) \right|=0$

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

$latex \left\{ \begin{array}{l}1+|{{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)|=1\\\left| \cos \cos \left( {x} -2 \right)\cos \left( x \right) \right|=1\end{array} \right.$

Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:

$latex 1+|{{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)|=1$

$latex |{{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)|=0$

$latex {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)=0$.

Данное уравнение корней не имеет.

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.

Проверь себя — реши задачи на логарифмические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий