Медиана. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

ТреугольникОтметь на какой-нибудь его стороне середину $latex \displaystyle M$.

Середина произвольной стороны треугольникаИ соедини с противоположной вершиной!

Медиана треугольникаПолучившаяся линия $latex \displaystyle BM$ и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

2. Свойства медианы.

 Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник $latex \displaystyle ABC$ – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Медиана равна половине гипотенузы Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник $latex \displaystyle ABCD$.

Медиана. Свойство 1. Доказательство 1

Ты заметил, что наш треугольник $latex \displaystyle ABC$ – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ $latex \displaystyle BD$:

Медиана. Свойство 1. Доказательство 2

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»)
Но одна из диагоналей – $latex \displaystyle AC$ – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы $latex \displaystyle \Delta ABC$. Она называлась у нас $latex \displaystyle M$.

Медиана. Свойство 1. Доказательство 3

Значит, половина второй диагонали – наша медиана $latex \displaystyle BM$. Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим $latex \displaystyle BM=MA=MC$

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:
В $latex \displaystyle \Delta ABC$ стороны $latex \displaystyle AC=5$; $latex \displaystyle BC=12$. Из вершины $latex \displaystyle C$ проведена медиана $latex \displaystyle CN$. Найти $latex \displaystyle AB$, если $latex \displaystyle AB=2CN$.

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. Задача Сразу вспоминаем, это если $latex \displaystyle CN=\frac{AB}{2}$, то $latex \displaystyle \angle ACB=90{}^\circ $!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача $latex A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$
$latex A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169$
$latex AB=13$
Вот и ответ!

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $latex 2:1$, считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медиана. Свойство 2 Медианы $latex \displaystyle AM$, $latex \displaystyle BN$ и $latex \displaystyle CK$ пересекаются в одной точке.

И….( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

  • $latex \displaystyle AO$ – вдвое больше, чем $latex \displaystyle OM$;
  • $latex \displaystyle BO$ – вдвое больше, чем $latex \displaystyle ON$;
  • $latex \displaystyle CO$ – вдвое больше, чем $latex \displaystyle OK$.

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача: В треугольнике $latex \displaystyle ABC$ проведены медианы $latex \displaystyle BM$ и $latex \displaystyle AK$, которые пересекаются в точке $latex \displaystyle O$. Найти $latex \displaystyle BO$, если $latex \displaystyle AB=3;\text{ }BC=4,\text{ }\angle B=90{}^\circ .$

Медиана. Задача Решение
$latex \displaystyle \angle B=90{}^\circ $ — треугольник прямоугольный! Значит, $latex BM=\frac{AC}{2}$.
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём $latex \displaystyle AC$ по теореме Пифагора:

$latex A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=9+16=25$
$latex AC=5$

Значит, $latex BM=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}$.

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим $latex \displaystyle OM=x$. Отрезок $latex BO=2OM=2x$, а $latex BM=3x$. Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что $latex BM=\frac{5}{2}$.

Значит, $latex 3x=\frac{5}{2}$; $latex x=\frac{5}{6}$.

В задаче нас спрашивают об отрезке $latex \displaystyle BO$.

В наших обозначениях $latex BO=2x=\frac{5}{6}\cdot 2$.

Значит, $latex BO=\frac{5}{3}$.

Ответ: $latex BO=\frac{5}{3}$.

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

Проверь себя — реши задачи по медиане.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий