Медиана. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

ТреугольникОтметь на какой-нибудь его стороне середину \(\displaystyle M\).

Середина произвольной стороны треугольникаИ соедини с противоположной вершиной!

Медиана треугольникаПолучившаяся линия \(\displaystyle BM\) и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

2. Свойства медианы.

 Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Медиана равна половине гипотенузы Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник \(\displaystyle ABCD\).

Медиана. Свойство 1. Доказательство 1

Ты заметил, что наш треугольник \(\displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \(\displaystyle BD\):

Медиана. Свойство 1. Доказательство 2

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»)
Но одна из диагоналей – \(\displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \(\displaystyle \Delta ABC\). Она называлась у нас \(\displaystyle M\).

Медиана. Свойство 1. Доказательство 3

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \(\displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \(\displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:
В \(\displaystyle \Delta ABC\) стороны \(\displaystyle AC=5\); \(\displaystyle BC=12\). Из вершины \(\displaystyle C\) проведена медиана \(\displaystyle CN\). Найти \(\displaystyle AB\), если \(\displaystyle AB=2CN\).

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. Задача Сразу вспоминаем, это если \(\displaystyle CN=\frac{AB}{2}\), то \(\displaystyle \angle ACB=90{}^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача \(A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\)
\(A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169\)
\(AB=13\)
Вот и ответ!

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медиана. Свойство 2 Медианы \(\displaystyle AM\), \(\displaystyle BN\) и \(\displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.

И….( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

  • \(\displaystyle AO\) – вдвое больше, чем \(\displaystyle OM\);
  • \(\displaystyle BO\) – вдвое больше, чем \(\displaystyle ON\);
  • \(\displaystyle CO\) – вдвое больше, чем \(\displaystyle OK\).

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача: В треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведены медианы \(\displaystyle BM\) и \(\displaystyle AK\), которые пересекаются в точке \(\displaystyle O\). Найти \(\displaystyle BO\), если \(\displaystyle AB=3;\text{ }BC=4,\text{ }\angle B=90{}^\circ .\)

Медиана. Задача Решение
\(\displaystyle \angle B=90{}^\circ \) — треугольник прямоугольный! Значит, \(BM=\frac{AC}{2}\).
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём \(\displaystyle AC\) по теореме Пифагора:

\(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=9+16=25\)
\(AC=5\)

Значит, \(BM=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}\).

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим \(\displaystyle OM=x\). Отрезок \(BO=2OM=2x\), а \(BM=3x\). Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что \(BM=\frac{5}{2}\).

Значит, \(3x=\frac{5}{2}\); \(x=\frac{5}{6}\).

В задаче нас спрашивают об отрезке \(\displaystyle BO\).

В наших обозначениях \(BO=2x=\frac{5}{6}\cdot 2\).

Значит, \(BO=\frac{5}{3}\).

Ответ: \(BO=\frac{5}{3}\).

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

Проверь себя — реши задачи по медиане.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий