Медиана. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Медиана треугольника Посмотри на рисунок. Линия $latex \displaystyle BM$ – медиана.

Итак,

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

медиана делит площадь пополам $latex S=\frac{1}{2}a~\cdot h$

И применим эту формулу аж два раза!

Две медианы.

Посмотри, медиана $latex \displaystyle BM$ разделила $latex \displaystyle \triangle ABC$ на два треугольника: $latex \displaystyle \triangle ABM$ и $latex \displaystyle \triangle BMC$. Но! Высота-то у них одна и та же – $latex \displaystyle BH$! Только в $latex \displaystyle \triangle ABM$ эта высота $latex \displaystyle BH$ опускается на сторону $latex \displaystyle AM$, а в $latex \displaystyle \triangle BMC$ – на продолжение стороны $latex \displaystyle CM$. Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу $latex S=\frac{1}{2}a~\cdot h$.

1) B $latex \displaystyle \triangle ABM$:

«$latex \displaystyle a$» – это $latex \displaystyle AM$
«$latex \displaystyle h$» – это $latex \displaystyle BH$
$latex \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH$

2) B $latex \displaystyle \triangle BMC$:

«$latex \displaystyle a$» – это $latex \displaystyle CM$
«$latex \displaystyle h$» – это опять $latex \displaystyle BH$
$latex \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH$

Запишем ещё раз:

$latex \displaystyle \ {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH$$latex \displaystyle \ {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH$

Но $latex \displaystyle AM=CM$! (Посмотри на рисунок или вспомни, что $latex \displaystyle BM$ – медиана).

Значит, $latex \displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}$ — площадь $latex \displaystyle \triangle ABC$ разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно — всего-то одна формула площади.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

3. Три медианы треугольника

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $latex \displaystyle 2:1\ $, считая от вершины.


4

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении $latex \displaystyle 2:1\ $, считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

5 Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их  пресечения буквой $latex \displaystyle E$.

Соединим точки $latex \displaystyle N$ и $latex \displaystyle K$. Что получилось?

6 Конечно, $latex \displaystyle NK$ — средняя линяя $latex \displaystyle \triangle ABC$. Ты помнишь, что это значит?

  1. $latex \displaystyle NK$ — параллельна $latex \displaystyle AC$;
  2. $latex \displaystyle NK=\frac{AC}{2}$.

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину $latex \displaystyle AE$ – поставим точку $latex \displaystyle F$, отметим середину $latex \displaystyle EC$ — поставим точку $latex \displaystyle G$.

Теперь $latex \displaystyle FG$ – средняя линия $latex \displaystyle \triangle AEC$. То есть

  1. $latex \displaystyle FG$ параллельна $latex \displaystyle AC$;
  2. $latex \displaystyle FG=\frac{AC}{2}$.

Заметил совпадения? И $latex \displaystyle NK$ , и $latex \displaystyle FG$ – параллельны $latex \displaystyle AC$. И $latex \displaystyle NK=\frac{AC}{2}$, и $latex \displaystyle FG=\frac{AC}{2}$.

Что из этого следует?

  1. $latex \displaystyle NK$ параллельна $latex \displaystyle FG$;
  2. $latex \displaystyle NK=FG$
7 Посмотри теперь на четырехугольник $latex \displaystyle NKGF$. У какого четырехугольника противоположные стороны ($latex \displaystyle NK$ и $latex \displaystyle FG$) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, $latex \displaystyle NKGF$ – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

8 Получилось, что

  1. $latex \displaystyle AF=FE$ (мы так выбирали точку $latex \displaystyle F$)
  2. $latex \displaystyle FE=EK$ (из-за того, что $latex \displaystyle NKGF$ – параллелограмм)

То есть $latex \displaystyle AF=FE=EK$ — медиана $latex \displaystyle AK$ разделена точками $latex \displaystyle F$ и $latex \displaystyle E$ на три равные части. И точно так же $latex \displaystyle CG=GE=EN$.

Значит, точкой $latex \displaystyle E$ обе медианы разделились именно в отношении $latex \displaystyle 2:1$, то есть $latex \displaystyle AE=2EK$ и $latex \displaystyle CE=2NE$.

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану $latex \displaystyle CN$ и проведем медианы $latex \displaystyle AK$ и $latex \displaystyle BM$.

9

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан $latex \displaystyle AK$ и $latex \displaystyle CN$. Что тогда?

Получится, что медиана $latex \displaystyle BM$ разделит медиану $latex \displaystyle AK$ абсолютно точно так же: в отношении $latex \displaystyle 2:1$, считая от точки $latex \displaystyle A$.

Но сколько же может быть точек на отрезке $latex \displaystyle AK$, которые делят его в отношении $latex \displaystyle 2:1$, считая от точки $latex \displaystyle A$?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка $latex \displaystyle E$.

Что же получилось в итоге?

Медиана $latex \displaystyle BM$ точно прошла через $latex \displaystyle E$! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении $latex \displaystyle 2:1$, считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство – смотри следующий уровень).

10 Итак, $latex \displaystyle {{m}^{2}}=\frac{1}{4}~\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)$

5. Медиана в прямоугольном треугольнике.

Теорема:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

11

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник $latex \displaystyle ABCD$.

12

Ты заметил, что наш треугольник $latex \displaystyle ABC$ – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ $latex \displaystyle BD$

13

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, …»)
Но одна из диагоналей – $latex \displaystyle AC$ – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы $latex \displaystyle \Delta ABC$. Она называлась у нас $latex \displaystyle M$.

14

Значит, половина второй диагонали – наша медиана $latex \displaystyle BM$. Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим $latex \displaystyle BM=MA=MC$

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В $latex \displaystyle \triangle ABC$ стороны $latex \displaystyle AC=5$; $latex \displaystyle BC=12$. Из вершины $latex \displaystyle C$ проведена медиана $latex \displaystyle CN$. Найти $latex \displaystyle AB$, если $latex \displaystyle AB=2CN$.

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. Задача Сразу вспоминаем, это если $latex \displaystyle CN=\frac{AB}{2}$, то $latex \displaystyle \angle ACB=90{}^\circ $!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача $latex A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$
$latex A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169$
$latex AB=13$
Вот и ответ!

Проверь себя — реши задачи по медиане.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий