Медиана. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Медиана треугольника Посмотри на рисунок. Линия \(\displaystyle BM\) – медиана.

Итак,

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

медиана делит площадь пополам \(S=\frac{1}{2}a~\cdot h\)

И применим эту формулу аж два раза!

Две медианы.

Посмотри, медиана \(\displaystyle BM\) разделила \(\displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \(\displaystyle \triangle ABM\) и \(\displaystyle \triangle BMC\). Но! Высота-то у них одна и та же – \(\displaystyle BH\)! Только в \(\displaystyle \triangle ABM\) эта высота \(\displaystyle BH\) опускается на сторону \(\displaystyle AM\), а в \(\displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \(\displaystyle CM\). Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу \(S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

1) B \(\displaystyle \triangle ABM\):

«\(\displaystyle a\)» – это \(\displaystyle AM\)
«\(\displaystyle h\)» – это \(\displaystyle BH\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH\)

2) B \(\displaystyle \triangle BMC\):

«\(\displaystyle a\)» – это \(\displaystyle CM\)
«\(\displaystyle h\)» – это опять \(\displaystyle BH\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH\)

Запишем ещё раз:

\(\displaystyle \ {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH\)\(\displaystyle \ {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH\)

Но \(\displaystyle AM=CM\)! (Посмотри на рисунок или вспомни, что \(\displaystyle BM\) – медиана).

Значит, \(\displaystyle {{S}_{\triangle ABM~}}={{S}_{\triangle BMC~}}\) — площадь \(\displaystyle \triangle ABC\) разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно — всего-то одна формула площади.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

3. Три медианы треугольника

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \(\displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.


4

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении \(\displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

5 Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их  пресечения буквой \(\displaystyle E\).

Соединим точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\). Что получилось?

6 Конечно, \(\displaystyle NK\) — средняя линяя \(\displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?

  1. \(\displaystyle NK\) — параллельна \(\displaystyle AC\);
  2. \(\displaystyle NK=\frac{AC}{2}\).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \(\displaystyle AE\) – поставим точку \(\displaystyle F\), отметим середину \(\displaystyle EC\) — поставим точку \(\displaystyle G\).

Теперь \(\displaystyle FG\) – средняя линия \(\displaystyle \triangle AEC\). То есть

  1. \(\displaystyle FG\) параллельна \(\displaystyle AC\);
  2. \(\displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Заметил совпадения? И \(\displaystyle NK\) , и \(\displaystyle FG\) – параллельны \(\displaystyle AC\). И \(\displaystyle NK=\frac{AC}{2}\), и \(\displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Что из этого следует?

  1. \(\displaystyle NK\) параллельна \(\displaystyle FG\);
  2. \(\displaystyle NK=FG\)
7 Посмотри теперь на четырехугольник \(\displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\(\displaystyle NK\) и \(\displaystyle FG\)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, \(\displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

8 Получилось, что

  1. \(\displaystyle AF=FE\) (мы так выбирали точку \(\displaystyle F\))
  2. \(\displaystyle FE=EK\) (из-за того, что \(\displaystyle NKGF\) – параллелограмм)

То есть \(\displaystyle AF=FE=EK\) — медиана \(\displaystyle AK\) разделена точками \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle E\) на три равные части. И точно так же \(\displaystyle CG=GE=EN\).

Значит, точкой \(\displaystyle E\) обе медианы разделились именно в отношении \(\displaystyle 2:1\), то есть \(\displaystyle AE=2EK\) и \(\displaystyle CE=2NE\).

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану \(\displaystyle CN\) и проведем медианы \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle BM\).

9

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle CN\). Что тогда?

Получится, что медиана \(\displaystyle BM\) разделит медиану \(\displaystyle AK\) абсолютно точно так же: в отношении \(\displaystyle 2:1\), считая от точки \(\displaystyle A\).

Но сколько же может быть точек на отрезке \(\displaystyle AK\), которые делят его в отношении \(\displaystyle 2:1\), считая от точки \(\displaystyle A\)?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка \(\displaystyle E\).

Что же получилось в итоге?

Медиана \(\displaystyle BM\) точно прошла через \(\displaystyle E\)! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении \(\displaystyle 2:1\), считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

Проверь себя — реши задачи по медиане.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство – смотри следующий уровень).

10 Итак, \(\displaystyle {{m}^{2}}=\frac{1}{4}~\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\)

5. Медиана в прямоугольном треугольнике.

Теорема:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

11

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник \(\displaystyle ABCD\).

12

Ты заметил, что наш треугольник \(\displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \(\displaystyle BD\)

13

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, …»)
Но одна из диагоналей – \(\displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \(\displaystyle \Delta ABC\). Она называлась у нас \(\displaystyle M\).

14

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \(\displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \(\displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В \(\displaystyle \triangle ABC\) стороны \(\displaystyle AC=5\); \(\displaystyle BC=12\). Из вершины \(\displaystyle C\) проведена медиана \(\displaystyle CN\). Найти \(\displaystyle AB\), если \(\displaystyle AB=2CN\).

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. Задача Сразу вспоминаем, это если \(\displaystyle CN=\frac{AB}{2}\), то \(\displaystyle \angle ACB=90{}^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача \(A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\)
\(A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169\)
\(AB=13\)
Вот и ответ!

Проверь себя — реши задачи по медиане.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий