Модуль числа. Начальный уровень

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В математике, как и в жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла: например, мы не можем проехать на машине \(-\mathbf{70}\) километров (мы проедем \(\mathbf{70}\) километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить \(-5\) килограммов апельсинов. Эти значения всегда должны быть положительными. Именно поэтому в математике существует специальный термин – модуль.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.
чел
Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления \(0\).
Модуль числа
Итак, ты делаешь \(3\) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой \(3\).
Модуль числа
Это означает, что ты удалился от места, где стоял на \(3\) шага (\(3\) единичных отрезка). То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно \(3\).
Но ведь ты же можешь двигаться и назад!
Если от отправной точки с координатой \(0\) сделать \(3\) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой \(-3\).
Модуль числа
Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае? Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (\(3\) и \(-3\)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (\(0\)).
Модуль числа
Таким образом, мы приблизились к понятию модуля. Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.
Так, модулем числа \(5\) будет \(5\). Модуль числа \(-5\) также равен \(5\), потому что расстояние не может быть отрицательным!

Модуль – это абсолютная величина

Обозначается модуль просто:

\(|\mathbf{a}|,\) (\(a\) — любое число).

Итак, найдём модуль числа \(3\) и \(-3\):

\(\left| \mathbf{3} \right|=\mathbf{3}\)
\(\left| -\mathbf{3} \right|=\mathbf{3}.\)

Задачи на модуль — после регистрации.

Основные свойства модуля

Вот мы и приблизились к первому свойству модуля: модуль не может быть выражен отрицательным числом.

\(|\mathbf{a}|\text{ }\ge \text{ }\mathbf{0}\)

То есть, если \(\mathbf{a}\) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

если \(\mathbf{a}\text{ }>\text{ }\mathbf{0},\) то \(\displaystyle \left| a \right|=a\).

Если \(a\) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу:

если \(a\text{ }<\text{ }\mathbf{0},\) то \(|\mathbf{a}|\text{ }=\text{ }-\mathbf{a}\)

А если \(a=0\)? Ну, конечно! Его модуль также равен \(0\):

если \(a=0\), то \(|\mathbf{a}|\text{ }=\text{ }-\mathbf{a}\), или \(\displaystyle \left| 0 \right|=0\).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:
\(\left| -4 \right|\text{ }=\text{ }\left| 4 \right|\text{ }=\text{ }4;\)
\(\left| -7 \right|\text{ }=\text{ }\left| 7 \right|\text{ }=\text{ }7.\)

А теперь потренируйся:

\(\left| 9 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
\(\left| -3 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
\(\left| 16 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
\(\left| 8 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
\(\left| -17 \right|\text{ }=\text{ }?.\)

Ответы:9;3;16;8;17.

Довольно легко, правда?
А если перед тобой вот такое число:
\(\left| 2-\sqrt{5} \right|=?\)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию. Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

 

Ну что, попробуем? Оценим \(2-\sqrt{5}\):

\(2<\sqrt{5}\) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)
Если \(2<\sqrt{5}\), то какой знак имеет \(2-\sqrt{5}\)? Ну конечно, \(2-\sqrt{5}<0\)! А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
\(\left| 2-\sqrt{5} \right|=-\left( 2-\sqrt{5} \right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2\)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

\(\left| \sqrt{3}-1 \right|=?\)

\(\left| 3-\sqrt{7} \right|=?\)

\(\left| 2-\sqrt{7} \right|=?\)

\(\left| \sqrt{13}-4 \right|=?\)

Ответы:

\(\sqrt{3}-1; 3-\sqrt{7}; \sqrt{7}-2; 4-\sqrt{13.}\)

Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел. То есть:
\(|a\cdot b\left| \text{ }=\text{ } \right|a\left| \cdot  \right|b|\)
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

\(\left| \mathbf{5}\cdot \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{5} \right|\cdot \left| \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{5}\cdot \mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{35};\)

\(\left| \mathbf{3}\cdot \left( -\mathbf{2} \right) \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{3} \right|\cdot \left| -\mathbf{2} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}\cdot \mathbf{2}\text{ }=\text{ }\mathbf{6}.\)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
\(|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}\) при условии, что \(\mathbf{b}\ne \mathbf{0}\) (так как на ноль делить нельзя).

Стоит запомнить ещё одно свойство модуля: модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:

\(|a+b\left| \text{ }\le \text{ } \right|a\left| + \right|b|\)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа \(a\) и \(b\) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

\(\left| \mathbf{3}+\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{10} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\) \(\left| \mathbf{3} \right|+\left| \mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

\(\displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~\)\(\displaystyle =|-10|=10\) \(|-\mathbf{3}\left| + \right|-\mathbf{7}|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

\(\left| -\mathbf{3}+\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\left| \mathbf{4} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{4}\)
\(|-\mathbf{3}\left| + \right|\mathbf{7}|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

или

\(\left| \mathbf{3}+\left( -\mathbf{7} \right) \right|\text{ }=\text{ }\left| -\mathbf{4} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{4}\) \(\left| \mathbf{3} \right|+\left| -\mathbf{7} \right|\text{ }=\text{ }\mathbf{3}+\mathbf{7}\text{ }=\text{ }\mathbf{10}\)

\(\mathbf{4}<\mathbf{10}\)

Больше задач — после регистрации.

Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.
Что если перед нами такое выражение:

\(\left| 7x \right|\)

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что \(|a\cdot b\left| \text{ }=\text{ } \right|a\left| \cdot  \right|b|\), а значит \(\left| 7x \right|=\left| 7 \right|\cdot \left| x \right|\). Число \(7\) больше нуля, а значит можно просто записать:

\(\left| 7x \right|=\left| 7 \right|\cdot \left| x \right|=7\left| x \right|\)

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

\(\left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|,\) при \(c>0\)

А чему равно такое выражение:

\({{\left| x \right|}^{2}}=?\)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак? Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства. И что же получается? А вот что:

\({{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\)

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

\({{\left| 5 \right|}^{2}}={{5}^{2}}=25\)

\({{\left| -5 \right|}^{2}}=?\)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

\({{\left| -5 \right|}^{2}}={{5}^{2}}=25\)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения \(|x\left| \text{ }+\text{ } \right|y|\), если \(x=\text{ }-7,5\text{ },y=\text{ }12.\).

2. У каких чисел модуль равен \(5\)?

3. Найдите значение выражений:

а) \(|3|\text{ }+\text{ }|-9|;\)

б) \(|-5|\text{ }-\text{ }|6|;\)

в) \(|15\left| \cdot  \right|-3|;\)

г) \(\frac{|8|}{|-2|}\).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения \(x\) и \(y\) в выражение \(|\mathbf{x}\left| \text{ }-\text{ } \right|\mathbf{y}|.\) Получим:

\(|-7,5|\text{ }+\text{ }|12|\text{ }=7,5\text{ }+\text{ }12\text{ }=\text{ }19,5.\)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное \(5\) имеют два числа: \(5\) и \(-5\).

Решение 3:

а) \(|3|\text{ }+\text{ }|-9|=\text{ }3+9=\text{ }12;\)
б) \(|-5|-\text{ }\left| 6 \right|\text{ }=\text{ }5-6=\text{ }-1;\)
в) \(|15\left| \cdot  \right|-3|\text{ }=\text{ }15\cdot 3=\text{ }45;\)
г) \(\frac{|8|}{|-2|}=\frac{8}{2}=4.\)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение \(\left| \sqrt{3}-2 \right|+\left| \sqrt{3}+5 \right|\)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу. Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

\(3.\approx 1,7\). Получается, значение первого выражения под модулем \(\displaystyle \sqrt{3}-2\approx 1,7-2\approx -0,3\text{ }\).

\(-0,3<0\), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:
primer
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

\(\left| \sqrt{3}-2 \right|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}\)

Во втором случае просто отбросим знак модуля:

\(\left| \sqrt{3}+5 \right|=\sqrt{3}+5\)

Упростим данное выражение целиком:

\(\left| \sqrt{3}-2 \right|+\left| \sqrt{3}+5 \right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+5=2+5=7\)

Проверь себя — реши задачи на модуль числа.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *