Объем. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

 

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Формула объема куба

Так же, как у плоских фигур кроме длины и ширины есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем. И так же как рассуждения о площади начинаются с квадрата \(\displaystyle 1х1\), сейчас мы начнем с куба \(\displaystyle 1х1х1\).

Объем куба с ребром \(\displaystyle \text{1}\) метр равен \(\displaystyle \text{1}\) кубическому метру.

Формула объема куба

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата \(\displaystyle 1х1\) и обозначалась она \(\displaystyle \text{1}\) м.кв. Ну вот, а объем куба с ребром \(\displaystyle \text{1}\) называется кубическим метром и обозначается \(\displaystyle \text{1}\) м.кв.

Что же такое \(\displaystyle \text{2}\) м.кв.? А вот, смотри:

Формула объема куба 2

Это два кубика с ребром \(\displaystyle \text{1}\).

А чему равен объем куба с ребром \(\displaystyle \text{2}\)?

Давай считать:

Формула объема куба 3

Сколько в большом кубе (с ребром \(\displaystyle \text{2}\)) маленьких (с ребром \(\displaystyle \text{1}\))?

Конечно, \(\displaystyle \text{8}\). Поэтому объем куба с ребром \(\displaystyle \text{2}\) равен \(\displaystyle \text{8}\) кубическим метрам, то есть \(\displaystyle \text{8}\) м.кв. А ведь \(\displaystyle \text{8}\) это \(\displaystyle \text{23}\).

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром \(\displaystyle \sqrt{239}\) верна формула.

\(\displaystyle V\)куба\(\displaystyle ={{a}^{3}}\).

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для \(\displaystyle a=2\)), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных \(\displaystyle a\).

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула для прямоугольного параллелепипеда.

Формула объема куба 4

\(\displaystyle V=abc\)

Звучит это так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений – длины, ширины и высоты.

А дальше… начинается множество формул.

Сюда вставить теорию из тем:

Формула объема призмы

Главная формула объема призмы

\(\displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\)

\(\displaystyle {{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \) –площадь основания

\(H\) – высота

Формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \(H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда

\(\displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\)– то же самое, что

\(\displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\ \ \ \cdot боковое\ ребро\)

Формула объема призмы 2

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

\(\Large \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l\)

\({{\text{S}}_{\bot }}\) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

\(l\) — длина бокового ребра.

Формула объема призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Формула объема пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Формула объема пирамиды

\(\displaystyle \Large V=\frac{1}{3}{{S}_{осн}}\cdot H\)

Откуда взялась именно \(\displaystyle \frac{1}{3}\)? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \(\displaystyle \frac{1}{3}\), а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Формула объема пирамиды 2

Пусть сторона основания равна \(\displaystyle a\), а боковое ребро равно \(\displaystyle b\). Нужно найти \(\displaystyle {{S}_{осн}}\) и \(\displaystyle H\).

\(\displaystyle {{S}_{осн}}\) — это площадь правильного треугольника \(\displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

3

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \).

У нас «\(\displaystyle a\)» — это \(\displaystyle a\), а «\(\displaystyle b\)» — это тоже \(\displaystyle a\), а \(\displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит, \(\displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Теперь найдем \(\displaystyle H\).

Формула объема пирамиды 4

По теореме Пифагора для \(\displaystyle \Delta SOC\)

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}\).

Чему же равно \(\displaystyle OC\)? Это радиус описанной окружности в \(\displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \(\displaystyle O\) — центр \(\displaystyle \Delta ABC\).

Найдем \(\displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

5

\(\displaystyle OC=\frac{2}{3}CK\), так как \(\displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.

\(\displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}\) (теорема Пифагора для \(\displaystyle \Delta ACK\))

\(\displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\); \(\displaystyle CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Значит, \(\displaystyle OC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Подставим \(\displaystyle OC\) в формулу для \(\displaystyle H\).

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}\)

И подставим все в формулу объема:

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\)

\(\displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \(\displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

\(\displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{2}}\).

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема правильной четырехугльной пирамиды

Пусть сторона основания равна \(\displaystyle a\), а боковое ребро равно \(\displaystyle b\).

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}H\).

Здесь \(\displaystyle {{S}_{OCH}}\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \(\displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}\).

Найдем \(\displaystyle H\). По теореме Пифагора для \(\displaystyle \Delta SOD\)

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{D}^{2}}\).

Известно ли нам \(\displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

7

\(\displaystyle OD=a\cdot \cos 45{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{2}}\) (это мы увидели, рассмотрев \(\displaystyle \Delta COD\)).

Подставляем \(\displaystyle OD\) в формулу для \(\displaystyle H\):

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}\);

\(\displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\)

А теперь и \(\displaystyle H\) и \(\displaystyle {{S}_{OCH}}\) подставляем в формулу объема.

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\).

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

8

Пусть сторона основания равна \(\displaystyle a\), а боковое ребро \(\displaystyle b\).

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H\).

Как найти \(\displaystyle {{S}_{OCH}}\)? Смотри, шестиугольник \(\displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

\(\displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\)

Теперь найдем \(\displaystyle H\) (это \(\displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \(\displaystyle \Delta SOE\)

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-OE\)?

Но чему же равно \(\displaystyle OE\)? Это просто \(\displaystyle a\), потому что \(\displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

\(\displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}\)

\(\displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Подставляем:

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OSN}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

\(\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Тела вращения. Формула объема

Объем шара

Формула объема шара \(\displaystyle {{V}_{\text{шара}}}\ \ \ \ \ =\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\) 

\(R\) — радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Объем цилиндра

Формула объема цилиндра \(V=\pi {{R}^{2}}H\) 

\(R\) — радиус основания

\(H\) — высота

Объем конуса

Формула объема конуса \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}H\) 

\(R\) — радиус основания

\(H\) — высота

Подробнее о телах вращения и их свойствах тут:

Тела и поверхности вращения. Подробная теория для среднего уровня.

Проверь себя — реши задачи на объем.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

 

Добавить комментарий