Объем. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

 

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Формула объема куба

Так же, как у плоских фигур кроме длины и ширины есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем. И так же как рассуждения о площади начинаются с квадрата $latex \displaystyle 1х1$, сейчас мы начнем с куба $latex \displaystyle 1х1х1$.

Объем куба с ребром $latex \displaystyle \text{1}$ метр равен $latex \displaystyle \text{1}$ кубическому метру.

Формула объема куба

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата $latex \displaystyle 1х1$ и обозначалась она $latex \displaystyle \text{1}$ м.кв. Ну вот, а объем куба с ребром $latex \displaystyle \text{1}$ называется кубическим метром и обозначается $latex \displaystyle \text{1}$ м.кв.

Что же такое $latex \displaystyle \text{2}$ м.кв.? А вот, смотри:

Формула объема куба 2

Это два кубика с ребром $latex \displaystyle \text{1}$.

А чему равен объем куба с ребром $latex \displaystyle \text{2}$?

Давай считать:

Формула объема куба 3

Сколько в большом кубе (с ребром $latex \displaystyle \text{2}$) маленьких (с ребром $latex \displaystyle \text{1}$)?

Конечно, $latex \displaystyle \text{8}$. Поэтому объем куба с ребром $latex \displaystyle \text{2}$ равен $latex \displaystyle \text{8}$ кубическим метрам, то есть $latex \displaystyle \text{8}$ м.кв. А ведь $latex \displaystyle \text{8}$ это $latex \displaystyle \text{23}$.

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром $latex \displaystyle \sqrt{239}$ верна формула.

$latex \displaystyle V$куба$latex \displaystyle ={{a}^{3}}$.

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для $latex \displaystyle a=2$), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных $latex \displaystyle a$.

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула для прямоугольного параллелепипеда.

Формула объема куба 4

$latex \displaystyle V=abc$

Звучит это так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений – длины, ширины и высоты.

А дальше… начинается множество формул.

Сюда вставить теорию из тем:

Формула объема призмы

Главная формула объема призмы

$latex \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}$

$latex \displaystyle {{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ $ –площадь основания

$latex H$ – высота

Формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то $latex H$ «превращается» в боковое ребро. И тогда

$latex \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}$– то же самое, что

$latex \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\ \ \ \cdot боковое\ ребро$

Формула объема призмы 2

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

$latex \Large \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l$

$latex {{\text{S}}_{\bot }}$ — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

$latex l$ — длина бокового ребра.

Формула объема призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Формула объема пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Формула объема пирамиды

$latex \displaystyle \Large V=\frac{1}{3}{{S}_{осн}}\cdot H$

Откуда взялась именно $latex \displaystyle \frac{1}{3}$? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть $latex \displaystyle \frac{1}{3}$, а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Формула объема пирамиды 2

Пусть сторона основания равна $latex \displaystyle a$, а боковое ребро равно $latex \displaystyle b$. Нужно найти $latex \displaystyle {{S}_{осн}}$ и $latex \displaystyle H$.

$latex \displaystyle {{S}_{осн}}$ — это площадь правильного треугольника $latex \displaystyle ABC$.

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

3

$latex \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma $.

У нас «$latex \displaystyle a$» — это $latex \displaystyle a$, а «$latex \displaystyle b$» — это тоже $latex \displaystyle a$, а $latex \displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значит, $latex \displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем $latex \displaystyle H$.

Формула объема пирамиды 4

По теореме Пифагора для $latex \displaystyle \Delta SOC$

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}$.

Чему же равно $latex \displaystyle OC$? Это радиус описанной окружности в $latex \displaystyle \Delta ABC$, потому что пирамида правильная и, значит, $latex \displaystyle O$ — центр $latex \displaystyle \Delta ABC$.

Найдем $latex \displaystyle OC$ (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

5

$latex \displaystyle OC=\frac{2}{3}CK$, так как $latex \displaystyle O$ — точка пересечения и медиан тоже.

$latex \displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}$ (теорема Пифагора для $latex \displaystyle \Delta ACK$)

$latex \displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}$; $latex \displaystyle CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Значит, $latex \displaystyle OC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Подставим $latex \displaystyle OC$ в формулу для $latex \displaystyle H$.

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}$

И подставим все в формулу объема:

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}$

$latex \displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}$.

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. $latex \displaystyle b=a$), то формула получается такой:

$latex \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{2}}$.

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема правильной четырехугльной пирамиды

Пусть сторона основания равна $latex \displaystyle a$, а боковое ребро равно $latex \displaystyle b$.

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}H$.

Здесь $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}$ и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}$.

Найдем $latex \displaystyle H$. По теореме Пифагора для $latex \displaystyle \Delta SOD$

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{D}^{2}}$.

Известно ли нам $latex \displaystyle OD$? Ну, почти. Смотри:

7

$latex \displaystyle OD=a\cdot \cos 45{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{2}}$ (это мы увидели, рассмотрев $latex \displaystyle \Delta COD$).

Подставляем $latex \displaystyle OD$ в формулу для $latex \displaystyle H$:

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}$;

$latex \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}$

А теперь и $latex \displaystyle H$ и $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}$ подставляем в формулу объема.

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}$.

Проверь себя — реши задачи на  пирамиду.

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

8

Пусть сторона основания равна $latex \displaystyle a$, а боковое ребро $latex \displaystyle b$.

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H$.

Как найти $latex \displaystyle {{S}_{OCH}}$? Смотри, шестиугольник $latex \displaystyle ABCDEF$ состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

$latex \displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$

Теперь найдем $latex \displaystyle H$ (это $latex \displaystyle SO$).

По теореме Пифагора для $latex \displaystyle \Delta SOE$

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-OE$?

Но чему же равно $latex \displaystyle OE$? Это просто $latex \displaystyle a$, потому что $latex \displaystyle \Delta EOF$ (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

$latex \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}$

$latex \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

Подставляем:

$latex \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OSN}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

$latex \displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

Тела вращения. Формула объема

Объем шара

Формула объема шара $latex \displaystyle {{V}_{\text{шара}}}\ \ \ \ \ =\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$ 

$latex R$ — радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Объем цилиндра

Формула объема цилиндра $latex V=\pi {{R}^{2}}H$ 

$latex R$ — радиус основания

$latex H$ — высота

Объем конуса

Формула объема конуса $latex V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}H$ 

$latex R$ — радиус основания

$latex H$ — высота

Подробнее о телах вращения и их свойствах тут:

Тела и поверхности вращения. Подробная теория для среднего уровня.

Проверь себя — реши задачи на объем.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

 

Добавить комментарий