Однородные неравенства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Рассмотрим неравенство с параметром:

\({{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\), при \(a\ne 0\).

Его мы сможем решить с помощью метода интервалов, если разложим левую часть на множители. Но как это сделать? Заметим, что если поделить каждое слагаемое на \({{a}^{2}}\), получим:

\({{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\text{  }\left| :{{a}^{2}} \right.\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{3ax}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}-3\frac{x}{a}+2\le 0\)

Сделав замену \(t=\frac{x}{a}\), получим обычное квадратное неравенство относительно \(t\):

\({{t}^{2}}-3t+2\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left( t-2 \right)\left( t-1 \right)\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  1}\le t\le 2\).

Обратная замена: \(1\le \frac{x}{a}\le 2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}a\le x\le 2a,\text{   } при \ \ a>0\\2x\le x\le a,\text{   } при \ \ a<0\end{array} \right.\)

Такие неравенства называются однородными.

Однородным называется неравенство вида:

\({{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\ge 0\)

(вместо знака \(\ge \) может, конечно, cтоять любой знак неравенства).

То есть, это неравенство с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \(2\). Решаются такие неравенства делением на одну из неизвестных в этой степени:

\({{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\le 0\text{  }\left| :{{y}^{n}}\text{  } \right.\Leftrightarrow \)

\({{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}\le 0\),

и последующей заменой переменных: \(t=\frac{x}{y}\). Таким образом получаем рациональное неравенство \(n\)-ной степени с одной неизвестной \(t\):

\({{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}\le 0\).

Ты заметил ошибку в моих рассуждениях? Ведь нельзя просто так взять и поделить неравенство на переменную! Она (переменная) может оказаться отрицательной или нулевой.

Поэтому всегда нужно специально проверять, можно ли это сделать.

Чаще всего нам будут встречаться неравенства второй степени (то есть квадратные), тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:

\(\displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}\ge 0\text{  }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0  }\Leftrightarrow \text{  }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c\ge 0\text{  }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }\)

\(\displaystyle \underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }a{{t}^{2}}+bt+c\ge 0\$.\)

Отметим также, что эта переменная не может быть равна нулю. В случаях, когда это не очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите неравенство \({{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\) при всех \(a\).

Решение:

Видим здесь типичное однородное неравенство: \(x\) и \(a\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \(2\).

Но, прежде чем разделить на \({{a}^{2}}\) и получить квадратное неравенство относительно \(\frac{x}{a}\), мы должны рассмотреть случай, когда \(a=0\). В этом случае неравенство примет вид: \({{x}^{2}}\le 0\), значит, \(x=0\) – решение неравенства при \(a=0\).

А теперь пусть \(a\ne 0\), тогда и \({{a}^{2}}\ne 0\), и на него можно смело делить:

\({{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}\le 0\text{  }\left| :{{a}^{2}} \right.\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{3ax}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}-3\frac{x}{a}+2\le 0\)

Замена \(t=\frac{x}{a}\):

\({{t}^{2}}-3t+2\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left( t-2 \right)\left( t-1 \right)\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  1}\le t\le 2\).

Обратная замена: \(1\le \frac{x}{a}\le 2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}a\le x\le 2a,\text{   } при \ \ a>0\\2x\le x\le a,\text{   } при \ \ a<0\end{array} \right.\)

Ответ:

\(0\) при \(a=0\);

\(\displaystyle \left[ a;2a \right]\) при \(\displaystyle a>0\)

\(\displaystyle \left[ 2a;a \right]\) при \(\displaystyle a<0\)

Чаще всего однородные неравенства нам попадаются среди показательных. Помнишь, как они решаются? Чтобы их вспомнить, посмотри тему «Показательные неравенства».

Пример:

\({{3}^{x}}-{{2}^{x}}\ge 0\).

Неужели это простое неравенство так сложно называется – однородное?

Да, однородные неравенства чаще всего довольно простые. Действительно, здесь в качестве переменных \({{3}^{x}};\text{ }{{2}^{x}}\), и в каждом слагаемом сумма их степеней одинакова: \(1\).

Итак, на что делим?

\({{3}^{x}}-{{2}^{x}}\ge 0\text{  }\left| :{{2}^{x}}>0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  } \right.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\ge 1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\ge 0\).

Как видим, в показательных неравенствах ничего дополнительно проверять не нужно – все и так всегда строго положительно.

Еще примеры (попробуй решить сам):

  1. \({{3}^{2x}}-2\cdot {{2}^{x}}\cdot {{3}^{x}}+{{2}^{2x}}\le 0\)
  2. \(10\cdot {{5}^{2x}}-29\cdot {{10}^{x}}+10\cdot {{2}^{2x}}\le 0\)
  3. \({{2}^{2x}}-3\cdot {{10}^{x}}+2\cdot {{5}^{2x}}>0\)

Если примеры совсем не даются, повтори темы «Квадратные неравенства» и «Показательные неравенства».

Решения:

1) \(\displaystyle {{3}^{2x}}-2\cdot {{2}^{x}}\cdot {{3}^{x}}+{{2}^{2x}}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \text{  }{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-2\cdot {{2}^{x}}\cdot {{3}^{x}}+{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}\le 0\text{  }\left| :{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}>0 \right.\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle {{\left( \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}+1\le 0\text{  }\underset{t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }{{t}^{2}}-2t+1\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{ }\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \text{  }{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }t=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=0\)

2) \(\displaystyle 10\cdot {{5}^{2x}}-29\cdot {{10}^{x}}+10\cdot {{2}^{2x}}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \text{  }10\cdot {{5}^{2x}}-29\cdot {{2}^{x}}\cdot {{5}^{x}}+10\cdot {{2}^{2x}}\le 0\text{  }\left| :{{2}^{2x}}>0\text{ }\Leftrightarrow  \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 10\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2x}}-29\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}+10\le 0\text{  }\underset{t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }10{{t}^{2}}-29t+10\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 10\left( t-2,5 \right)\left( t-0,4 \right)\le 0\text{  }\Leftrightarrow \)

\(0,4\le t\le 2,5\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{2}{5}\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le \frac{5}{2}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }-1\le x\le 1\).

Ответ: \(\left[ -1;1 \right]\).

3) \(\displaystyle {{2}^{2x}}-3\cdot {{10}^{x}}+2\cdot {{5}^{2x}}>0\text{  }\left| :{{5}^{2x}}>0 \right.\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2x}}-3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+2>0\text{ }\underset{t={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }{{t}^{2}}-3t+2>0\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\left( t-1 \right)\left( t-2 \right)>0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}t>2\\0<t<1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}>2\\0<{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}<1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x<{{\log }_{\frac{2}{5}}}2\\x>0.\end{array} \right.\)

Ответ:

\(\left( -\infty ;{{\log }_{\frac{2}{5}}}2 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)\).

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий