Однородные неравенства

Содержание

Коротко о главном

Однородное неравенство — это неравенство вида:

$latex \displaystyle {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\ge 0$

(вместо $latex \displaystyle \ge $ может стоят любой знак неравенства).

Алгоритм решения:

  1. Проверить что одна из переменных не отрицательна и не равна нулю;
  2. Разделить неравенство на эту переменную
    $latex {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}\le 0\text{  }\left| :{{y}^{n}}\text{  } \right.\Leftrightarrow $
    $latex {{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}\le 0$;
  3. Сделать замену дробной переменной $latex t=\frac{x}{y}$
    $latex {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}\le 0$;
  4. Сделать обратную замену.

Чаще всего будут встречаться неравенства второй степени, тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:

$latex a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}\ge 0\text{  }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0  }\Leftrightarrow \text{  }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c\ge 0\text{  }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }a{{t}^{2}}+bt+c\ge 0$.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий