Однородные уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Решите задачу:

Найдите $latex \frac{a}{b}$, если $latex {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0$.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на $latex {{b}^{2}}$, получим:

$latex {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0\text{  }\left| :{{b}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{3ab}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  } \right.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-3\cdot \left( \frac{a}{b} \right)+2=0$.

То есть, теперь нет отдельных $latex a$ и $latex b$, – теперь переменной в уравнении является искомая величина $latex \frac{a}{b}$. И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно $latex 2$, а сумма $latex 3$ – это числа $latex 2$ и $latex 1$.

Ответ: $latex 1;\text{ }2.$

Уравнения вида

$latex {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0$

называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна $latex 2$. Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

$latex {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\text{  }\left| :{{y}^{n}}\text{  } \right.\Leftrightarrow $$latex {{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}=0$,

И последующей заменой переменных: $latex t=\frac{x}{y}$. Таким образом получаем уравнение $latex n$ степени с одной неизвестной $latex t$:

$latex {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}=0$.

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

$latex \displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}=0\text{  }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0  }\Leftrightarrow \text{  }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c=0\text{  }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$

$latex \displaystyle \Leftrightarrow a{{t}^{2}}+bt+c=0\$.$

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти $latex \frac{x}{y}$, сразу понимаем, что $latex y\ne 0$, поскольку на $latex 0$ делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение $latex {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$.

Решение:

Видим здесь типичное однородное уравнение: $latex \sin x$ и $latex \cos x$ – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна $latex 2$.

Но, прежде чем разделить на $latex {{\cos }^{2}}x$ и получить квадратное уравнение относительно $latex \frac{\sin x}{\cos x}$, мы должны рассмотреть случай, когда $latex \cos x=0$. В этом случае уравнение примет вид: $latex {{\sin }^{2}}x=0$, значит, $latex \sin x=0$. Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: $latex {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1$. Поэтому $latex \cos x\ne 0$, и на него можно смело делить:

$latex \displaystyle {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\text{  }\left| :{{\cos }^{2}}x\ne 0\text{  }\Leftrightarrow  \right.$

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \ \ {{\left( \frac{\sin \ x}{\cos \ x} \right)}^{2}}+3\frac{\sin \ x}{\cos \ x}+2=0\text{ }\Leftrightarrow \text{  }t{{g}^{2}}x+3tg\ x+2=0\ \Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}tg\ x=-2\\tg\ x=-1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-arctg\ 2+\pi k\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\end{array} \right.\text{  }k,n\in \mathbb{Z}.$

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел «Тригонометрические уравнения». Если же непонятно, откуда взялось $latex \left[ \begin{array}{l}tgx=-2\\tgx=-1\end{array} \right.$, тебе нужно вернуться еще раньше – к разделу «Квадратные уравнения».

Реши сам:

  1. Найдите $latex \frac{x}{y}$, если $latex 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0$.
  2. Найдите $latex xy$, если $latex 2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0$.
  3. Решите уравнение $latex {{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0$.

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

Решения:

1. $latex \displaystyle 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0\text{  }\left| :{{y}^{2}}\ne 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  3}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+7\frac{x}{y} \right.+4=0\text{  }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$

$latex \displaystyle \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+7t+4=0$;

$latex D=49-48=1$

$latex {{t}_{1,2}}=\frac{-7\pm 1}{6}\text{  }\Rightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=-1\\\frac{x}{y}=-\frac{4}{3}\end{array} \right.$

Ответ: $latex -\frac{4}{3};\text{ }-1$ .

2. А здесь надо не делить, а умножать:

$latex 2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0\text{  }\left| \times {{y}^{2}}\ne 0 \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2{{\left( xy \right)}^{2}}+5xy+3=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}xy=1\\xy=\frac{3}{2}.\end{array} \right.$

Ответ: $latex 1;\text{ }1,5.$

3. Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

Так как здесь нам нужно делить на $latex {{\cos }^{2}}x$, убедимся сперва, сто он не равен нулю:

$latex {{\cos }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=0$, а это невозможно.

Значит, $latex {{\cos }^{2}}x\ne 0$.

$latex \displaystyle {{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0\text{  }\left| :{{\cos }^{2}}x\ne 0 \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \ \ \text{t}{{\text{g}}^{2}}x-tgx-2=0\text{  }\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l}tg\ x=2\\tg\ x=-1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \left[ \begin{array}{l}x=arctg2+\pi k\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\end{array} \right.\text{  }k,n\in \mathbb{Z}.$

Ответ: $latex arctg2+\pi k;\text{  }-\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{  }k,n\in \mathbb{Z}$.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий