Однородные уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Решите задачу:

Найдите \(\frac{a}{b}\), если \({{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0\).

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на \({{b}^{2}}\), получим:

\({{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0\text{  }\left| :{{b}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{3ab}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  } \right.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-3\cdot \left( \frac{a}{b} \right)+2=0\).

То есть, теперь нет отдельных \(a\) и \(b\), – теперь переменной в уравнении является искомая величина \(\frac{a}{b}\). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно \(2\), а сумма \(3\) – это числа \(2\) и \(1\).

Ответ: \(1;\text{ }2.\)

Уравнения вида

\({{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\)

называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \(2\). Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

\({{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0\text{  }\left| :{{y}^{n}}\text{  } \right.\Leftrightarrow \)\({{k}_{0}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}\left( \frac{x}{y} \right)+{{k}_{n}}=0\),

И последующей заменой переменных: \(t=\frac{x}{y}\). Таким образом получаем уравнение \(n\) степени с одной неизвестной \(t\):

\({{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}=0\).

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

\(\displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}=0\text{  }\left| :{{y}^{2}}\ne \text{0  }\Leftrightarrow \text{  }a{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+b\cdot \frac{x}{y} \right.+c=0\text{  }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow a{{t}^{2}}+bt+c=0\$.\)

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти \(\frac{x}{y}\), сразу понимаем, что \(y\ne 0\), поскольку на \(0\) делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение \({{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\).

Решение:

Видим здесь типичное однородное уравнение: \(\sin x\) и \(\cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \(2\).

Но, прежде чем разделить на \({{\cos }^{2}}x\) и получить квадратное уравнение относительно \(\frac{\sin x}{\cos x}\), мы должны рассмотреть случай, когда \(\cos x=0\). В этом случае уравнение примет вид: \({{\sin }^{2}}x=0\), значит, \(\sin x=0\). Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: \({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1\). Поэтому \(\cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

\(\displaystyle {{\sin }^{2}}x+3\sin x\cdot \cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\text{  }\left| :{{\cos }^{2}}x\ne 0\text{  }\Leftrightarrow  \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \ \ {{\left( \frac{\sin \ x}{\cos \ x} \right)}^{2}}+3\frac{\sin \ x}{\cos \ x}+2=0\text{ }\Leftrightarrow \text{  }t{{g}^{2}}x+3tg\ x+2=0\ \Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}tg\ x=-2\\tg\ x=-1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-arctg\ 2+\pi k\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\end{array} \right.\text{  }k,n\in \mathbb{Z}.\)

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел «Тригонометрические уравнения». Если же непонятно, откуда взялось \(\left[ \begin{array}{l}tgx=-2\\tgx=-1\end{array} \right.\), тебе нужно вернуться еще раньше – к разделу «Квадратные уравнения».

Реши сам:

  1. Найдите \(\frac{x}{y}\), если \(3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0\).
  2. Найдите \(xy\), если \(2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0\).
  3. Решите уравнение \({{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0\).

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

Решения:

1. \(\displaystyle 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0\text{  }\left| :{{y}^{2}}\ne 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  3}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+7\frac{x}{y} \right.+4=0\text{  }\underset{t=\frac{x}{y}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+7t+4=0\);

\(D=49-48=1\)

\({{t}_{1,2}}=\frac{-7\pm 1}{6}\text{  }\Rightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y}=-1\\\frac{x}{y}=-\frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Ответ: \(-\frac{4}{3};\text{ }-1\) .

2. А здесь надо не делить, а умножать:

\(2{{x}^{2}}+5\frac{x}{y}+\frac{3}{{{y}^{2}}}=0\text{  }\left| \times {{y}^{2}}\ne 0 \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2{{\left( xy \right)}^{2}}+5xy+3=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}xy=1\\xy=\frac{3}{2}.\end{array} \right.\)

Ответ: \(1;\text{ }1,5.\)

3. Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

Так как здесь нам нужно делить на \({{\cos }^{2}}x\), убедимся сперва, сто он не равен нулю:

\({{\cos }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=0\), а это невозможно.

Значит, \({{\cos }^{2}}x\ne 0\).

\(\displaystyle {{\sin }^{2}}x-\sin x\cdot \cos x-2{{\cos }^{2}}x=0\text{  }\left| :{{\cos }^{2}}x\ne 0 \right.\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \ \ \text{t}{{\text{g}}^{2}}x-tgx-2=0\text{  }\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l}tg\ x=2\\tg\ x=-1\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\left[ \begin{array}{l}x=arctg2+\pi k\\x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\end{array} \right.\text{  }k,n\in \mathbb{Z}.\)

Ответ: \(arctg2+\pi k;\text{  }-\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{  }k,n\in \mathbb{Z}\).

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *