Окружность. Вписанный угол. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое окружность, знает и пятилетний ребёнок, не правда ли? У математиков, как всегда, на этот счёт есть заумное определение, но мы его приводить не будем (смотри следующие уровни теории), а лучше вспомним, как называются точки, линии и углы, связанные с окружностью.

Важные термины

Ну, во-первых:

650z1 центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во–вторых:

650z2 радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

650z3 Так вот, этот отрезок называется «хорда».

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда \(\displaystyle AB\) стягивает дугу \(\displaystyle AB\). А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

650z4 Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр.

Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,

650z5 радиус равен половине диаметра.

А теперь – названия для углов.

650z6 Угол между двумя радиусами называется центральным.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

650z7 Угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности, называется вписанным углом.

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Давай увидим разницу на картинках:

650z8 650z9

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Измерение дуг и углов

Помнишь мультик «38 попугаев»? Там удава измеряли в попугаях, мартышках и слонах. А дуги и углы измеряются в градусах и радианах. О радианах смотри в следующих уровнях теории, а здесь поговорим о градусах. Начнём?

Ты скажешь: углы в градусах я умею измерять уже давно. И правильно! В градусах нам нужно научиться измерять дугу.

Смотри: вот окружность и дуга на ней.

650z10 Точка \(\displaystyle O\) – центр. Что такое «градусная мера» дуги? Это просто величина угла \(\displaystyle AOB\)! (В градусах, естественно…).

Итак:

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.

По-другому ещё говорят:

Дуга измеряется величиной своего центрального угла.

Тут есть один хитрый момент. Что такое «соответствующий» или «свой» центральный угол? Просто угол с вершиной в центре окружности и концами в концах дуги? Не совсем так. Посмотри-ка на рисунок.

650z11 Замечаешь, что есть две дуги \(\displaystyle AB\)? (маленькая и большая?). И два! Центральных угла \(\displaystyle AOB\).

Один из них, правда, и на угол-то не похож – он больше \(\displaystyle 180{}^\circ \). Но это в треугольнике не может быть углов больше \(\displaystyle 180{}^\circ \), а в окружности – вполне может! Так вот: меньшей дуге AB соответствует меньший угол (оранжевый), а большей – больший. Просто как \(\displaystyle 2\cdot 2\), не правда ли?

Соотношение между величинами вписанного и центрального угла

Запомни очень важное утверждение:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла

В учебниках этот же факт любят записывать так:

Величина вписанного угла измеряется половиной градусной меры дуги, на которую этот угол опирается.

Правда, с центральным углом формулировка проще?

Но всё же давай найдём соответствие между двумя формулировками, а заодно научимся находить на рисунках «соответствующий» центральный угол и дугу, на которую «опирается» вписанный угол.

Смотри: вот окружность и вписанный угол:

650z12 Видишь, \(\displaystyle \angle ABC\) вроде бы как «стоит» на дуге \(\displaystyle AC\)? Вот и появилось название «угол опирается на дугу». Значит, у нас \(\displaystyle \angle ABC\) опирается на дугу \(\displaystyle AC\).

Где же его «соответствующий» центральный угол?

Снова смотрим:

650z13 Углу \(\displaystyle ABC\) соответствует угол \(\displaystyle AOC\).

Какое же правило?

Чтобы получить «соответствующий» центральный угол, нужно в качестве вершины взять центр окружности, а концы оставить.

Но! При этом важно, чтобы вписанный и центральный угол «смотрели» с одной стороны на дугу. Вот, например:

650z14 какой из углов, оранжевый или голубой, будет «соответствующим» для вписанного угла \(\displaystyle ABC\)?

Как ни странно, голубой! Потому что дуга-то длинная, длиннее половины окружности! Вот и не путай никогда!

Какое же следствие можно вывести из «половинчатости» вписанного угла?

А вот, например:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Смотри:

650z15 дуга одна, центральный угол один, а вписанных углов – хоть миллион! И они все равны между собой и равны половине центрального (половине дуги).

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Угол, опирающийся на диаметр

Ты уже успел заметить, что математики очень любят об одном и том же говорить разными словами? Зачем это им? Понимаешь, язык математики хоть и формальный, но живой, а поэтому, как и в обычном языке, каждый раз хочется сказать так, как удобнее. Ну вот, что такое «угол опирается на дугу» мы уже видели. И представь себе, та же самая картина называется «угол опирается на хорду». На какую? Да конечно на ту, которая стягивает эту дугу!

Смотри:

650z16 \(\displaystyle \angle ABC\) опирается на дугу \(\displaystyle AC\) и на хорду \(\displaystyle AC\) – смотря, как удобнее в конкретном случае сказать.

Когда же опираться на хорду удобнее, чем на дугу?

Ну, в частности, когда эта хорда – диаметр.

Для такой ситуации есть удивительно простое, красивое и полезное утверждение!

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри: вот окружность, диаметр \(\displaystyle AC\) и угол \(\displaystyle ABC\), который на него опирается.

650z17 Какой же центральный угол соответствует углу \(\displaystyle ABC\)? Ну, конечно, \(\displaystyle AOC\)! Но он же … равен \(\displaystyle 180{}^\circ \)! Правильно, и вот именно поэтому \(\angle ABC={{90}^{\circ }}\).

Опять как \(\displaystyle 2\cdot 2\). Если интересно, почему же вписанный угол равен половине центрального, и какие углы ещё можно как посчитать, читай следующие «серии»! Удачи!

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий