Описанная окружность. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Первый вопрос, который может возникнуть: описанная – вокруг чего?

Ну, вообще-то иногда бывает и вокруг чего угодно, а мы будем рассуждать об окружности, описанной вокруг (иногда ещё говорят «около») треугольника. Что же это такое?

Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.

Вот так:

Описанная окружность рис. 1

И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

Почему этот факт удивительный?

Но ведь треугольники – то бывают разные!

Описанная окружность рис. 2

И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.

Доказательство этого удивительного факта можешь найти в следующих уровнях теории, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины. Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!

Описанная окружность рис. 3

А есть только для прямоугольника:

Описанная окружность рис. 4

Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность!  И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?

Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему Это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.Прямая $latex \displaystyle a$ – это серединный перпендикуляр к отрезку $latex \displaystyle AB$.

Проверь себя — реши задачи на описанную окружность.

А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.

Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке $latex \displaystyle O$.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника $latex \displaystyle ABC$ окружности.

Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!

Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!

Вот так:

Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи

А вот если остроугольный, то – внутри:

Если треугольник остроугольный, то центр его описанной окружности лежит внутри

Что же делать с прямоугольным треугольником?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Правда, здорово?Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!

Да ещё с дополнительным бонусом:

в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

Проверь себя — реши задачи на описанную окружность.

Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть  ответ на этот вопрос:  так называемая теорема синусов.

А именно:

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

В произвольном треугольнике:
$latex \Large \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=2R$

Ну и, конечно,

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{b}{\sin \angle B}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array}$

Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр , и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол. Хорошая формула? По-моему, просто отличная!

Проверь себя — реши задачи на описанную окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий