Описанная окружность. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В этой части мы обсуждали окружность, описанную вокруг (часто говорят «около») треугольника. Прежде всего дадим определение.

Окружность, описанная около треугольника – такая окружность, что происходит через все три вершины этого треугольника.

1. Существование и центр описанной окружности

Тут возникает вопрос: а для всякого ли треугольника существует такая окружность? Вот оказывается, что да, для всякого. И более того, мы сейчас сформулируем теорему, которая ещё и отвечает на вопрос, где же находится центр описанной окружности.

Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.

Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Смотри, вот так:

Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом. Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему. Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Геометрическое место точек, обладающих свойством «$latex \displaystyle X$» — такое множество точек, что все они обладают свойством «$latex \displaystyle X$» и никакие другие точки этим свойством не обладают.

Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы. А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют. В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.

Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «$latex \displaystyle X$» — это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

  1. Всякая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка
  2. Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка – находится на серединном перпендикуляре к ему.
Всякая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка Проверим 1. Пусть точка $latex \displaystyle M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $latex \displaystyle AB$.

Соединим $latex \displaystyle M$ с $latex \displaystyle A$ и с $latex \displaystyle B$.Тогда линия $latex \displaystyle MK$ является медианой и высотой в $latex \displaystyle \Delta AMB$. Значит, $latex \displaystyle \Delta AMB$ – равнобедренный, $latex \displaystyle MA=MB$ – убедились, что любая точка $latex \displaystyle M$, лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle B$.

Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка – находится на серединном перпендикуляре к ему. Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка $latex \displaystyle M$ равноудалена от точек $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle B$, то есть $latex \displaystyle MA=MB$.

Возьмём $latex \displaystyle K$ – середину $latex \displaystyle AB$ и соединим $latex \displaystyle M$ и $latex \displaystyle K$. Получилась медиана $latex \displaystyle MK$. Но $latex \displaystyle \Delta AMB$ – равнобедренный по условию $latex \displaystyle (MA=MB)\Rightarrow MK$ не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка $latex \displaystyle M$ — точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Рассмотрим треугольник $latex \displaystyle ABC$. Проведём два серединных перпендикуляра $latex \displaystyle {{a}_{1}}$ и $latex \displaystyle {{a}_{2}}$, скажем, к отрезкам $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle BC$. Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем $latex \displaystyle O$.

А теперь, внимание!

Точка $latex \displaystyle O$ лежит на серединном перпендикуляре $latex \displaystyle {{a}_{1}}\Rightarrow OA=OB$;
точка $latex \displaystyle O$ лежит на серединном перпендикуляре $latex \displaystyle {{a}_{2}}\Rightarrow OB=OC$.
И значит, $latex \displaystyle OA=OB=OC$ и $latex \displaystyle OA=OC$.

Отсюда следует сразу несколько вещей:

Во – первых, $latex \displaystyle OA=OC\Rightarrow $ точка $latex \displaystyle O$ обязана лежать на третьем серединном перпендикуляре, к отрезку $latex \displaystyle AC$.

11

То есть серединный перпендикуляр $latex \displaystyle {{a}_{3}}$ тоже обязан пройти через точку $latex \displaystyle O$, и $latex \displaystyle \Rightarrow $ все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке.

Во – вторых: $latex \displaystyle OA=OB=OC\Rightarrow $ если мы проведём окружность с центром в точке $latex \displaystyle O$ и радиусом $latex \displaystyle OA$, то эта окружность также пройдёт и через точку $latex \displaystyle B$, и через точку $latex \displaystyle C$, то есть будет описанной окружностью $latex \displaystyle \Delta ABC$. Значит, уже есть, что пересечение трёх серединных перпендикуляров – центр описанной окружности для любого треугольника.

И последнее: о единственности. Ясно (почти), что точку $latex \displaystyle O$ можно получить единственным образом, поэтому и окружность – единственная. Ну, а «почти» — оставим на твоё размышление. Вот и доказали теорему. Можно кричать «Ура!».

Проверь себя — реши задачи на описанную окружность.

2. Радиус описанной окружности.

А если в задаче стоит вопрос «найдите радиус описанной окружности»? Или наоборот, радиус дан, а требуется найти что – то другое? Есть ли формула, связывающая радиус описанной окружность с другими элементами треугольника?

Радиус описанной окружности Есть, конечно! И эта формула называется «Теорема синусов» (доказательство смотри именно в этой теме).$latex \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R$

То есть:

$latex \large\displaystyle \frac{\text{a}}{\sin \angle \text{A}}=2\text{R}$ и

$latex \large\displaystyle \frac{\text{b}}{\sin \angle \text{B}}=2\text{R}$ и

$latex \large\displaystyle \frac{\text{c}}{\sin \angle \text{C}}=2\text{R}$.

Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, тебе нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол. И всё!

Проверь себя — реши задачи на описанную окружность.

3. Центр окружности – внутри или снаружи

А теперь вопрос: может ли центр описанной окружности лежать снаружи треугольника.
Ответ: ещё как может. Более того, так всегда бывает в тупоугольном треугольнике.

И вообще:

В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

Проверь себя — реши задачи на описанную окружность.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий