Описанный четырехугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое описанный четырехугольник? Посмотри – сперва нарисуем:

1

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например длинный прямоугольник.

2

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

3 \(\displaystyle a+c=b+d\)
или (то же самое)
\(\displaystyle AB+CD=AD+BC\)

Проверь себя — реши задачи на описанный четырехугольник.

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике \(\displaystyle ABCD\) «сидит» окружность.

Описанный четырехугольник. Суммы противоположных сторон равны

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

\(\displaystyle BK=BN\) (обозначим \(\displaystyle x\))

\(\displaystyle CK=CL\) (обозначим \(\displaystyle y\))

\(\displaystyle DL=DM\) (обозначим \(\displaystyle z\))

\(\displaystyle AM=AN\) (обозначим \(\displaystyle u\))

А теперь получилось, что

\(\displaystyle \left| \begin{array}{l}AB=x+u\\CD=y+z\end{array} \right.\Rightarrow AB+CD=x+y+z+u\)

и

\(\displaystyle \left| \begin{array}{l}BC=x+y\\AD=u+z\end{array} \right.\Rightarrow BC+AD=x+y+z+u\)

То есть \(\displaystyle AB+CD=AD+BC\)! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм \(\displaystyle ABCD\).

5

Раз параллелограмм, то \(\displaystyle AB=CD,~AD=BC\) (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим \(\displaystyle \text{AB}=\text{CD}\) буквой \(\displaystyle a\), а \(\displaystyle \text{AD}=\text{BC}\) буквой \(\displaystyle b\).

А теперь применим теорему. \(\displaystyle ABCD\) описанный  \(\displaystyle \Rightarrow a+a=b+b\), то есть \(\displaystyle a=b\) – вот и получился ромб.

6 Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что \(\displaystyle AB+CD=AD+BC\) – и задача решится! … Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

Проверь себя — реши задачи на описанный четырехугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *