Описанный четырехугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое описанный четырехугольник? Посмотри – сперва нарисуем:

1

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например длинный прямоугольник.

2

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

3 $latex \displaystyle a+c=b+d$
или (то же самое)
$latex \displaystyle AB+CD=AD+BC$

Проверь себя — реши задачи на описанный четырехугольник.

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике $latex \displaystyle ABCD$ «сидит» окружность.

Описанный четырехугольник. Суммы противоположных сторон равны

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

$latex \displaystyle BK=BN$ (обозначим $latex \displaystyle x$)

$latex \displaystyle CK=CL$ (обозначим $latex \displaystyle y$)

$latex \displaystyle DL=DM$ (обозначим $latex \displaystyle z$)

$latex \displaystyle AM=AN$ (обозначим $latex \displaystyle u$)

А теперь получилось, что

$latex \displaystyle \left| \begin{array}{l}AB=x+u\\CD=y+z\end{array} \right.\Rightarrow AB+CD=x+y+z+u$

и

$latex \displaystyle \left| \begin{array}{l}BC=x+y\\AD=u+z\end{array} \right.\Rightarrow BC+AD=x+y+z+u$

То есть $latex \displaystyle AB+CD=AD+BC$! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм $latex \displaystyle ABCD$.

5

Раз параллелограмм, то $latex \displaystyle AB=CD,~AD=BC$ (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим $latex \displaystyle \text{AB}=\text{CD}$ буквой $latex \displaystyle a$, а $latex \displaystyle \text{AD}=\text{BC}$ буквой $latex \displaystyle b$.

А теперь применим теорему. $latex \displaystyle ABCD$ описанный  $latex \displaystyle \Rightarrow a+a=b+b$, то есть $latex \displaystyle a=b$ – вот и получился ромб.

6 Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что $latex \displaystyle AB+CD=AD+BC$ – и задача решится! … Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

Проверь себя — реши задачи на описанный четырехугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий