Описанный четырехугольник. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

1 Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Ну, вот пример:

2

А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.

И вот эта теорема:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Описанный четырехугольник. Теорема В буквах:
\(\large a+c=b+d\)
или (в других буквах)
\(\large AB+CD=AD+BC\)

Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает

a) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то    \(AB+CD=AD+BC\)

b) Если в четырехугольнике есть \(AB+CD=AD+BC\), то в него можно вписать окружность.

(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)

Проверь себя — реши задачи на описанный четырехугольник.

А теперь – доказательство!

Пункт a) вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:

4 Пусть в \(ABCD\) вписана окружность. Тогда получается из точек \(A,B,C,\) и \(D\) проведено по две касательных, которые равны! (Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)

Итак, у нас

\(\displaystyle BK=BN\) (обозначим \(x\))

\(\displaystyle CK=CL\) (обозначим \(y\))

\(\displaystyle DL=DM\) (обозначим \(z\))

\(\displaystyle AM=AN\) (обозначим \(u\))

И теперь получается, что

\(\begin{array}{*{20}{c}}{AB = x + u}\\{CD = y + z}\end{array} \Rightarrow AB + CD = x + y + z + u\)

и

\(\begin{array}{*{20}{c}}{BC = x + u}\\{AD = u + z}\end{array} \Rightarrow AD + BC = x + y + z + u\)

\(\displaystyle \Rightarrow AB+CD=AD+BC!\)

Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.

Готово: пункт a) доказали.

А теперь, наоборот, пункт б).

Пусть в \(\displaystyle ABCD\) выполняется \(\displaystyle AB+CD=AD+BC\)

Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» — \(\displaystyle ABCD\) без стороны \(\displaystyle AD\).

5 Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром \(\displaystyle O\) такой окружности будет пересечение биссектрис углов \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\).

Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона \(\displaystyle AD\), если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек. Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.

6 Пусть \(\displaystyle AD\) пересекает окружность. Давай тогда проведём \(\displaystyle A{{D}_{1}}\), которая будет касаться окружности.

По пункту а) для четырехугольника \(\displaystyle ABC{{D}_{1}}\) должно быть

\(\displaystyle AB+C{{D}_{1}}=A{{D}_{1}}+BC\),

а по условию для четырехугольника \(\displaystyle ABCD\) 

\(\displaystyle AB+CD=AD+BC\).

Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)

\(\displaystyle C{{D}_{1}}-CD=A{{D}_{1}}-AD\)

То есть \(\displaystyle D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}}\)

Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для \(\Delta AD{{D}_{1}}\):

должно быть \(D{{D}_{1}}+AD>A{{D}_{1}}\), а у нас \(D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}}\).

Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что \(AD\) НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.

Пусть теперь \(AD\) «не дотягивается» до окружности.

7 Снова проведём \(A{{D}_{1}}\), которая этой окружности каснется. И опять \(AB+C{{D}_{1}}=A{{D}_{1}}+BC\) и \(AB+CD=AD+BC\). Теперь вычитаем из нижнего верхнее.
\(CD-C{{D}_{1}}=AD-A{{D}_{1}}\)

То есть \(\displaystyle D{{D}_{1}}+A{{D}_{1}}=AD\) – опять нарушаем неравенство треугольника для \(\displaystyle \Delta AD{{D}_{1}}\) — значит, опять имеем противоречие и заключаем, что \(\displaystyle AD\) НЕ МОЖЕТ вовсе не иметь общих точек с окружностью.

И что же этой бедной \(\displaystyle AD\) остаётся?

Только касаться окружности.

Вот и доказали пункт б), а с ним и всю теорему.

Проверь себя — реши задачи на описанный четырехугольник.

А теперь посмотрим, как работает эта теорема. Докажем такое следствие:

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Доказываем: пусть есть параллелограмм \(\displaystyle ABC{{D}}\).

8 По свойству параллелограмма \(\displaystyle AB=CD~\) (обозначим  \(\displaystyle a\)) и \(\displaystyle BC=AD~\) (обозначим  \(\displaystyle b\)).

Раз в \(\displaystyle ABCD\) можно вписать окружность, то \(\displaystyle AB+CD=AD+BC\), то есть \(\displaystyle 2a=2b\); \(\displaystyle a=b\).

9 Вот и получился ромб. Понравилось?

 

Вот и прими  на вооружение: если в задаче сказано, что окружность вписана в какой-нибудь четырехугольник, то постарайся применить то, что тогда \(\displaystyle AB+CD=AD+BC\) или даже прямо структуру из кусочков касательных – обязательно поможет!

Проверь себя — реши задачи на описанный четырехугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *