Основные понятия и аксиомы планиметрии. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? Причем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить. Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом».

Так что, внимание!

Основные объекты и аксиомы планиметрии.

Точка и прямая

1!

Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.

Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» — утверждения, которые принимаются за основу , из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется

I. Аксиомы принадлежности.

  • Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:

Точки принадлежащие прямой.

и так:

Точки не принадлежащие прямой.

  • Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Вот так: было две точки:

Две точки.

И тут же нашлась прямая:

Прямая, проведенная через две точки.

А другой – нет!

Нельзя одновременно провести две прямые, через две точки.

Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты – на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая».

Луч, отрезок, угол.

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие «блюда» — луч, отрезок, угол.

1) ЛУЧ

луч

  • Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

Вот он, луч:

Начало луча.

Дополнительные лучи.

2) ОТРЕЗОК

Отрезок.

  • Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.
3) УГОЛ
  • Углом называется  часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.
Угол. Вершина угла.
  • Лучи, образующие угол, называются сторонами угла а их общее начало – вершиной угла.
Развернутый угол.
  • Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.

Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:

II. Аксиомы порядка.

  • Аксиома 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  • Аксиома 2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Плоскость, полуплоскость, отрезки.

Теперь — следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются

III. Аксиомы мер для отрезков и углов.

  • Аксиома 3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Длина отрезка. \(\displaystyle d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}\)
  • Аксиома 3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен \(\displaystyle 180{}^\circ \). Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Градус угла. \(\displaystyle x=x_{1}^{{}^\circ }+x_{2}^{{}^\circ }\)
  • Аксиома 3.3. Каково бы ни было число \(\displaystyle d>0\), существует отрезок длины \(\displaystyle d\).

А теперь уже совсем странно.

IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному.

  • Аксиома 4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:

  • Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом.

Следствие 1. Иллюстрация.

  • Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом.

Следствие 2. Иллюстрация.

Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных!

Но сперва определение:

Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

V. Аксиома параллельных.

  • Аксиома 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.

А теперь два основных факта об углах!

Смежные и вертикальные углы.

Смежные углы. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной

  • Теорема. Сумма смежных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \)
Сумма смежных углов. \(\displaystyle 180{}^\circ=x_{1}^{{}^\circ }+x_{2}^{{}^\circ }\)

Это совсем простая теорема, правда?

Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть \(\displaystyle 180{}^\circ \).

Вертикальные углы проще нарисовать, чем описывать – смотри картинку.

Вертикальные углы.

  • Теорема. Вертикальные углы равны.

Эта тоже легкая теорема. Убедись:

Вертикальные углы. Обоснование равенства вертикальных углов. \(\displaystyle \angle 1+\angle 3=180{}^\circ \)  (они смежные).\(\displaystyle \angle 2+\angle 3=180{}^\circ \)   (тоже смежные)\(\displaystyle \angle 1=\angle 2\) — и ВСЁ!

Прямой угол.

Если угол равен смежному с ним, то он называется ПРЯМЫМ УГЛОМ.
Прямой угол. Его величина равна \(\displaystyle 90{}^\circ \) (ну конечно, ведь \(\displaystyle 90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ \))

Острый и тупой угол.

Острый угол Углы, меньшие \(\displaystyle 90{}^\circ \), называются острыми углами.
Тупой угол. Углы от \(\displaystyle 90{}^\circ \) до \(\displaystyle 180{}^\circ \) называются тупыми углами.

Вот и всё… Дальше нужно говорить о параллельности и о треугольниках. Так что, вперед, в следующие темы.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Основные понятия и аксиомы планиметрии. Средний уровень.: 1 комментарий

Добавить комментарий