Параллельность в пространстве. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Помнишь, на плоскости была тема «Параллельные прямые»?

Так вот, в пространстве тоже бывают параллельные прямые. Но… не только прямые. Поскольку в пространстве вообще объектов больше, чем на плоскости, то и вариантов параллельностей тоже больше. Итак, в пространстве могут оказаться параллельными

1. Две прямые

2. Прямая и плоскость

3. Две плоскости.

Давай разберёмся с каждым вариантом.

1. Параллельность двух прямых в пространстве

Определение:

Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Вот так:

Параллельность в пространстве: параллельность двух прямых

Обрати внимание! Здесь очень важны слова «лежат в одной плоскости». Потому что в пространстве бывают другие, НЕ параллельные прямые, которые тоже НЕ пересекаются. Вот, например, такие:

2

Видишь, через прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) никак нельзя провести плоскость, но они и не пересекаются. Такие прямые называются скрещивающиеся. Не пересекающиеся! И не параллельные!

Итак ещё раз:

Прямые в пространстве параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Параллельность прямой и плоскости

Определение:

Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Параллельность в пространстве: параллельность прямой и плоскости

Вот так: видишь, прямая как бы «висит» над плоскостью.

И представь себе, существует признак параллельности прямой и плоскости. Давай его сформулируем.

Признак параллельности прямой и плоскости.

4

Прямая \(\displaystyle a \) параллельна плоскости \(\displaystyle \alpha \), если в этой плоскости есть (хоть одна!) прямая \(\displaystyle b\), параллельная \(\displaystyle a\).

Можно сказать и немного другими словами, но смысл остаётся тот же.

Если прямая \(\displaystyle a \) параллельна прямой \(\displaystyle b\), лежащей в плоскости \(\displaystyle \alpha \), то прямая \(\displaystyle a\) параллельна и всей плоскости \(\displaystyle \alpha \).

Доказывать этот признак мы здесь не будем (смотри следующие уровни теории).

3. Параллельность плоскостей

И снова сначала определение:

Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.

Признак параллельности двух плоскостей

Параллельность в пространстве: параллельность двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, но такие плоскости параллельны.

Слишком много слов? А ты посмотри на картинку: если \(\displaystyle a\parallel {a}’\) и \(\displaystyle b\parallel {b}’\), то это значит, что \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle {{\alpha }’}\) (плоскости) — параллельны, то есть нигде не пересекутся.

Параллельность в пространстве: свойство транзитивности

Ух, ну и название! О чём же мы? А вот ты задумайся над вопросом: правда ли, что если прямая \(\displaystyle a \) параллельна прямой \(\displaystyle b\), a \(\displaystyle ~b\parallel c\), то \(\displaystyle a\parallel c\)? И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “\(\displaystyle a\)” через “\(\displaystyle b\)” на “\(\displaystyle c\)” и называется «транзитивность». Давай-ка теперь рассмотрим несколько вариантов в буквах и картинках:

\(\displaystyle a\parallel b\) и \(\displaystyle b\parallel c\Rightarrow a\parallel c\).

Транзитивность параллельностей

 

\(\displaystyle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{  }\!\!~\!\!\quad\) и \(\displaystyle\quad\!\!\beta\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\gamma\!\!\text{ }\Rightarrow \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\gamma\!\!\text{ }\).

7

 

\(\displaystyle a\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\quad\) и \(\displaystyle \quad\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\Rightarrow \text{a}\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\).

8

 

\(\displaystyle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel b\quad\) и \(\displaystyle\quad b\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\Rightarrow \text{a}\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\)

9

 

И один неверный вариант:

\(\displaystyle a\parallel \alpha \) и \(\displaystyle \alpha \parallel b\) \(\displaystyle\quad\text{НЕ} \Rightarrow \) \(\displaystyle a\parallel b\).

10

 

Посмотри – убедись!

Ну вот, мы обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности. Давай теперь рассмотрим несколько примеров.

Примеры:

1. Пример на признак параллельности прямой и плоскости. Пусть \(\displaystyle SABCD\) – правильная 4 — угольная пирамида. Тогда, например, \(\displaystyle AB\parallel SCD\). Почему? Но ведь \(\displaystyle AB\parallel CD\), а \(\displaystyle CD\) лежит в плоскости \(\displaystyle SCD\). Значит (по признаку) \(\displaystyle AB\parallel SCD\).

11

2. Пример на признак параллельности плоскостей. Пусть в пирамиде \(\displaystyle SABC\) проведена плоскость \(\displaystyle MNK\) через середины рёбер \(\displaystyle SA\), \(\displaystyle SB\) и \(\displaystyle SC\). Тогда \(\displaystyle MNK\parallel ABC\). Почему? Да просто \(\displaystyle MN\parallel AB\) (средняя линия), \(\displaystyle NK\parallel BC\) (тоже средняя линия, но в \(\displaystyle \Delta SBC\)). Значит, получилось, что \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle NK\) – пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) – пересекающимся прямым в другой плоскости – работает признак \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle MNK\parallel ABC\).

12

 

 

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наверх ▴