Параллельность в пространстве. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Помнишь, на плоскости была тема «Параллельные прямые»?

Так вот, в пространстве тоже бывают параллельные прямые. Но… не только прямые. Поскольку в пространстве вообще объектов больше, чем на плоскости, то и вариантов параллельностей тоже больше. Итак, в пространстве могут оказаться параллельными

1. Две прямые

2. Прямая и плоскость

3. Две плоскости.

Давай разберёмся с каждым вариантом.

1. Параллельность двух прямых в пространстве

Определение:

Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Вот так:

Параллельность в пространстве: параллельность двух прямых

Обрати внимание! Здесь очень важны слова «лежат в одной плоскости». Потому что в пространстве бывают другие, НЕ параллельные прямые, которые тоже НЕ пересекаются. Вот, например, такие:

2

Видишь, через прямые $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle b$ никак нельзя провести плоскость, но они и не пересекаются. Такие прямые называются скрещивающиеся. Не пересекающиеся! И не параллельные!

Итак ещё раз:

Прямые в пространстве параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Параллельность прямой и плоскости

Определение:

Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Параллельность в пространстве: параллельность прямой и плоскости

Вот так: видишь, прямая как бы «висит» над плоскостью.

И представь себе, существует признак параллельности прямой и плоскости. Давай его сформулируем.

Признак параллельности прямой и плоскости.

4

Прямая $latex \displaystyle a $ параллельна плоскости $latex \displaystyle \alpha $, если в этой плоскости есть (хоть одна!) прямая $latex \displaystyle b$, параллельная $latex \displaystyle a$.

Можно сказать и немного другими словами, но смысл остаётся тот же.

Если прямая $latex \displaystyle a $ параллельна прямой $latex \displaystyle b$, лежащей в плоскости $latex \displaystyle \alpha $, то прямая $latex \displaystyle a$ параллельна и всей плоскости $latex \displaystyle \alpha $.

Доказывать этот признак мы здесь не будем (смотри следующие уровни теории).

3. Параллельность плоскостей

И снова сначала определение:

Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.

Признак параллельности двух плоскостей

Параллельность в пространстве: параллельность двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, но такие плоскости параллельны.

Слишком много слов? А ты посмотри на картинку: если $latex \displaystyle a\parallel {a}’$ и $latex \displaystyle b\parallel {b}’$, то это значит, что $latex \displaystyle \alpha $ и $latex \displaystyle {{\alpha }’}$ (плоскости) — параллельны, то есть нигде не пересекутся.

Параллельность в пространстве: свойство транзитивности

Ух, ну и название! О чём же мы? А вот ты задумайся над вопросом: правда ли, что если прямая $latex \displaystyle a $ параллельна прямой $latex \displaystyle b$, a $latex \displaystyle ~b\parallel c$, то $latex \displaystyle a\parallel c$? И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “$latex \displaystyle a$” через “$latex \displaystyle b$” на “$latex \displaystyle c$” и называется «транзитивность». Давай-ка теперь рассмотрим несколько вариантов в буквах и картинках:

$latex \displaystyle a\parallel b$ и $latex \displaystyle b\parallel c\Rightarrow a\parallel c$.

Транзитивность параллельностей

 

$latex \displaystyle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{  }\!\!~\!\!\quad$ и $latex \displaystyle\quad\!\!\beta\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\gamma\!\!\text{ }\Rightarrow \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\gamma\!\!\text{ }$.

7

 

$latex \displaystyle a\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\quad$ и $latex \displaystyle \quad\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\Rightarrow \text{a}\parallel \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }$.

8

 

$latex \displaystyle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\parallel b\quad$ и $latex \displaystyle\quad b\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\Rightarrow \text{a}\parallel \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$

9

 

И один неверный вариант:

$latex \displaystyle a\parallel \alpha $ и $latex \displaystyle \alpha \parallel b$ $latex \displaystyle\quad\text{НЕ} \Rightarrow $ $latex \displaystyle a\parallel b$.

10

 

Посмотри – убедись!

Ну вот, мы обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности. Давай теперь рассмотрим несколько примеров.

Примеры:

1. Пример на признак параллельности прямой и плоскости. Пусть $latex \displaystyle SABCD$ – правильная 4 — угольная пирамида. Тогда, например, $latex \displaystyle AB\parallel SCD$. Почему? Но ведь $latex \displaystyle AB\parallel CD$, а $latex \displaystyle CD$ лежит в плоскости $latex \displaystyle SCD$. Значит (по признаку) $latex \displaystyle AB\parallel SCD$.

11

2. Пример на признак параллельности плоскостей. Пусть в пирамиде $latex \displaystyle SABC$ проведена плоскость $latex \displaystyle MNK$ через середины рёбер $latex \displaystyle SA$, $latex \displaystyle SB$ и $latex \displaystyle SC$. Тогда $latex \displaystyle MNK\parallel ABC$. Почему? Да просто $latex \displaystyle MN\parallel AB$ (средняя линия), $latex \displaystyle NK\parallel BC$ (тоже средняя линия, но в $latex \displaystyle \Delta SBC$). Значит, получилось, что $latex \displaystyle MN$ и $latex \displaystyle NK$ – пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle BC$ – пересекающимся прямым в другой плоскости – работает признак $latex \displaystyle \Rightarrow $ $latex \displaystyle MNK\parallel ABC$.

12

 

 

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий