Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

1. Параллелограмм

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

Смотри:

Параллелограмм. Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

Параллельные прямые

Пересекли ещё двумя:

параллельные прямые 2.

И вот внутри – параллелограмм!

Какие же есть свойства у параллелограмма?

Свойства параллелограмма.

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм?

На этот вопрос отвечает следующая теорема:

В любом параллелограмме:

  1. Противоположные стороны равны
  2. Противоположные углы равны
  3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

Противоположные стороны параллелограмма равны. \(\displaystyle AB=CD\) и
\(\displaystyle AD=BC\).

Второй пункт  означает, что если ЕСТЬ параллелограмм, то, опять же, непременно:

Противоположные углы параллелограмма равны. \(\displaystyle \angle A=\angle C\)  и
\(\displaystyle \angle B=\angle D\)

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

Диагонали в параллелограмме делятся пополам точкой пересечения. \(\displaystyle AO=OC\)  и
\(\displaystyle BO=OD\)

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма.

Внимание! Начинаем.

  • Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 1. \(\displaystyle AB=CD\); \(\displaystyle AB\parallel CD\) \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle ABCD\) — параллелограмм.

\(\displaystyle \text{AB}=\text{CD};\text{AB}\parallel \text{CD}\Rightarrow \text{ABCD}\) — паралелограмм.

  • Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 2. \(\displaystyle AB=CD\); \(\displaystyle AD=BC\) \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.
  • Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 3. \(\displaystyle \angle A=\angle C\); \(\displaystyle \angle B=\angle D\)\(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.
  • Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 4. \(\displaystyle AO=OC\); \(\displaystyle BO=OD\) \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Обрати внимание: если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

2. Прямоугольник

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Прямоугольник. Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является! Ведь у него \(\displaystyle \angle A=\angle C\left( =90{}^\circ  \right)\) и \(\displaystyle \angle B=\angle D\left( =90{}^\circ  \right)\) — помнишь, наш признак 3?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма \(\displaystyle AB=CD\) и \(\displaystyle BC=AD\), а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны: \(\displaystyle AC=BD\).

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Свойство прямоугольника. Если у параллелограмма равны диагонали, то это — прямоугольник.

Обрати внимание: чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

3. Ромб

Ромб. Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него \(\displaystyle AB=CD\) и \(\displaystyle BC=AD\) (вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромбпараллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

  • Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.
Свойство ромба 1. \(\displaystyle AC\bot BD\) (если ты забыл, напомню: \(\bot \) —  значок перпендикулярности)
  • Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Свойство ромба 2.

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Признаки ромба

  • Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Признак ромба 1.

  • Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

Признак ромба 2.

И снова обрати внимание: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм. Убедись:

Ромбом может быть только параллелограмм. разве это ромб?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ \(\displaystyle AC\) – биссектриса углов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\). Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому \(\displaystyle ABCD\) – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

4. Квадрат

Квадрат Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат, прямоугольник, ромб. У квадрата угол между диагональю и стороной равен \(\displaystyle 45{}^\circ \).

Понятно почему? Квадратромб \(\displaystyle \Rightarrow AC\) – биссектриса угла A, который равен \(\displaystyle 90{}^\circ \). Значит \(\displaystyle AC\) делит \(\displaystyle \angle A\) (да и \(\displaystyle \angle C\) тоже) на два угла по \(\displaystyle 45{}^\circ \).

Диагонали квадрата. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник \(\displaystyle \Rightarrow \) диагонали равны; ромб \(\displaystyle \Rightarrow \) диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм \(\displaystyle \Rightarrow \) диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Диагональ квадрата. Если сторона квадрата равна  \(\displaystyle a\), то его диагональ равна \(\displaystyle a\sqrt{2}\).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к \(\displaystyle \Delta ADC\).

\(\displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\)

Значит, \(\displaystyle AC=\sqrt{2}\cdot a\).

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий