Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

1) Противоположные стороны равны Параллелограмм. Противоположные стороны равны.
2) Противоположные углы равны Параллелограмм. Противоположные углы равны.
3) Диагонали делятся пополам точкой пересечения Параллелограмм. Диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Параллелограмм. Доказательство теоремы. Давай проведём диагональ \(\displaystyle AC\). Что получится?
Два треугольника: \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ADC\).

Раз \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм, то :

  • \(\displaystyle AD||BC\)  \(\displaystyle \Rightarrow ~\angle 1=\angle 2\) как накрест лежащие
  • \(\displaystyle AB||CD\ \)  \(\displaystyle \Rightarrow ~\angle 3=\angle 4\) как накрест лежащие.

Значит, \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) (по II признаку: \(\displaystyle \angle 1=\angle 2,~~\angle 3=\angle 4~\) и \(\displaystyle AC\) — общая.)

Ну вот, а раз \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\), то \(\displaystyle AB=CD\) и \(\displaystyle AD=BC\) – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь \(\displaystyle \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4\) (смотри на картинку), то есть \(\displaystyle \angle A=\angle C\), а \(\displaystyle \angle B=\angle D\) именно потому, что \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\).

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Параллелограмм. Доказательство теоремы 2. Мы уже выяснили, что \(\displaystyle AB=CD\). Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что \(\displaystyle \Delta AOB=\Delta COD\) — по II признаку (\(\displaystyle 2\) угла и сторона «между» ними).

Параллелограмм. Доказательство теоремы 3. Значит, \(\displaystyle BO=OD\) (напротив углов \(\displaystyle \angle 2\) и \(\displaystyle \angle 1\)) и \(\displaystyle AO=OC\) (напротив углов \(\displaystyle \angle 3\) и \(\displaystyle \angle 4\) соответственно).

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

Параллелограмм. Признак №1 - 1. \(\displaystyle AB=CD\); \(\displaystyle AB\parallel CD\) \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему \(\displaystyle AD\parallel BC\) – этого хватит. Но смотри:

Параллелограмм. Признак №1 - 2. \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) по 1 признаку: \(\displaystyle AB=CD\), \(\displaystyle AC\)- общая и \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\) как накрест лежащие при параллельных \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) и секущей \(\displaystyle AC\).

А раз \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\),

Параллелограмм. Признак №1 - 2 то \(\displaystyle \angle 3= \angle 4\) (лежат напротив \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) соответственно). Но это значит, что \(\displaystyle AD||BC\) (\(\displaystyle \angle 3\) и \(\displaystyle \angle 4\) — накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №2 - 1 \(\displaystyle AB=CD\), \(\displaystyle AD=BC\) \(\displaystyle \Rightarrow\) \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ \(\displaystyle AC\).

Параллелограмм. Признак №2 - 2. Теперь \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta ACD\) просто по трём сторонам.

А значит:

Параллелограмм. Признак №2 - 3. \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\) \(\displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC\) и \(\displaystyle \angle 3=\angle 4\) \(\displaystyle \Rightarrow AB\parallel CD\), то есть \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.
Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №3 - 1 \(\displaystyle \angle A=\angle C\), \(\displaystyle \angle B=\angle D\) \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle  ABCD\) – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Параллелограмм. Признак №2 - 2 \(\displaystyle 2\alpha +2\beta =360{}^\circ \) (ведь \(\displaystyle ABCD\) – четырехугольник, а \(\displaystyle \angle A=\angle C\), \(\displaystyle \angle B=\angle D\) по условию).

Значит, \(\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \). Ух! Но \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle \beta \) – внутренние односторонние при секущей \(\displaystyle AB\)!

Поэтому тот факт, что \(\displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \) означает, что \(\displaystyle AD\parallel BC\).

А если посмотришь с другой стороны, то \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle \beta \) – внутренние односторонние при секущей \(\displaystyle AD\)! И поэтому \(\displaystyle AB\parallel CD\).

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №3 - 1 \(\displaystyle AO=OC\); \(\displaystyle BO=OD\) \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

И опять просто:

Параллелограмм. Признак №3 - 2 \(\displaystyle BO=OD;AO=OC\), \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\) как вертикальные \(\displaystyle \Rightarrow \Delta AOB=\Delta COD\), \(\displaystyle \Rightarrow \angle 3=\angle 4\), и \(\displaystyle \Rightarrow AB||CD\).

Точно так же \(\displaystyle BO=OD; AO=OC\), \(\displaystyle \angle 5=\angle 6\)\(\displaystyle \Rightarrow \Delta AOD=\Delta BOC \Rightarrow \)\(\displaystyle \angle 7=\angle 8\), и \(\displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC\).

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Достаточные условия для свойств параллелограмма.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Прямоугольник. Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Свойства прямоугольника:

  1. Прямоугольник – параллелограмм
  2. Диагонали прямоугольника равны

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (\(\displaystyle \angle A=\angle C\) \(\displaystyle \angle B=\angle D\))

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.
Диагонали прямоугольника - равны. Раз прямоугольник – это параллелограмм, то \(\displaystyle AB=CD\).

А значит, \(\displaystyle \Delta ABD=\Delta DCA\) по двум катетам (\(\displaystyle AB=CD\) и \(\displaystyle AD\) — общий).

Ну вот, раз треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle DCA\) равны, то у них и гипотенузы \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AC\) тоже равны.

Доказали, что \(\displaystyle AC=BD\)!

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

Параллелограмм с равными диагоналями. \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм \(\displaystyle \Rightarrow AB=CD\)
\(\displaystyle AC=BD\) – по условию.
\(\displaystyle \Rightarrow \Delta ABD=\Delta DCA\) – теперь уже по трём сторонам.

Значит, \(\displaystyle \angle A=\angle D\) (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм, и поэтому \(\displaystyle \angle A=\angle C,\text{ }\angle B=\angle D\).

Значит, \(\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D\). Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по \(\displaystyle 90{}^\circ \)! Ведь в сумме-то они должны давать \(\displaystyle 360{}^\circ \)!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб. Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него \(\displaystyle AB=CD\) и \(\displaystyle BC=AD\) (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну,  раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Ромб. Свойство 1. Поэтому \(\displaystyle \Delta BOC=\Delta DOC\) по трём сторонам (\(\displaystyle BO=OD\), \(\displaystyle OC\) — общая, \(\displaystyle BC=CD\)).И значит, \(\displaystyle \angle BOC=\angle COD\), но они смежные!
\(\displaystyle \Rightarrow \angle BOC=90{}^\circ \) и \(\displaystyle \angle COD=90{}^\circ \).
Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да, потому же!

Ромб. Свойство 2. Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника: \(\displaystyle \Delta BOC,\text{ }\Delta BOA,\ \Delta AOD,\text{ }\Delta COD\).

Поэтому

\(\displaystyle \angle 1=\angle 2;\text{ }\angle 5=\angle 6;\)

\(\displaystyle \angle 3=\angle 4;\text{ }\angle 7=\angle 8;\)

Иными словами, диагонали \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AC\) оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Признаки ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.
Ромб. Признак 1. \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AC\bot BD\\ABCD\ — параллелограмм\end{array} \right.\Rightarrow\)
\(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle ABCD\) — ромб

Почему? Смотри:

Ромб. Признак 1. Обоснование. \(\displaystyle ABCD\) — параллелограмм \(\displaystyle \Rightarrow AO=CO;BO=OD\).
Но ещё дано, что
\(\displaystyle AC\bot BD\) \(\displaystyle \Rightarrow\) \(\displaystyle  \Delta AOB=\Delta BOC=\Delta COD=\Delta AOD\) — по двум катетам.
И значит, \(\displaystyle AB=BC=CD=AD\) – и всё!
Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри,

Ромб. Признак 2. \(\displaystyle \angle A=\angle C\), так как \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм. Но ещё дано, что \(\displaystyle AC\) – биссектриса углов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\).

Значит, \(\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) и оба этих треугольника – равнобедренные.

Ромб. Признак 2. Обоснование. Значит, \(\displaystyle AB=BC=CD=DA\), то есть \(\displaystyle ABCD\) — ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Не каждый четырехугольник - ромб. Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Квадрат. Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат. Угол между диагональю и стороной. У квадрата угол между диагональю и стороной равен \(\displaystyle 45{}^\circ \).

Понятно, почему? Квадрат — ромб \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle AC\) – биссектриса угла \(\displaystyle A\), который равен \(\displaystyle 90{}^\circ \). Значит \(\displaystyle AC\) делит \(\displaystyle \angle A\) (да и \(\displaystyle \angle C\) тоже) на два угла по \(\displaystyle 45{}^\circ \).

Диагонали квадрата. Диагонали квадрата – равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник \(\displaystyle \Rightarrow \) диагонали равны; ромб \(\displaystyle \Rightarrow \) диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм \(\displaystyle \Rightarrow \) диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Зависимость длины диагонали квадрата, от длины его стороны. Если сторона квадрата равна \(\displaystyle a\), то его диагональ равна \(\displaystyle a\sqrt{2}\).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к \(\displaystyle \Delta ADC\).

\(\displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\)

Значит, \(\displaystyle AC=\sqrt{2}\cdot a\)

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *