Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

1) Противоположные стороны равны Параллелограмм. Противоположные стороны равны.
2) Противоположные углы равны Параллелограмм. Противоположные углы равны.
3) Диагонали делятся пополам точкой пересечения Параллелограмм. Диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Параллелограмм. Доказательство теоремы. Давай проведём диагональ $latex \displaystyle AC$. Что получится?
Два треугольника: $latex \displaystyle ABC$ и $latex \displaystyle ADC$.

Раз $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм, то :

  • $latex \displaystyle AD||BC$  $latex \displaystyle \Rightarrow ~\angle 1=\angle 2$ как накрест лежащие
  • $latex \displaystyle AB||CD\ $  $latex \displaystyle \Rightarrow ~\angle 3=\angle 4$ как накрест лежащие.

Значит, $latex \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC$ (по II признаку: $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2,~~\angle 3=\angle 4~$ и $latex \displaystyle AC$ — общая.)

Ну вот, а раз $latex \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC$, то $latex \displaystyle AB=CD$ и $latex \displaystyle AD=BC$ – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь $latex \displaystyle \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4$ (смотри на картинку), то есть $latex \displaystyle \angle A=\angle C$, а $latex \displaystyle \angle B=\angle D$ именно потому, что $latex \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC$.

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Параллелограмм. Доказательство теоремы 2. Мы уже выяснили, что $latex \displaystyle AB=CD$. Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что $latex \displaystyle \Delta AOB=\Delta COD$ — по II признаку ($latex \displaystyle 2$ угла и сторона «между» ними).

Параллелограмм. Доказательство теоремы 3. Значит, $latex \displaystyle BO=OD$ (напротив углов $latex \displaystyle \angle 2$ и $latex \displaystyle \angle 1$) и $latex \displaystyle AO=OC$ (напротив углов $latex \displaystyle \angle 3$ и $latex \displaystyle \angle 4$ соответственно).

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

Параллелограмм. Признак №1 - 1. $latex \displaystyle AB=CD$; $latex \displaystyle AB\parallel CD$ $latex \displaystyle \Rightarrow $ $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему $latex \displaystyle AD\parallel BC$ – этого хватит. Но смотри:

Параллелограмм. Признак №1 - 2. $latex \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC$ по 1 признаку: $latex \displaystyle AB=CD$, $latex \displaystyle AC$- общая и $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$ как накрест лежащие при параллельных $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle CD$ и секущей $latex \displaystyle AC$.

А раз $latex \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC$,

Параллелограмм. Признак №1 - 2 то $latex \displaystyle \angle 3= \angle 4$ (лежат напротив $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle CD$ соответственно). Но это значит, что $latex \displaystyle AD||BC$ ($latex \displaystyle \angle 3$ и $latex \displaystyle \angle 4$ — накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №2 - 1 $latex \displaystyle AB=CD$, $latex \displaystyle AD=BC$ $latex \displaystyle \Rightarrow$ $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ $latex \displaystyle AC$.

Параллелограмм. Признак №2 - 2. Теперь $latex \displaystyle \Delta ABC=\Delta ACD$ просто по трём сторонам.

А значит:

Параллелограмм. Признак №2 - 3. $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$ $latex \displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC$ и $latex \displaystyle \angle 3=\angle 4$ $latex \displaystyle \Rightarrow AB\parallel CD$, то есть $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм.
Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №3 - 1 $latex \displaystyle \angle A=\angle C$, $latex \displaystyle \angle B=\angle D$ $latex \displaystyle \Rightarrow $ $latex \displaystyle  ABCD$ – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Параллелограмм. Признак №2 - 2 $latex \displaystyle 2\alpha +2\beta =360{}^\circ $ (ведь $latex \displaystyle ABCD$ – четырехугольник, а $latex \displaystyle \angle A=\angle C$, $latex \displaystyle \angle B=\angle D$ по условию).

Значит, $latex \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ $. Ух! Но $latex \displaystyle \alpha $ и $latex \displaystyle \beta $ – внутренние односторонние при секущей $latex \displaystyle AB$!

Поэтому тот факт, что $latex \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ $ означает, что $latex \displaystyle AD\parallel BC$.

А если посмотришь с другой стороны, то $latex \displaystyle \alpha $ и $latex \displaystyle \beta $ – внутренние односторонние при секущей $latex \displaystyle AD$! И поэтому $latex \displaystyle AB\parallel CD$.

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №3 - 1 $latex \displaystyle AO=OC$; $latex \displaystyle BO=OD$ $latex \displaystyle \Rightarrow $ $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм.

И опять просто:

Параллелограмм. Признак №3 - 2 $latex \displaystyle BO=OD;AO=OC$, $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$ как вертикальные $latex \displaystyle \Rightarrow \Delta AOB=\Delta COD$, $latex \displaystyle \Rightarrow \angle 3=\angle 4$, и $latex \displaystyle \Rightarrow AB||CD$.

Точно так же $latex \displaystyle BO=OD; AO=OC$, $latex \displaystyle \angle 5=\angle 6$$latex \displaystyle \Rightarrow \Delta AOD=\Delta BOC \Rightarrow $$latex \displaystyle \angle 7=\angle 8$, и $latex \displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC$.

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Достаточные условия для свойств параллелограмма.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Прямоугольник. Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Свойства прямоугольника:

  1. Прямоугольник – параллелограмм
  2. Диагонали прямоугольника равны

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 ($latex \displaystyle \angle A=\angle C$ $latex \displaystyle \angle B=\angle D$)

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.
Диагонали прямоугольника - равны. Раз прямоугольник – это параллелограмм, то $latex \displaystyle AB=CD$.

А значит, $latex \displaystyle \Delta ABD=\Delta DCA$ по двум катетам ($latex \displaystyle AB=CD$ и $latex \displaystyle AD$ — общий).

Ну вот, раз треугольники $latex \displaystyle ABC$ и $latex \displaystyle DCA$ равны, то у них и гипотенузы $latex \displaystyle BD$ и $latex \displaystyle AC$ тоже равны.

Доказали, что $latex \displaystyle AC=BD$!

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

Параллелограмм с равными диагоналями. $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм $latex \displaystyle \Rightarrow AB=CD$
$latex \displaystyle AC=BD$ – по условию.
$latex \displaystyle \Rightarrow \Delta ABD=\Delta DCA$ – теперь уже по трём сторонам.

Значит, $latex \displaystyle \angle A=\angle D$ (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм, и поэтому $latex \displaystyle \angle A=\angle C,\text{ }\angle B=\angle D$.

Значит, $latex \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D$. Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по $latex \displaystyle 90{}^\circ $! Ведь в сумме-то они должны давать $latex \displaystyle 360{}^\circ $!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб. Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него $latex \displaystyle AB=CD$ и $latex \displaystyle BC=AD$ (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну,  раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Ромб. Свойство 1. Поэтому $latex \displaystyle \Delta BOC=\Delta DOC$ по трём сторонам ($latex \displaystyle BO=OD$, $latex \displaystyle OC$ — общая, $latex \displaystyle BC=CD$).И значит, $latex \displaystyle \angle BOC=\angle COD$, но они смежные!
$latex \displaystyle \Rightarrow \angle BOC=90{}^\circ $ и $latex \displaystyle \angle COD=90{}^\circ $.
Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да, потому же!

Ромб. Свойство 2. Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника: $latex \displaystyle \Delta BOC,\text{ }\Delta BOA,\ \Delta AOD,\text{ }\Delta COD$.

Поэтому

$latex \displaystyle \angle 1=\angle 2;\text{ }\angle 5=\angle 6;$

$latex \displaystyle \angle 3=\angle 4;\text{ }\angle 7=\angle 8;$

Иными словами, диагонали $latex \displaystyle BD$ и $latex \displaystyle AC$ оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Признаки ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.
Ромб. Признак 1. $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AC\bot BD\\ABCD\ — параллелограмм\end{array} \right.\Rightarrow$
$latex \displaystyle \Rightarrow $ $latex \displaystyle ABCD$ — ромб

Почему? Смотри:

Ромб. Признак 1. Обоснование. $latex \displaystyle ABCD$ — параллелограмм $latex \displaystyle \Rightarrow AO=CO;BO=OD$.
Но ещё дано, что
$latex \displaystyle AC\bot BD$ $latex \displaystyle \Rightarrow$ $latex \displaystyle  \Delta AOB=\Delta BOC=\Delta COD=\Delta AOD$ — по двум катетам.
И значит, $latex \displaystyle AB=BC=CD=AD$ – и всё!
Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри,

Ромб. Признак 2. $latex \displaystyle \angle A=\angle C$, так как $latex \displaystyle ABCD$ – параллелограмм. Но ещё дано, что $latex \displaystyle AC$ – биссектриса углов $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle C$.

Значит, $latex \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC$ и оба этих треугольника – равнобедренные.

Ромб. Признак 2. Обоснование. Значит, $latex \displaystyle AB=BC=CD=DA$, то есть $latex \displaystyle ABCD$ — ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Не каждый четырехугольник - ромб. Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Квадрат. Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат. Угол между диагональю и стороной. У квадрата угол между диагональю и стороной равен $latex \displaystyle 45{}^\circ $.

Понятно, почему? Квадрат — ромб $latex \displaystyle \Rightarrow $ $latex \displaystyle AC$ – биссектриса угла $latex \displaystyle A$, который равен $latex \displaystyle 90{}^\circ $. Значит $latex \displaystyle AC$ делит $latex \displaystyle \angle A$ (да и $latex \displaystyle \angle C$ тоже) на два угла по $latex \displaystyle 45{}^\circ $.

Диагонали квадрата. Диагонали квадрата – равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник $latex \displaystyle \Rightarrow $ диагонали равны; ромб $latex \displaystyle \Rightarrow $ диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм $latex \displaystyle \Rightarrow $ диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Зависимость длины диагонали квадрата, от длины его стороны. Если сторона квадрата равна $latex \displaystyle a$, то его диагональ равна $latex \displaystyle a\sqrt{2}$.

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к $latex \displaystyle \Delta ADC$.

$latex \displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}$

Значит, $latex \displaystyle AC=\sqrt{2}\cdot a$

Проверь себя — реши задачи на параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий