Площадь фигур на клетчатой бумаге. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Как находить площадь фигур на клетчатой бумаге:

Способ 1: (удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.)

  1. Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади.
  2. Подставить найденные значения  в уравнение площади.

Способ 2: (очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох)

  1. Достроить искомую фигуру до прямоугольника.
  2. Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.
  3. Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Проиллюстрируем первый способ.

Пусть нужно найти площадь такой вот трапеции, построенной на листе в клетку

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 1

Просто считаем клеточки и видим, что в нашем случае \(\displaystyle a=17\), \(\displaystyle b=6\) и \(\displaystyle h=6\). Подставляем в формулу:

\(\displaystyle S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{17+6}{2}\cdot 6=69\)

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге.

Но бывает, что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 2

Вроде бы даже прямоугольный и \(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot ab\), но чему тут равно \(\displaystyle a\), и чему равно \(\displaystyle b\)? Как узнать? Применим для полной ясности оба способа

I способ.

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 3 Найдем \(\displaystyle a\) по теореме Пифагора из \(\displaystyle \Delta ADC\), а  \(\displaystyle b\) по теореме Пифагора из \(\displaystyle \Delta BCE\). Благо на листе в клетку легко посчитать длину катетов.

Итак:

\(\displaystyle {{a}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{4}^{2}}=52\).

Значит, \(\displaystyle a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)

Теперь \(\displaystyle {{b}^{2}}=B{{E}^{2}}+C{{E}^{2}}={{2}^{2}}+{{3}^{2}}=13\).

\(\displaystyle b=\sqrt{13}\)

Подставляем в формулу:

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot ab=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}=13\).

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге.

II способ (скажу по секрету – этот способ лучше).

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 4

Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку! Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.

Итак.

\(\displaystyle {{S}_{прямоугольника}}=6\cdot 7=42\)

\(\displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12\)

\(\displaystyle {{S}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4=14\)

\(\displaystyle {{S}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3\)

\(\displaystyle \Rightarrow S=42-12-14-3=13\)

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для самых хитрых фигур. Вот смотри, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 5

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

А теперь чтобы найти площадь \(\displaystyle S\) просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге \(\displaystyle {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}\).

\(\displaystyle {{S}_{прямоугольника}}=6\cdot 11=66\)

\(\displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12\)

\(\displaystyle {{S}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10\) (обрати внимание, \(\displaystyle {{S}_{2}}\) площадь НЕ прямоугольного треугольника, но все равно легко считается по основной формуле).

\(\displaystyle {{S}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5\)

\(\displaystyle {{S}_{4}}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 11=5,5\).

Значит, \(\displaystyle S={{S}_{прямоугольника}}-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}-{{S}_{3}}-{{S}_{4}}\).

\(\displaystyle S=66-12-10-5-5,5=33,5\)

Вот и ответ: \(\displaystyle S=33,5\).

Ну как тебе этот способ? Старайся применять его всегда, и сможешь без труда найти площадь фигур на клетчатой бумаге!

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий