Площадь фигур на клетчатой бумаге. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Как находить площадь фигур на клетчатой бумаге:

Способ 1: (удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.)

  1. Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади.
  2. Подставить найденные значения  в уравнение площади.

Способ 2: (очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох)

  1. Достроить искомую фигуру до прямоугольника.
  2. Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.
  3. Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Проиллюстрируем первый способ.

Пусть нужно найти площадь такой вот трапеции, построенной на листе в клетку

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 1

Просто считаем клеточки и видим, что в нашем случае $latex \displaystyle a=17$, $latex \displaystyle b=6$ и $latex \displaystyle h=6$. Подставляем в формулу:

$latex \displaystyle S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{17+6}{2}\cdot 6=69$

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге.

Но бывает, что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 2

Вроде бы даже прямоугольный и $latex \displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot ab$, но чему тут равно $latex \displaystyle a$, и чему равно $latex \displaystyle b$? Как узнать? Применим для полной ясности оба способа

I способ.

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 3 Найдем $latex \displaystyle a$ по теореме Пифагора из $latex \displaystyle \Delta ADC$, а  $latex \displaystyle b$ по теореме Пифагора из $latex \displaystyle \Delta BCE$. Благо на листе в клетку легко посчитать длину катетов.

Итак:

$latex \displaystyle {{a}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{4}^{2}}=52$.

Значит, $latex \displaystyle a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Теперь $latex \displaystyle {{b}^{2}}=B{{E}^{2}}+C{{E}^{2}}={{2}^{2}}+{{3}^{2}}=13$.

$latex \displaystyle b=\sqrt{13}$

Подставляем в формулу:

$latex \displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot ab=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}=13$.

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге.

II способ (скажу по секрету – этот способ лучше).

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 4

Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку! Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.

Итак.

$latex \displaystyle {{S}_{прямоугольника}}=6\cdot 7=42$

$latex \displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$

$latex \displaystyle {{S}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4=14$

$latex \displaystyle {{S}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$

$latex \displaystyle \Rightarrow S=42-12-14-3=13$

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для самых хитрых фигур. Вот смотри, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 5

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

А теперь чтобы найти площадь $latex \displaystyle S$ просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге $latex \displaystyle {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}$.

$latex \displaystyle {{S}_{прямоугольника}}=6\cdot 11=66$

$latex \displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$

$latex \displaystyle {{S}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10$ (обрати внимание, $latex \displaystyle {{S}_{2}}$ площадь НЕ прямоугольного треугольника, но все равно легко считается по основной формуле).

$latex \displaystyle {{S}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$

$latex \displaystyle {{S}_{4}}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 11=5,5$.

Значит, $latex \displaystyle S={{S}_{прямоугольника}}-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}-{{S}_{3}}-{{S}_{4}}$.

$latex \displaystyle S=66-12-10-5-5,5=33,5$

Вот и ответ: $latex \displaystyle S=33,5$.

Ну как тебе этот способ? Старайся применять его всегда, и сможешь без труда найти площадь фигур на клетчатой бумаге!

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий