Показательные неравенства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Ты слышал старый анекдот? «Вопрос: Что будет, если скрестить ежа и ужа? Ответ: 2 метра колючей проволоки». Ха-ха, смешно. Мне его рассказал мой коллега-математик. Это один из основных приемов, который они используют, чтобы из простого и простого делать что-то сложное и понятное только «посвященным». Их любимая формула гласит:

Простое+простое=жуть!!!!

Я же попробую сегодня рассеять этот миф. Хотя бы отчасти. Или же ты просто станешь одним из посвященных и сможешь умничать направо и налево. Хотя без ужей и ежей нам сейчас тоже не обойтись. Итак, вместо ежей я буду использовать показательные уравнения, а вместо ужей – простейшие неравенства. Что же получится, если их скрестить? Правильно – простейшие показательные неравенства. Ну или не совсем простейшие, разберемся. Ну что, пора приступать, готов? Поехали!

А вот и первая кочка на нашем пути: чтобы без труда справиться (или почти без труда) с решением показательных неравенств, тебе надо:

  1. Вспомнить простейшие свойства степеней.
  2. Вспомнить, как решаются линейные неравенства и квадратичные неравенства.
  3. Вспомнить, как решаются показательные уравнения.

Ну что, вспомнил?

Тогда приступим.

Как тебе теперь стало известно, если $latex \displaystyle {{5}^{x}}~=25$, то $latex \displaystyle x=2$.  Легко, правда?

Вот вам еще одна задачка: $latex \displaystyle 5x>25$. Вот и угадай, каким же должен быть $latex \displaystyle x$? Я думаю, что ты без труда понял, что $latex \displaystyle x>5$.

Знаешь, тут бы стоило привести какой-нибудь пример из жизни (с бутылками, яблоками и т.п.), которые бы демонстрировали, для чего вообще показательные неравенства нужны, но, к сожалению, простейшие показательные неравенства, которые употребимы в жизни, описывают такие сложные процессы, как скорость размножения бактерий, скорость роста клеток и т.п. Так что начнем с самых азов.

В уже ранее рассмотренном примере, где $latex \displaystyle {{5}^{x}}~=25$, заменим знак «$latex \displaystyle =$» на знак «$latex \displaystyle >$», что же мы получим? Как ты, конечно, догадался, $latex \displaystyle {{5}^{x}}~>25\ $. И так как $latex \displaystyle 25={{5}^{2}}$, то вы вполне резонно можете предположить, что $latex \displaystyle x>2$.

А вот пример позабористее: $latex \displaystyle {{0,1}^{x}}~>~0,01$. Опять таки, легко сосчитать, что $latex \displaystyle 0,01={{0,1}^{2}}$ (если не лень, можешь перепроверить, сосчитав в столбик). Так что же у нас получится? А получится $latex \displaystyle {{0,1}^{x}}~>{{0,1}^{2}}$. И какой можно из этого сделать вывод? Может быть, как и в предыдущем примере, $latex \displaystyle x>2$? На первый взгляд, это кажется вполне очевидным. Но ты будешь неприятно удивлен, когда из-за такой глупой ошибки завалишь контрольную работу. Потому что, как ни парадоксально, из $latex \displaystyle {{0,1}^{x}}~>{{0,1}^{2}}$ следует, что $latex \displaystyle x<2$!!

Неожиданно, правда? Однако, это суровая правда.

Я бы мог долго распространяться, почему это так, умничая направо и налево, и бросаясь такими словами, как «монотонное возрастание» и «показательная функция», но я пожалею твое время и объясню простое правило.

Условимся называть то число, которое стоит ниже или «под» $latex \displaystyle x$, основанием. А число над основанием – показателем. То есть в выражении $latex \displaystyle {{5}^{3}}$, $latex \displaystyle 5$ – основание, а $latex \displaystyle 3$ – показатель. Итак, о чем это я..? Ах да, правило. Оно гласит нам о следующем:

Если основание в неравенстве больше $latex \displaystyle 1$, то знак неравенства выполняется и для его показателей. Если же основание больше $latex \displaystyle 0$ и меньше $latex \displaystyle 1$, то знак неравенства между его показателями меняется на противоположный. Кратко это правило можно записать так:

$latex \displaystyle {{a}^{x}}>{{a}^{y}}=>~x>y$ (при $latex \displaystyle a>1$)

$latex \displaystyle {{a}^{x}}>{{a}^{y}}=>~x<y$ (при $latex \displaystyle 0<a<1$)

Такие же правила ты можешь получить для трех оставшихся знаков неравенств: $latex \displaystyle <$,$latex \displaystyle \le $,$latex \displaystyle \ge $. Я сказал «можешь»? Нет, я ошибся: должен составить! Так тебе легче будет запомнить это нехитрое (самое нехитрое) правило.

Да, кстати, если ты внимательно читал мое изложение, то у тебя вполне мог назреть вопрос: а что если:

  1. Основание $latex \displaystyle a=1$?
  2. Основание $latex \displaystyle a<0$?
  3. Правая часть неравенства меньше нуля, например: $latex \displaystyle {{2}^{x}}>-2$

Кажется, пришло время ответить на все эти вопросы по-порядку: во-первых, не принято и не умеют решать показательные неравенства в которых $latex \displaystyle a=1$. Почему, спросишь ты? Да все потому, что сколько единицу не умножай саму на себя (а именно это и делает степень), ничего кроме самой единицы ты все равно не получишь. Итак, показательные неравенства с $latex \displaystyle a=1$ мы не решаем. То же самое касается и неравенств, в которых основание меньше нуля. Просто забудем о таких, хорошо?

Отдельного разговора (и абзаца) заслуживает последний случай: Давай вместо основания возьмем число $latex \displaystyle 2$ и будем возводить его во всевозможные степени:

$latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle 0$ $latex \displaystyle 1$ $latex \displaystyle -1$ $latex \displaystyle 2$ $latex \displaystyle -2$ $latex \displaystyle 3$ $latex \displaystyle -3$ $latex \displaystyle 4$ $latex \displaystyle -4$
$latex \displaystyle {{2}^{n}}$ $latex \displaystyle 1$ $latex \displaystyle 2$ $latex \displaystyle \frac{1}{2}$ $latex \displaystyle 4$ $latex \displaystyle \frac{1}{4}$ $latex \displaystyle 8$ $latex \displaystyle \frac{1}{8}$ $latex \displaystyle 16$ $latex \displaystyle \frac{1}{16}$

Ты понял, как я заполнил эту таблицу? Нет!? Стыд и позор, я же просил повторить свойства степени. Вернись и перечитай, а потом возвращайся к нам. Итак, все стало понятно? Ну что же, продолжим. Что мы видим в этой таблице? Чем больше степень, тем больше значение выражения $latex \displaystyle {{2}^{n}}$, и наоборот: чем меньше степень, тем это значение меньше. Но, тем не менее, видно (правда?) что, $latex \displaystyle {{2}^{n}}$ всегда больше нуля. ВСЕГДА. Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!!

$latex \displaystyle {{a}^{x}}>0$ (для любых $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle x$).

Таким образом, уравнения вида $latex \displaystyle {{a}^{x}}>0,{{a}^{x}}\ge 0$ имеют решения для любых $latex \displaystyle x$ (это, как ты помнишь, записывается, $latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)$), а вот неравенствам $latex \displaystyle {{a}^{x}}<0,{{a}^{x}}\le 0$ повезло куда меньше: они не имеют решений.

Ну вот, все приличия соблюдены, теперь можно переходить уже к некоторым примерам:

  1. $latex \displaystyle {{2}^{x}}<32$
  2. $latex \displaystyle {{4}^{x+2}}\le 64$
  3. $latex \displaystyle {{27}^{x+2}}\le 81$
  4. $latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x}}>9$
  5. $latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-4x}}>\frac{1}{\sqrt{5}}$

Решил? Честно? Ну хорошо, давай проверять вместе:

1. $latex \displaystyle {{2}^{x}}<32,~{{2}^{x}}<{{2}^{5}}$, так как $latex \displaystyle 2>1$, то $latex \displaystyle x<5$. Ответ, как ты помнишь, мы записываем следующим образом: $latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;5 \right)$. Так как знак неравенства «строгий», то скобки будут «круглыми».

2. Здесь уже чуточку посложнее, но я уверен, ты тоже справился без проблем. Сверяемся:
$latex \displaystyle {{4}^{x+2}}\le 64$
$latex \displaystyle {{4}^{x+2}}\le {{4}^{3}}$
так как $latex \displaystyle 4>1$, то
$latex \displaystyle x+2\le 3$, откуда $latex \displaystyle x\le 1$,
поэтому ответ:
$latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;1 \right]$.

3. Продолжаем нагромождать: в третьем примере нас ждет беда: так получилось, что $latex \displaystyle 81$ это не целая степень числа $latex \displaystyle 27$, (в чем несложно убедиться, возводя число $latex \displaystyle 81$ в различные целые степени $latex \displaystyle 0$, $latex \displaystyle 1$, $latex \displaystyle -1$…). И что же теперь делать? Бросать решение примера? Нет! Этого не одобрю ни я, ни твой школьный учитель по математике. Давай немного напряжемся и заметим, что и $latex \displaystyle 27$ и $latex \displaystyle 81$ это степени одного и того же числа. Какого? Конечно, это степени тройки ($latex \displaystyle 27={{3}^{3}},~81={{3}^{4}}$). Тогда все становится сразу понятным:
$latex \displaystyle {{27}^{x+2}}\le 81$
$latex \displaystyle {{3}^{3\left( x+2 \right)}}\le {{3}^{4}}$ (напомню, что при такой «замене» степени умножаются!), так как $latex \displaystyle 3>1$, то знак неравенства не меняется и мы получаем:
$latex \displaystyle 3\left( x+2 \right)\le 4$, раскроем скобки:
$latex \displaystyle 3x+6\le 4,~3x\le -2,~x\le -\frac{2}{3}$.
Отсюда, ответ:
$latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;~-\frac{2}{3} \right]$.

4. Теперь мы решим еще более «навороченный» пример:
$latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x}}>9$
На самом деле, у нас есть аж два способа решить данное неравенство: во-первых, представить $latex \displaystyle \frac{1}{3}$ как $latex \displaystyle {{3}^{-1}}$ (если для тебя это «превращение» показалось магическим, перечитай свойства степени с отрицательным показателем), либо представить $latex \displaystyle 9$ как $latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{-2}}$. Мне хочется сейчас пойти именно вторым путем, ну а ты сам можешь применить первый. Как ты понимаешь, ответы должны совпасть.
$latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x}}>{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{-2}}$
Теперь слева и справа в неравенстве мы имеем одинаковые основания, значит мы можем перейти к неравенству относительно их показателей. Однако, можно (и нужно!) заметить, что $latex \displaystyle \frac{1}{3}<1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Итого, мы получим:
$latex \displaystyle 2x<-2$,
откуда простым делением на $latex \displaystyle 2$ обеих частей неравенства очевидно следует, что $latex \displaystyle x<-1$.
Записываем ответ: $latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;~-1 \right)$.

5. Ну что же, здесь все нам тоже более-менее знакомо, единственно, что нужно вспомнить, так это то, что $latex \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{1}{5}}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{\frac{1}{2}}}$, теперь окончательно получим:
$latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-4x}}>{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{\frac{1}{2}}}$.
Опять-таки $latex \displaystyle \left( \frac{1}{5} \right)<1$, а значит знак неравенства меняется на противоположный:
$latex \displaystyle -4x<\frac{1}{2}$.
Данное линейное неравенство решается делением левой и правой стороны на число, стоящее перед иксом: то есть делением на $latex \displaystyle -4$. Но мы ведь с тобой уже грамотные люди? Конечно! А потому мы помним, что при делении (или умножении) обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства МЕНЯЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ. А это значит, что
$latex \displaystyle x>\frac{1}{2}:\left( -4 \right)$
$latex \displaystyle x>-\frac{1}{8}$
Нам осталось лишь записать полученный правильный ответ:
$latex \displaystyle x\in \left( -\frac{1}{8};~+\infty  \right)$.

Теперь я предлагаю тебе задачки для совсем самостоятельного решения:

  1. $latex \displaystyle ~{{(\frac{1}{3})}^{({x} — 1)}}\le \frac{1}{9}$;
  2. $latex \displaystyle {{5}^{{x} — 1}}\le \sqrt{5}$;
  3. $latex \displaystyle {{7}^{{x} — 2}}>\sqrt[3]{49}$;
  4. $latex \displaystyle {{3}^{-2x}}<27$;
  5. $latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{25} \right)}^{-2{x} — 4}}<{{625}^{-3x+5}}$.

А вот и ответы, заданные в измененном порядке, сверяйся!

$latex \displaystyle \left( 2\frac{1}{3};~+\infty  \right),~\left( -\infty ;~\frac{3}{4} \right),~\left[ 3;~+\infty  \right),~\left[ 1\frac{1}{2};~+\infty  \right),~\left( -1\frac{1}{2};~+\infty  \right)$

Нашел свои ответы в приведенном списке? Ничего лишнего и ничего не потерялось? Прекрасно, это значит, ты сумел победить простейшие показательные неравенства. Это значит, что теперь ты умеешь решать почти все показательные неравенства из части B в ЕГЭ. Но мы ведь с тобой хотим стать еще лучше и уметь решать еще более сложные неравенства?

Больше задач — после регистрации.

Как ты без труда (или почти без труда) заметил, каждый раз, когда мы решали показательное неравенство, оно сводилось к некоторому линейному неравенству для показателей. Более того, каждая из частей (правая и левая) неравенства состояла ровно из одного выражения. Что же запрещает природе вмешаться и сделать, например, с каждой стороны неравенства, скажем, не по одному выражению, а по три или даже четыре? Или же что ей запрещает составить такое неравенство, которое сводится уже не к линейному, а к квадратичному? Правильно, ничего не запрещает. Поэтому мы должны быть готовы к решению и таких неравенств тоже. Но рано пугаться, и говорить: «Вот это уж точно не по мне!». Давай вначале посмотрим на некоторые примеры:

$latex \displaystyle {{5}^{{{x}^{2}}-5x+4}}>\frac{1}{25}$

Применим к нему уже знакомую не понаслышке технику. Что же мы получим в итоге? Верно:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+4>-2$.

Кто знает, как называется такое неравенство? Конечно квадратное! А теперь быстренько вспоминаем, как они решаются! Да почти что как квадратные уравнения. А вот уж их ты точно умеешь решать, я не сомневаюсь.

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+4=-2$,

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+4+2=0$,

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6=0$.

Вычисляем дискриминант:  $latex \displaystyle D={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 6=1$

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-\left( -5 \right)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=3$, $latex \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-\left( -5 \right)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=2$.

Если бы мы решали уравнение, то на этом можно было бы и остановиться. Но у нас с тобой более «высокая цель» — решение неравенства. Отметим эти точки на координатной прямой и разделим эту прямую на три интервала, затем выберем какое-нибудь число в любом из интервалов и вычислим, чему равно наше исходное выражение $latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6$ в этой точке. Мне нравится брать такое число, чтобы нужно было как можно меньше считать. Догадался, какое же это число? Верно, это ноль. Ноль принадлежит самому левому интервалу. Наше выражение, если подставить в него ноль вместо икса, будет равно $latex \displaystyle 6$, $latex \displaystyle 6>0$. Поэтому в левом интервале я ставлю знак $latex \displaystyle +$. Далее чередую.

Показат.неравенства зел.-1

Поскольку мы решаем неравенство $latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6>0$, то нас интересуют те промежутки, где это выражение положительно (то есть стоит $latex \displaystyle +$), таким образом, наш ответ будет:

$latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;2 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 3;+\infty  \right)$.

Теперь мне кажется, что ты без особого труда решишь следующие примеры:

  1. $latex \displaystyle {{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<\frac{121}{169}$
  2. $latex \displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2{x} — 3}}$

Давай сверяться вместе:

1. $latex \displaystyle {{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<\frac{121}{169}$;
$latex \displaystyle {{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{\left( \frac{11}{13} \right)}^{2}}$;
$latex \displaystyle \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\left( \frac{13}{11} \right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{\left( \frac{13}{11} \right)}^{-2}}$
так как $latex \displaystyle \frac{13}{11}>1$, то $latex \displaystyle {{x}^{2}}-3x<-2$, откуда $latex \displaystyle {{x}^{2}}-3x+2<0$, заменяю знак $latex \displaystyle <$ в последнем неравенстве на $latex \displaystyle =$, решаю уравнение $latex \displaystyle {{x}^{2}}-3x+2=0$, нахожу его корни: $latex \displaystyle {{x}_{1}}=1$, $latex \displaystyle {{x}_{2}}=2$.
Отмечаю эти точки на координатной прямой и выясняю знак выражения $latex \displaystyle {{x}^{2}}-3x+2$ на каждом из полученных интервалов. Меня интересует знак «$latex \displaystyle -$». Тогда получу ответ: $latex \displaystyle x\in \left( 1;2 \right)$

2. Второе неравенство тоже решается элементарно, давай проверим:
$latex \displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2{x} — 3}}$
$latex \displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{\left( {{2}^{-1}} \right)}^{2{x} — 3}}$
$latex \displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{2}^{-\left( 2{x} — 3 \right)}}$,
откуда $latex \displaystyle {{x}^{2}}>-\left( 2{x} — 3 \right)$, что эквивалентно следующему квадратному неравенству:
$latex \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} — 3>0$, корни соответствующего уравнения равны
$latex \displaystyle {{x}_{1}}=-3,~{{x}_{2}}=1$
Тогда решением исходного неравенства будет объединение двух промежутков:
$latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;-3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 1;+\infty  \right)$.

Как видишь (ты ведь внимательно за всем следил, правда?) решение подобных примеров чуть сложнее, чем тех, которые мы решали в самом начале. Но тем не менее здесь нам уже требуется использовать такой мощный метод, как МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ. Вообще говоря, большинство неравенств именно с его помощью и решается. Так что можно сказать, что в начале нам просто «везло» и мы обходились без него.

Теперь мне осталось остановиться на еще одном методе решения неравенств: методе группировки. Я тебе напомню: впервые ты столкнулся с этим термином в 7 классе, когда раскладывал сложные выражения на простые множители, например:

$latex \displaystyle 3ab+{{b}^{2}}+6{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}b=b\left( 3a+b \right)+2{{a}^{2}}\left( 3a+b \right)=\left( b+2{{a}^{2}} \right)\left( 3a+b \right)$

Как ни парадоксально, но что-то подобное может применяться и при решении таких монстров как показательные неравенства. Да и что сказать, их используют, чтобы справиться с такими чудовищами, по сравнению с которыми наши неравенства покажутся белыми и пушистыми. Но перейдем от слов к делу:

Допустим, нам требуется решить следующее неравенство:

$latex \displaystyle {{3}^{x+2}}+{{3}^{{x} — 1}}<28$

Согласись, до этих пор мы ни с чем подобным не сталкивались. Однако не время унывать. Давай подумаем, что общего есть у слагаемых слева? Верно, все они – это тройка в некоторой степени. Со свойствами степени мы уже давно на «ты», я ведь прав? Отлично! Тогда давай вынесем, например $latex \displaystyle {{3}^{x}}$ из каждого выражения. Что мы получим?

$latex \displaystyle {{3}^{x}}{{3}^{2}}+{{3}^{x}}{{3}^{-1}}<28$

Эврика! У нас есть общий множитель! Так чего же мы ждем? Срочно выносим его за скобки!

$latex \displaystyle {{3}^{x}}({{3}^{2}}+{{3}^{-1}})<28$

Теперь вычисляем значение выражения внутри скобок:

$latex \displaystyle {{3}^{2}}+{{3}^{-1}}=9+\frac{1}{3}=\frac{9\cdot 3+1}{3}=\frac{28}{3}$;

Ну теперь осталась самая малость: подставим полученное выражение в наше неравенство:

$latex \displaystyle {{3}^{x}}\frac{28}{3}<28$.

Мы видим, что обе части имеют общий множитель $latex \displaystyle 28$. Разделим на него. Поскольку $latex \displaystyle 28>0$, то знак неравенства не изменится.

$latex \displaystyle {{3}^{x}}\frac{1}{3}<1$

Теперь у нас есть два возможных пути: либо заметить, что левая часть неравенства равна $latex \displaystyle {{3}^{{x} — 1}}$ (почему???) либо умножить обе части неравенства на $latex \displaystyle 3$. Я пойду первым путем и получу:

$latex \displaystyle {{3}^{{x} — 1}}<1$

Таак, и что же мне теперь делать? У меня справа должна быть степень тройки, а так стоит единица. Неужели, я где-то ошибся? Как же так? Но ты верно подметил, что никакого противоречия здесь нет, ведь:

$latex \displaystyle 1={{\text{a}}^{0}}$ для любого $latex \displaystyle \text{a}>0$!!!!

Таким образом, если я запишу вместо единицы справа $latex \displaystyle {{3}^{0}}$, то окончательно получим:

$latex \displaystyle {{3}^{{x} — 1}}<{{3}^{0}}$.

А мы уже с тобой «собаку съели» на решении таких неравенств. Без труда получим, что

$latex \displaystyle {x} — 1<0,~x<1$.

Ответ: $latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;1 \right)$.

Давай решим следующее неравенство, но теперь я буду менее многословен, так что тебе придется многое додумывать самому:

$latex \displaystyle 8\cdot {{2}^{{x} — 1}}-{{2}^{x}}>48$

Вынесем за скобку множитель $latex \displaystyle {{2}^{{x} — 1}}$:

$latex \displaystyle {{2}^{{x} — 1}}\left( 8-{{2}^{{x} — \left( {x} — 1 \right)}} \right)>48$;

$latex \displaystyle {{2}^{{x} — 1}}\cdot \left( 8-2 \right)>48$;

$latex \displaystyle {{2}^{{x} — 1}}\cdot 6>48$

$latex \displaystyle {{2}^{{x} — 1}}>8={{2}^{3}}$, так как $latex \displaystyle 2>1$, то

$latex \displaystyle {x} — 1>3$, откуда $latex \displaystyle x>4$.

Ответ: $latex \displaystyle x\in \left( 4;+\infty  \right)$

Разумеется, описанные в данной статье методы решений показательных неравенств далеко не исчерпывают весь спектр методов, которые применяются при решении такого вида неравенств. Да и сами неравенства далеко не всегда легки и понятны. Более того, к некоторым неравенствам даже математик не всегда сразу знает, «как подступиться». Неравенства бывают самыми разнообразными. Насколько хватит твоего полета фантазии. Здесь же я описал подход к решению самых простейших. Надеюсь, прочтение данной статьи было для тебя если не полезным, то по крайней мере не утомительным. Желаю тебе не останавливаться на достигнутом и двигаться дальше! Навстречу новым рубежам!

Ну а пока, вот несколько примеров на повторение пройденного материала:

  1. $latex {{\left( 0,3 \right)}^{\frac{x}{{x} — 2}}}<{{\left( 0,3 \right)}^{\frac{6}{{x} — 1}}}$
  2. $latex {{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<0,00001$
  3. $latex {{3}^{\frac{2{x} — 1}{{x} — 2}}}<1$
  4. $latex {{5}^{4x+2}}<\frac{125}{\sqrt{{{5}^{-6}}}}$
  5. $latex \displaystyle {{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} — 7 \right)}}{{\left( \frac{49}{4} \right)}^{2x+0,5}}\ge 1$
  6. $latex {{\sqrt{7}}^{{x} — 1}}>\frac{1}{{{49}^{x}}}$
  7. $latex {{0,4}^{2{x} — 1}}\le {{0,16}^{3x+2}}$
  8. $latex {{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40$
  9. $latex {{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}\le 39$
  10. $latex {{2}^{3}}{{2}^{x+5}}>16$

Решения:

1. $latex {{\left( 0,3 \right)}^{\frac{x}{{x} — 2}}}<{{\left( 0,3 \right)}^{\frac{6}{{x} — 1}}}$, т.к. $latex 0,3<1$, то $latex \frac{x}{{x} — 2}>\frac{6}{{x} — 1}$ приведем дроби к общему знаменателю:
$latex \frac{x\left( {x} — 1 \right)}{\left( {x} — 2 \right)\left( {x} — 1 \right)}>\frac{6\left( {x} — 2 \right)}{\left( {x} — 2 \right)\left( {x} — 1 \right)},~\frac{x\left( {x} — 1 \right)-6\left( {x} — 2 \right)}{\left( {x} — 2 \right)\left( {x} — 1 \right)}>0$,
$latex \frac{{{x}^{2}}-{x} — 6x+12}{\left( {x} — 2 \right)\left( {x} — 1 \right)}>0,~\frac{{{x}^{2}}-7x+12}{\left( {x} — 2 \right)\left( {x} — 1 \right)}>0$,
разложим $latex {{x}^{2}}-7x+12$ на множители:
$latex {{x}^{2}}-7x+12=\left( {x} — 3 \right)\left( {x} — 4 \right)$ тогда получим:
$latex \frac{\left( {x} — 3 \right)\left( {x} — 4 \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}{\left( {x} — 2 \right)\left( {x} — 1 \right)}>0$.
Найдем нули числителя и знаменателя. Нанесем их на координатную прямую и расставим знаки:
Показат.неравенства зел.-2
Ответ: $latex x\in \left( -\infty ;1 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 2;3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 4;+\infty  \right)$

2. $latex {{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<0,00001$, тогда
$latex {{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<{{0,1}^{4}}$, значит
$latex 2{{x}^{2}}-3x+6>4$,
$latex 2{{x}^{2}}-3x+2>0$,
дискриминант уравнения $latex 2{{x}^{2}}-3x+2=0$ равен
$latex D={{\left( -3 \right)}^{2}}-4\cdot 2\cdot 2=-7<0$, значит уравнение не имеет корней.
Но так как коэффициент при $latex {{x}^{2}}$ равен $latex \displaystyle 2>0$, то для всех $latex \displaystyle x$ выполняется:
$latex 2{{x}^{2}}-3x+2>0$,
таким образом, исходное неравенство справедливо для всех действительных $latex x$.
Ответ: $latex x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)$.

3. $latex {{3}^{\frac{2{x} — 1}{{x} — 2}}}<1$, тогда
$latex \frac{2{x} — 1}{{x} — 2}<0$ данное неравенство снова решается методом интервалов:
нанесем корни числителя и знаменателя на координатную ось, расставим знаки и получим ответ: $latex x\in \left( \frac{1}{2};2 \right)$.

4. $latex {{5}^{4x+2}}<\frac{125}{\sqrt{{{5}^{-6}}}}$, преобразуем выражение справа:
$latex \frac{125}{\sqrt{{{5}^{-6}}}}=\frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{\frac{-6}{2}}}}=\frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{-3}}}={{5}^{3-\left( -3 \right)}}={{5}^{6}}$,
подставим полученное выражение в правую часть неравенства:
$latex {{5}^{4x+2}}<{{5}^{6}}$, откуда
$latex 4x+2<6,~4x<4,~x<1$.
Ответ: $latex x\in \left( -\infty ;1 \right)$.

5. $latex {{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} — 7 \right)}}{{\left( \frac{49}{4} \right)}^{2x+0,5}}\ge 1$,
$latex {{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} — 7 \right)}}{{\left( \frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{2}}} \right)}^{2x+0,5}}\ge 1$,
$latex {{\left( \frac{2}{7} \right)}^{3\left( 2{x} — 7 \right)}}{{\left( \frac{7}{2} \right)}^{2\left( 2x+0,5 \right)}}\ge 1$,
так как $latex {{\left( \frac{2}{7} \right)}^{-1}}=\frac{7}{2}$, то
$latex {{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-3\left( 2{x} — 7 \right)}}{{\left( \frac{7}{2} \right)}^{2\left( 2x+0,5 \right)}}\ge 1$,
$latex {{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-3\left( 2{x} — 7 \right)+2\left( 2x+0,5 \right)}}\ge 1$,
$latex {{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-6x+21+4x+1}}\ge 1$,
$latex {{\left( \frac{7}{2} \right)}^{-2x+22}}\ge {{\left( \frac{7}{2} \right)}^{0}}$, откуда
$latex -2x+22\le 0,~-2x\le -22,~x\ge 11$.
Ответ: $latex x\in \left[ 11;+\infty  \right)$.

6. $latex {{\sqrt{7}}^{{x} — 1}}>\frac{1}{{{49}^{x}}}$,
так как $latex \sqrt{7}={{7}^{0,5}}$, а $latex \frac{1}{{{49}^{x}}}={{\left( \frac{1}{49} \right)}^{x}}={{\left( \frac{1}{7} \right)}^{2x}}={{7}^{-2x}}$, то
$latex {{7}^{0,5\left( {x} — 1 \right)}}>{{7}^{-2x}}$, что эквивалентно:
$latex 0,5\left( {x} — 1 \right)>-2x$,
$latex {x} — 1>-4x$,
$latex 4x+x>1$,
$latex \text{x}>\frac{1}{5}$.
Ответ: $latex x\in \left( \frac{1}{5};~+\infty  \right)$.

7. $latex {{0,4}^{2{x} — 1}}\le {{0,16}^{3x+2}}$, откуда
$latex {{0,4}^{2{x} — 1}}\le {{0,4}^{2\left( 3x+2 \right)}}$,
так как $latex 0,4<1$, то
$latex \displaystyle 2{x} — 1\ge 2\left( 3x+2 \right)$,
$latex \displaystyle 2{x} — 1\ge 6x+4$,
$latex \displaystyle -4x\ge 5$,
$latex \displaystyle x\le -\frac{4}{5}$.
Ответ: $latex x\in \left( -\infty ;~-\frac{4}{5} \right]$.

8. $latex {{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40$,
$latex {{2}^{-x}}\left( {{2}^{3}}+2 \right)>40$,
$latex {{2}^{-x}}>4$,
$latex -x>2,~x<-2$
Ответ: $latex x\in \left( -\infty ;~-2 \right)$.

9. $latex {{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}\le 39$,
$latex {{3}^{x}}\left( {{3}^{2}}+3+1 \right)\le 39$,
$latex {{3}^{x}}\cdot 13\le 39$,
$latex {{3}^{x}}\le 3$, откуда $latex {{3}^{x}}\le 3$.
Ответ: $latex x\in \left( -\infty ;1 \right]$

10. $latex {{2}^{3}}{{2}^{x+5}}>16$,
$latex {{2}^{x+8}}>{{2}^{4}}$,
$latex x+8>4,~x>-4$.
Ответ: $latex x\in \left( -4;~+\infty  \right)$.

Проверь себя — реши показательные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий