Показательные неравенства. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение к уже изложенному выше материалу, рассмотрим такие неравенства, которые не удается решать обыкновенными методами. К «обыкновенным» обычно относят разложение на множители, замену переменных, элементарные преобразования оснований и т. д.

Далеко не все неравенства можно решить таким образом. Я бы сказал, что большинство тех неравенств, с которыми математики сталкиваются в реальности, не поддаются такому простому решению. И здесь мы и рассмотрим один из методов решения таких «непростых» неравенств.

Все мои дальнейшие рассуждения будут основаны на таком понятии, как монотонность функции. Ты уже не раз сталкивался с этим термином. Например, функция \(\displaystyle ~f\left( x \right)=2x+1\) монотонно возрастает на всей числовой прямой, а \(\displaystyle f\left( x \right)=-{{x}^{0,5}}\) — монотонно убывает. Еще раз напомню, что это значит:

Определение: \(\displaystyle f\left( x \right)\) монотонно возрастает на \(\displaystyle \left[ a,b \right]\), если для любых \(\displaystyle {{x}_{1}}\) и \(\displaystyle {{x}_{2}}\) из этого промежутка из того, что \(\displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) следует, что \(\displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)\) и наоборот, из того, что \(\displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\) следует, что \(\displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)\).
Определение: \(\displaystyle f\left( x \right)\) монотонно убывает на \(\displaystyle \left[ a,b \right]\), если для любых \(\displaystyle {{x}_{1}}\) и \(\displaystyle {{x}_{2}}\) из этого промежутка из того, что \(\displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) следует, что \(\displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)\) и наоборот, из того, что \(\displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\) следует, что\(\displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)\).

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

1

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к показательной функции \(\displaystyle f\left( x \right)={{a}^{x}}\), известно, что выполняется следующая:

Теорема: Если \(\displaystyle a>1\), то функция \(\displaystyle f\left( x \right)={{a}^{x}}\) является монотонно возрастающей, если \(\displaystyle 0<a<1\), то функция \(\displaystyle f\left( x \right)={{a}^{x}}\) является монотонно убывающей.

Также хорошо известно, что имеет место следующее утверждение:

Теорема: Если \(\displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)\) и \(\displaystyle f\left( x \right)\) – монотонно возрастающая (или постоянная), а \(\displaystyle g\left( x \right)\) – монотонно убывающая функции (или постоянная) , то уравнение \(\displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)\) имеет не более одного корня.

Как нам это перефразировать на язык неравенств? Ведь мы решаем именно их, а не уравнения. А делается это довольно просто:

Давай посмотрим на картинку и все сразу поймем:

Снимок

Например, пусть нам необходимо решить неравенство: \(\displaystyle {{2}^{-x}}>\frac{x}{2}\),

Мы видим, что левая часть неравенства есть убывающая функция \(\displaystyle f\left( x \right)={{2}^{-x}}={{0,5}^{x}}\) , а правая – возрастающая.

Тогда находим их (единственную!) точку пересечения. Нашли, это \(\displaystyle x=1\).

Что же мы видим на рисунке? А то, что после того, как \(\displaystyle x>1\) возрастающая функция всюду больше, чем убывающая (график возрастающей лежит выше), а значит, неравенство \(\displaystyle {{2}^{-x}}>\frac{x}{2}\) имеет место при всех \(\displaystyle x<1\).

Мы получаем следующий алгоритм:

Пусть дано неравенство\(\displaystyle f\left( x \right)>g\left( x \right)\), где \(\displaystyle f\left( x \right)\) – убывающая, а \(\displaystyle g\left( x \right)\) – возрастающая. Тогда:

Правило 1

  • Ищем корень (максимум единственный) уравнения \(\displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)\)
  • Если корня нет, то сразу делаем вывод, что всюду \(\displaystyle g\left( x \right)>f\left( x \right)\), а потому исходное неравенство не имеет решений.
  • Если нашелся корень \(\displaystyle {{x}_{0}}\), то исходное неравенство имеет место при \(\displaystyle x\in \left( -\infty ;{{x}_{0}} \right)\)

Больше задач — после регистрации.

Попробуй сам привести алгоритмы для других случаев неравенств. Я уверен, у тебя это без проблем получится. Стоит только нарисовать картинки и внимательно посмотреть на них. Готово? Отлично, тогда у нас есть мощный арсенал для решения самых различных показательных неравенств.

Пример 1:

Решите неравенство: \(\displaystyle {{2}^{x}}+{{3}^{x}}>{{5}^{x}}\).

Разделим обе части на \(\displaystyle {{5}^{x}}\), получим, что:

\(\displaystyle {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}>1\)

Слева мы с тобой получили сумму двух убывающих функций. Как ты думаешь, какой будет сумма двух убывающих функций? Правильно, она снова будет убывающей!!

Запомни правило, оно часто помогает выйти из очень затруднительных ситуаций!!

Правило 2

  1. \(\displaystyle Убывающая+убывающая=убывающая\)
  2. \(\displaystyle Возрастающая+возрастающая=возрастающая\)
  3. \(\displaystyle Возрастающая-убывающая=возрастающая\)
  4. \(\displaystyle Убывающая-возрастающая=убывающая\)

Итак, слева у нас сумма двух убывающих функций, а справа – постоянная \(\displaystyle 1\).

Уравнение \(\displaystyle {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}=1\) имеет единственный корень \(\displaystyle {{x}_{0}}=1\). Тогда в соответствии с правилом 1 получим \(\displaystyle x\in \left( -\infty ;1 \right)\).

Теперь рассмотрим еще один пример.

Пример 2: 

\(\displaystyle x{{4}^{x}}>4\)

Рассмотрим 2 случая:

1) Пусть \(\displaystyle x>0\), тогда разделим обе части неравенства на положительный \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle {{4}^{x}}>\frac{4}{x}\)

Слева у нас стоит возрастающая функция, а справа – убывающая при \(\displaystyle x>0\).

Корень уравнения \(\displaystyle {{4}^{x}}=\frac{4}{x}\) равен \(\displaystyle 1\) и является единственным. Тогда при \(\displaystyle x>0\) неравенство имеет решение: \(\displaystyle x>1\).

2) Теперь пусть \(\displaystyle x<0\), разделю обе части \(\displaystyle x{{4}^{x}}>4\) на отрицательный \(\displaystyle x\). Получу \(\displaystyle {{4}^{x}}<\frac{4}{x}\).

При \(\displaystyle x<0\), но левая часть неравенства всегда положительна, в то время как правая – всегда отрицательна. Тогда \(\displaystyle {{4}^{x}}<\frac{4}{x}\) не имеет решений при отрицательных \(\displaystyle x\). И ответом будет \(\displaystyle x\in \left( 1;+\infty  \right)\).

Самостоятельно реши следующие примеры:

  1. \(\displaystyle {{2}^{\sqrt{x}}}+{{3}^{\sqrt{x}+1}}+{{4}^{\sqrt{2}+2}}>20\)
  2. \(\displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}-4x+9}}<\frac{1}{1+\left| x-3 \right|}\)
  1. Давай разберемся. Первый пример достаточно легкий и решается технично и быстро. Сразу заметим, что \(\displaystyle x\ge 0\) (свойство корня). Ясно, что слева записана сумма возрастающих функций, поэтому все выражение слева возрастает, тогда как справа – постоянно. Единственная точка, в которой они совпадают –     \(\displaystyle \ x=0\).
    Ответ: \(\displaystyle x\in \left( 0;+\infty  \right)\)
    .
  2. Второй пример потруднее, здесь появляется выражение, зависящее от модуля. Рассмотрим его подробнее:
    Во-первых ясно, что выражение справа всегда не больше, чем \(\displaystyle 1\). Причем равенство достигается при \(\displaystyle x=3\). Далее, при \(\displaystyle x>3\) выражение принимает форму \(\displaystyle \frac{1}{x-2}\), а при \(\displaystyle x<3\) мы имеем:    \(\displaystyle \frac{1}{4-x}\), таким образом, всюду правая часть не больше \(\displaystyle 1\), причем при \(\displaystyle x>3\) функция монотонно возрастает, а при \(\displaystyle x<3\) – монотонно убывает. Рассмотрим теперь показатель выражения слева:
    \(\displaystyle {{x}^{2}}-4x+9\), ясно, что дискриминант данного выражения равен \(\displaystyle -20<0\), но \(\displaystyle g\left( x \right)=~{{x}^{2}}-4x+9\) – парабола с ветвями, направленными вверх с вершиной \(\displaystyle {{x}_{0}}=\frac{4}{2}=2\). В этой точке функция достигает своего наименьшего значения \(\displaystyle g\left( 2 \right)=~{{2}^{2}}-4\cdot 2+9=5\), а значит наименьшее значение \(\displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}-4x+9}}\) равно \(\displaystyle {{2}^{5}}=32\). В то время, как наибольшее значение правой части равно \(\displaystyle 1\). Таким образом, левая часть всюду больше правой части и исходное неравенство не имеет решений.

Проверь себя — реши показательные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *