Показательные уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось что такое показательные уравнения и как их решать, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это

«метод введения новой переменной» (или замены). Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения). Этот способ – один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой «Замена переменных».

Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить. Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» — это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Пример 1: 

\({{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0\)

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики. В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

\({{4}^{x}}={{2}^{2x}}={{({{2}^{x}})}^{2}}\)

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

\({{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x+1}}-3=0\)

Если же дополнительно представить \({{2}^{x+1}}\) как \(2\cdot {{2}^{x}}\), то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, \(t={{2}^{x}}\). Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

\({{t}^{2}}+2t-3=0\)

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: \({{t}_{1}}=-3,~{{t}_{2}}=1\). Что нам делать теперь? Пришло время возвращаться к исходной переменной \(\displaystyle x\). А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида \(t={{a}^{x}}\)), меня будут интересовать только положительные корни! Ты и сам без труда ответишь, почему. Таким образом, \({{t}_{1}}=-3\) нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

\({{t}_{2}}=1\), тогда \({{2}^{x}}=1\), откуда \(x=0\).

Ответ: \(x=0\)

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда. Однако, давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой

Пример 2.

\({{3}^{3x+1}}-4\cdot {{9}^{x}}=17\cdot {{3}^{x}}-6\)

Ясно, что скорее всего заменять придется \({{3}^{x}}\) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение), однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно: \({{3}^{3x+1}}=3\cdot {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{3}}\), \({{9}^{x}}={{({{3}^{x}})}^{2}}\). Тогда можно заменять \(t={{3}^{x}}\), в результате я получу следующее выражение:

\(3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}=17t-6\)

\(3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=0\)

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать. Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить \(t\) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?). А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение \(\displaystyle t=1\). Не является корнем. Увы и ах…

\(\displaystyle t=3:~3\cdot {{3}^{3}}-4\cdot {{3}^{2}}=17\cdot 3-6\).
Левая часть равна \(\displaystyle \mathbf{81}-\mathbf{36}=\mathbf{45}\).
Правая часть: \(\displaystyle \mathbf{51}-\mathbf{6}=\mathbf{45}\)!
Есть! Угадали первый корень. Теперь дело пойдет легче!

Ты знаешь, про схему деления «уголком»? Конечно знаешь, ты применяешь ее, когда делишь одно число на другое. Но немногие знают, что то же самое можно делать и с многочленами. Есть одна замечательная теорема:

Если \(\displaystyle a\) – корень многочлена \(\displaystyle P(x)\), то \(\displaystyle P(x)\) делится без остатка на \(\displaystyle {x} -\ a\).

Применимо к моей ситуации это говорит мне о том, что \(3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6\) делится без остатка на \(t-3\). Как же осуществляется деление? А вот как:

Я смотрю, на какой одночлен я должен домножить \((t-3)\), чтобы получить \(3{{t}^{3}}+\ldots \) Ясно, что на \(3{{t}^{2}}\), тогда:

\(3{{t}^{2}}(t-3)=3{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}\).

Вычитаю полученное выражение из \(3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6\), получу:

\(3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6-\left( 3{{t}^{3}}-9{{t}^{2}} \right)=5{{t}^{2}}-17t+6\).

Теперь, на что мне нужно домножить \(t-3\), чтобы получить \(5{{t}^{2}}+\ldots \)? Ясно, что на \(\mathbf{5t}\), тогда получу:

\(5t\left( t-3 \right)=5{{t}^{2}}-15t\)

и опять вычту полученное выражение из оставшегося:

\(5{{t}^{2}}-17t+6-\left( 5{{t}^{2}}-15t \right)=-2t+6\).

Ну и последний шаг, домножу \(t-3\) на \(-2\), и вычту из оставшегося выражения:

\(-2t+6-3(t-3)=0\).

Ура, деление окончено! Что мы накопили в частном? Само собой: \(3{{t}^{2}}+5t-2.\).

Тогда получили вот такое разложение исходного многочлена:

\(3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=\left( t-3 \right)\left( ~3{{t}^{2}}+5t-2 \right)\).

Решим второе уравнение:

\(3{{t}^{2}}+5t-2=0~\).

Оно имеет корни:

\({{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Тогда исходное уравнение:

\(3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=0\)

имеет три корня:

\({{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

\({{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \({{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\)..

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя, скорее я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков. Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Вот пример с несколько менее очевидной заменой:

\({{(2+\sqrt{3})}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=4~\)

Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень. Однако, что мы видим? Оба основания – отличаются только знаком, а их произведение – есть разность квадратов, равная единице:

\((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\)

Определение:

Числа \(a\),\(b\) такие, что \(ab=1\), называются сопряженными.

Таким образом, числа, являющиеся основаниями в нашем примере – сопряженные.

В таком случае разумным шагом будет домножить обе части уравнения на сопряженное число.

Например, на \({{(2+\sqrt{3})}^{x}}\), тогда левая часть уравнения станет равна \(1+{{(2+\sqrt{3})}^{x}}\), а правая  \(-4\cdot {{(2+\sqrt{3})}^{x}}\). Если сделать замену \(t={{(2+\sqrt{3})}^{x}}\), то наше с тобой исходное уравнение станет вот таким:

\({{t}^{2}}+1=4t\)

его корни\(~{{t}_{1}}=2+\sqrt{3}\), \({{t}_{2}}=2-\sqrt{3~}\), тогда \({{x}_{1}}=1\), а помня, что \(2-\sqrt{3}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}\), получим, что \({{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \(1\),\(-1\).

Больше задач — после регистрации.

Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений. Следующие задачи взяты из ЕГЭ С1 (повышенный уровень сложности). Ты уже достаточно грамотный для того, чтобы самостоятельно решать данные примеры. Я лишь приведу требуемую замену.

  1. Решите уравнение: \({{16}^{sin{x} -0.25}}-3\cdot {{4}^{sin{x} -0.5}}+1=0\)
  2. Найдите корни уравнения: \({{4}^{{{x}^{2}}+3{x} -2}}-{{0.5}^{2{{x}^{2}}+2{x} -1}}=0\)
  3. Решите уравнение: \(~{{25}^{{x} -1.5}}-12\cdot {{5}^{{x} -2}}+7=0\). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: \((2~;~\frac{8}{3})\)

А теперь краткие пояснения и ответы:

  1. Здесь нам достаточно заметить, что \({{16}^{sin{x} -0.25}}={{4}^{2sin{x} -0.5}}=\frac{1}{2}{{4}^{2sinx}}\) и \({{4}^{sin{x} -0.5}}=\frac{1}{2}{{4}^{sinx}}\). Тогда исходное уравнение будет эквивалентно вот такому:\(\frac{1}{2}{{4}^{2sin(x)}}-\frac{3}{2}{{4}^{sin(x)}}+1=0.\)Данное уравнение решается заменой\(~t={{4}^{sin(x)}}\)\(0.~5{{t}^{2}}-1.5t+1=0.\)Дальнейшие выкладки проделай самостоятельно. В конце твоя задача сведется к решению простейших тригонометрических (зависящих от синуса или косинуса). Решение подобных примеров мы разберем в других разделах.
  2. Здесь даже можно обойтись без замены: достаточно перенести вычитаемое вправо и представить оба основания через степени двойки: \(4={{2}^{2}},~0.5={{2}^{-1}}\) , а затем сразу перейти к квадратному уравнению.
  3. Третье уравнение тоже решается довольно стандартно: представим \({{25}^{{x} -1.5~}}\) как \({{5}^{2{x} -3}}=5\cdot {{5}^{2{x} -4}}=5\cdot {{5}^{2({x} -2)}}\). Тогда заменив \(~t={{5}^{{x} -2}}\) получим квадратное уравнение:\(5{{t}^{2}}-12t+7=0\)\({{t}_{1}}=1,~{{t}_{2}}=\frac{7}{5}\)тогда\({{5}^{{x} -2}}=1\),\(\displaystyle {x} -2=0,~x=2\)\(\displaystyle {{5}^{x-2}}=\frac{7}{5},\ x=2+{{\log }_{5}}\frac{7}{5}\)

    Ты ведь уже знаешь, что такое логарифм? Нет? Тогда срочно читай тему «Логарифмы»!

    Первый корень, очевидно, не принадлежит отрезку \((2;\frac{8}{3})\) а второй – непонятно! Но мы это очень скоро узнаем! Так как \(\frac{7}{5}>1,\), то \(\mathbf{lo}{{\mathbf{g}}_{5}}(\frac{7}{5})>0\) (это свойство логарифма!) Сравним:

    \(2+lo{{g}_{5}}(\frac{7}{5})\) и \(\frac{8}{3}\)

    Вычтем из обеих частей \(2=\frac{6}{3}\), тогда получим:

    \(lo{{g}_{5}}(\frac{7}{5})~~\) и \(\frac{2}{3}\)

    Левую часть можно представить в виде:

    \(lo{{g}_{5}}7-1~\) и \(\frac{2}{3}\)

    домножим обе части на \(\displaystyle 3\):

    \(3lo{{g}_{5}}7-3~\) и \(2\)

    \(3lo{{g}_{5}}7~\) и \(5\)

    или

    \(lo{{g}_{5}}{{7}^{3}}\) и \(5\)

    \(\displaystyle \mathbf{5}\) можно домножить на \(\displaystyle 1=lo{{g}_{5}}5\), тогда \(\displaystyle 5=lo{{g}_{5}}{{5}^{5}}\)

    Тогда сравним:

    \(\displaystyle lo{{g}_{5}}{{7}^{3}}~\) и \(\displaystyle lo{{g}_{5}}{{5}^{5}}\)

    или

    \(\displaystyle {{7}^{3}}\) и \(\displaystyle {{5}^{5}}\)

    так как \(\displaystyle {{7}^{3}}<{{5}^{5}}\), то:

    \(\displaystyle 2<2+lo{{g}_{5}}(\frac{7}{5})~<~\frac{8}{3}\)

    Тогда второй корень принадлежит искомому промежутку

    \(\displaystyle (2;\frac{8}{3})\).

    Ответ: \(\displaystyle 2+lo{{g}_{5}}(\frac{7}{5})\)

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения. Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике: «математику, как историю, за ночь не прочитаешь».

Больше задач — после регистрации.

Как правило, всю сложность при решении задач С1 составляет именно отбор корней уравнения. Давай потренируемся еще на одном примере:

\({{9}^{x+1}}-2\cdot {{3}^{x+2}}+5=0,~\) при \(~x\in (lo{{g}_{3}}\frac{3}{2};\sqrt{5})\)

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену \(t={{3}^{x}}\) мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

\({{t}^{2}}-18t+5=0\)

\({{t}_{1}}=\frac{1}{3},~{{t}_{2}}=\frac{5~}{3}\)

Тогда \({{x}_{1}}=-1,~{{x}_{2}}=\mathbf{lo}{{\mathbf{g}}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)~~~\)

Вначале давай рассмотрим первый корень. Сравним \(-1\) и \(lo{{g}_{3}}\left( \frac{3}{2} \right)\): так как \(\frac{3}{2}>1\), то \(lo{{g}_{3}}\left( \frac{3}{2} \right)>0\). (свойство логарифмической функции \(y=lo{{g}_{a}}x\), при \(a>1\)). Тогда ясно, что\(lo{{g}_{3}}\left( \frac{3}{2} \right)>-1\) и первый корень не принадлежит нашему промежутку. Теперь второй корень: \(lo{{g}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)\). Ясно, что \(lo{{g}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)>lo{{g}_{3}}\left( \frac{3}{2} \right)\) (так как функция\(y=lo{{g}_{a}}x\) при \(a>1\) – возрастающая). Осталось сравнить \(lo{{g}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)\) и \(\sqrt{5}\).

\(lo{{g}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)\) и \(\sqrt{5}\)

так как \(\frac{5}{3}<9\), то \(lo{{g}_{3}}(\frac{5}{3})<~lo{{g}_{3}}9=2\), в то же время \(\sqrt{5}>\sqrt{4}=2\). Таким образом, я могу «вбить колышек» между \(lo{{g}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)~\) и \(\sqrt{5}\). Этим колышком является число \(\mathbf{2}\). Первое выражение меньше \(\mathbf{2}\), а второе – больше. Тогда второе выражение больше первого и корень \({{x}_{2}}=\mathbf{lo}{{\mathbf{g}}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)\) принадлежит промежутку \((lo{{g}_{3}}\frac{3}{2};\sqrt{5})\).

Ответ: \(\mathbf{lo}{{\mathbf{g}}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)\).

В завершение давай рассмотрим еще один пример уравнения, где замена достаточно нестандартна:

\(4\sqrt[x]{81}-12\sqrt[x]{36}+9\sqrt[x]{16}=0\)

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать. Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет? Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться. А что же тогда нужно? Давай заметим, что \(81={{9}^{2}},~16={{4}^{2}},~\) а \(36=4\cdot 9.\) И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения! Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

\(4\cdot {{9}^{\frac{2}{x}}}~-12\cdot {{4}^{\frac{1}{x}}}{{9}^{\frac{1}{x}}}+9\cdot {{4}^{\frac{2}{x}}}=0\)

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на \({{4}^{\frac{2}{x}}}\):

\(4\cdot {{\left( \frac{9}{4} \right)}^{\frac{2}{x}}}~-12\cdot \frac{{{4}^{\frac{1}{x}}}{{9}^{\frac{1}{x}}}}{{{4}^{\frac{2}{x}}}}+9=0\)

Эврика! Теперь можно заменять \(t={{\left( \frac{9}{4} \right)}^{\frac{1}{x}}}\), получим:

\(4{{t}^{2}}-12t+9=0\)

\({{\left( 2t-3 \right)}^{2}}=0\)

\(t=\frac{2}{3}\) ,

откуда:

\(\displaystyle {{\left( \frac{9}{4} \right)}^{\frac{1}{x}}}=\frac{2}{3};\)

\(\displaystyle {{(\frac{2}{3})}^{\frac{-2}{x}}}=\frac{2}{3}\);

\(\displaystyle x=-2\).

Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные, а я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!

  1. \({{3}^{1-x}}-{{3}^{1+x}}+{{9}^{x}}+{{9}^{-x}}=6\)
  2. \({{5}^{{x} -1}}+5\cdot {{0.2}^{{x} -2}}=26\)
  3. \({{2}^{5{x} -1}}{{3}^{4x+1}}{{7}^{3x+3}}={{504}^{{x} -2}}\)
  4. \(\frac{{{3}^{x}}+{{5}^{x+1}}}{{{3}^{x}}-{{5}^{x}}}=1\)
  5. \({{(\sqrt{5}-2)}^{x}}+{{(\sqrt{5}+2)}^{x}}=18\)

1. Самая трудная! Замену здесь усмотреть ох как негелко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата. Для его решения достаточно заметить, что:

\({{3}^{1-x}}-{{3}^{1+x}}=3({{3}^{-x}}-{{3}^{x}})\)

\({{({{3}^{-x}}-{{3}^{x}})}^{2}}={{9}^{-x}}-2+{{9}^{x}}\), тогда

\({{9}^{-x}}+{{9}^{x}}=\left( {{3}^{-x}}-{{3}^{x}} \right)+2\)

Тогда вот тебе и замена: \(t={{3}^{-x}}-{{3}^{x}}\)

\(3t+{{t}^{2}}+2=6\)

\({{t}_{1}}=1,~{{t}_{2}}=-4\) (Обрати внимание, что здесь при нашей замене мы не можем отбрасывать отрицательный корень!!! А почему, как ты думаешь?)

Теперь для решения примера тебе осталось решить два уравнения:

\({{3}^{-x}}-{{3}^{x}}=1,\)

\({{3}^{-x}}-{{3}^{x}}=-4\)

Оба они решаются «стандартной заменой» (зато второй в одном примере!) \(u={{3}^{-x}},~u>0.\)

2. Заметь, что \(0,2={{5}^{-1}}\) и сделай замену \(t={{5}^{-x}}\).

3. Разложи число \(\displaystyle 504\) на взаимно-простые сомножители и упрости полученное выражение.

4. Подели числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle {{3}^{x}}\) (или \(\displaystyle {{5}^{x}}\), если тебе так больше по душе) и сделай замену \(\displaystyle t={{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}\) или \(\displaystyle t={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}\).

5. Заметь, что числа \(\displaystyle \sqrt{5}-2~\) и \(\displaystyle \sqrt{5}+2\) – сопряженные.

Проверь себя — реши задачи на показательные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий